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专题 25 立体几何大题训练（文科）
题型一、三棱锥的相关证明、体积及表面积
1．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四面体 中， ，
E为AC的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE
与四面体ACDE的体积比．
4．（2023届四川省诊断性考试数学（文）试题）如图，在三棱锥 中，H为 的内心，直线
AH与BC交于M， ， .
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若 ， ， ，求三棱锥 的体积.
题型二、直三棱柱的相关证明、体积及表面积1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
2．如图所示在直三棱柱 中， ， 是边长为4的等边三角形，D、E、F分别为棱
、 、 的中点，点P在棱BC上，且 ．
(1)证明： ∥平面DCE；
(2)求点D到平面CEF的距离．
3．（2023届新疆二模数学（文科）试题）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，F是 的中点，点E在棱 上．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，且点 到平面 的距离为 ，求 的值．
题型三、斜三棱柱的相关证明、体积及表面积1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱 中， 平面
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
2．（2023届四川省全真模拟考试（一）文科数学试题）如图，在三棱柱 中，平面
平面ABC， ， ， ， ， ， ．
(1)求证：B，D，E， 四点共面；
(2)求四棱锥 的体积．3．如图，已知三棱柱 的所有棱长均为2， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ， 为 的中点，求四棱锥 的体积．
4．如图，已知三棱柱 的所有棱长均为2， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ， 为 的中点，求四棱锥 的体积．5．如图，已知三棱柱 的所有棱长均为2， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ， 为 的中点，求四棱锥 的体积．
6．（2023届河南省调研模拟文科数学试题）如图，已知三棱柱 中， ，
， ， 是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体积.7．（2023届贵州省高考模拟（黄金Ⅰ卷）文科数学试题）如图，在三棱柱 中， ，
.
(1)证明： ；
(2)若 ， ， ，点E为 的中点，求三棱锥 的体积.题型四、三棱台的相关证明、体积及表面积
1．（2023年新高考天津数学高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
2．（2023届河南省冲刺考试（四）文科数学试题）在三棱台 中， ， 分别是 ， 的
中点， ， 平面 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．3．（2023届贵州省月考（全国甲卷押题卷二）数学（文）试题）在三棱台 中， 平面
ABC， ， ， ，M为AC的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离．
4．如图，在三棱台 中， ，H为BC的中点，点G在线段AC上，
平面FGH． 平面ABC， ．
(1)求三棱台 的体积；
(2)求证：点G为AC的中点．题型五、四棱锥的相关证明、体积及表面积
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
M为 的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
2．（2019年北京市高考数学试卷（文科））如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底部ABCD
为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））四棱锥 中，侧面
为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线 平面 ;
（2）若△ 面积为 ，求四棱锥 的体积.
4．如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为
线段 上一点， ， 为 的中点．
（I）证明 平面 ；
（II）求四面体 的体积.5．如图，四棱锥S-ABCD的底面是长方形，SA⊥底面ABCD，3CE=CD，SC⊥BE.
(1)证明：平面SBE⊥平面SAC；
(2)若 ，AD=1，求CD及三棱锥C-SBE的体积.题型六、底面是平行四边形的四棱柱的相关证明、体积及表面积
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在长方体 中，点 ，
分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱
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形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，AD的中点.
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（1）证明：MN∥平面C DE；
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（2）求点C到平面C DE的距离．
13．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，长方体ABCD–ABC D 的底面ABCD
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是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
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（1）证明：BE⊥平面EBC ；
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（2）若AE=AE，AB=3，求四棱锥 的体积．
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4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））如图，长方体 中,
，点 分别在 上， ，过点 的平面 与此长方体的面
相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值．
5．（2023届四川省模拟文科数学试题）如图，已知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形，， 分别为 ， 的中点．
(1)求证：直线 、 、 交于一点；
(2)若 ，求多面体 的体积．
6．（2023届陕西省二模文科数学试题）如图，直四棱柱 的底面是菱形， ，
， ， 分别是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
7．（2023届陕西省高考综合（文科）数学试题）如图，在长方体 中，为棱 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)画出平面 与平面 的交线，并说明理由；
(3)求过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
题型七、底面是梯形的四棱柱的相关证明、体积及表面积1．如图，在四棱柱 中， 底面 ，底面 满足 ，且
， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积.
2．如图所示，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ， ,
,侧棱 ⊥底面 且 ．
(1)指出棱 与平面 的交点 的位置（无需证明）；
(2)求点 到平面 的距离．
题型 八 、摆放不正的几何体相关证明、体积及表面积1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，已知三棱柱ABC–ABC 的底面是正三
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角形，侧面BBC C是矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点．过BC 和P的平面交AB于
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E，交AC于F．
（1）证明：AA//MN，且平面AAMN⊥平面EBC F；
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（2）设O为△ABC 的中心，若AO=AB=6，AO//平面EBC F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EBC F的体积．
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2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，三棱柱 中，侧
面 为菱形， 的中点为 ，且 平面 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求三棱柱 的高．
3．如图，矩形 和菱形 所在的平面相互垂直， ， 为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求三棱锥 的体积．
4．（2023届江西省考前最后一卷（全国乙卷）数学（文）试题）如图，在三棱柱 中，侧面
是矩形，侧面 是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的
中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.5．（2023届贵州省数学（文）冲刺卷（二）试题）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，
， ， 分别为棱 的中点， 为线段 的中点.
(1)证明： 平面 .
(2)若三棱锥 的体积为1，求 .题型 九 、圆锥的相关证明、体积及表面积
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆
心， 是底面的内接正三角形， 为 上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P−ABC的体积.
2．（2023年河北省模拟考试数学试题）如图，圆锥的底面半径 ，母线 的长为3， 为 上靠近
的一个三等分点，从点 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 .
(1)求绳子的最短长度；
(2)过 点作一个与底面平行的截面，将圆锥分为上、下两部分，其体积分别为 ， ，求 .3．（2023年广东省模拟考试数学试题）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣
赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥 与一个圆柱
构成（如图2）.已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.
(1)求圆锥 的母线长；
(2)设 为半圆弧 的中点，求 到平面 的距离.
4．（2023年上海市模拟考试数学试题）如图，在 中， ，且 ， ，将
绕直角边 旋转 到 处，得到圆锥的一部分，点 是底面圆弧 （不含端点）上的一个
动点．
(1)是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的大小；若不存在，请说明理由；
(2)当四棱锥 体积最大时，求 沿圆锥侧面到达点 的最短距离．5．（2023年福建省联考数学试题）已知一个底面半径是2的圆锥内接一个圆柱，圆锥的母线长是8.
(1)求圆柱侧面积的最大值；
(2)当圆柱侧面积取得最大值时，圆柱与圆锥的母线 交于点 ，一只蚂蚁从点 处出发沿圆锥侧面爬行
一周到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离.题型十、翻折图形形成几何体的相关证明、体积及表面积
1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））图1是由矩形 和菱形
组成的一个平面图形，其中 ， ，将其沿 折起使得 与 重合，
连结 ，如图2.
（1）证明图2中的 四点共面，且平面 平面 ；
（2）求图2中的四边形 的面积.
2．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））如图，菱形 的对角线 与
交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 ，将 沿 折起到 的位
置.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ)若 ，求五棱锥 的体积.3．（2023届西藏联考模拟数学（文）试题）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一
为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：
“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而
实据半，故云六而一即得.”
如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；
(1)若 ， ， ，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.
(2)若 ， ，点P在棱AC上运动.试求 面积的最小值.题型十 一 、其它几何体的相关证明、体积及表面积
1．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包
装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
2．在如图所示的几何体中， ， 平面 ， ， ， ，
.
（1）证明： 平面 ；
（2）过点 作一平行于平面 的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面 之间的几
何体的体积.3．如图，在直角梯形 中， .以 所在直线为轴，将 向
上旋转得到 ，使平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 为线段 上一点，且 ，截面 将多面体 分成左右两部分的体积分别为
，求 的值.
