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2007年数学(三)真题解析
一、选择题
(1) 【答案】(B).
【解】 由 ln( 1 + ~ x ,得 ln(l + -Jlc )〜，应选(E).
(2) 【答案】(D).
【解】 由lim 存在，得lim/(j; )=0,
工〜 工*-
0 JC， 0
因为在工=0处连续，所以) =/(0) = 0；
x*0~
由 lim )+ ■/(_存在，得 limE/(j; ) + /"(—工)]=0,
■zfO OC x-^0
因为 /(工)在工=0 处连续 9 所以 lim[/(jc ) + /(— z)] = 2/(0) = 0,于是 /(0) = 0 ；
0
由 lim 存在9得 lim/(j?) = 0,又因为 /(jc)在 x = 0 处连续9所以 lim/'Cz) = /(0) = 09
X-*O JC X-*O x-*o
再由lim心空=iim 存在得/(O)存在，故(A), (B), (C)均正确.应选(D).
X-*O X X—0 JC
事实上，取fO= I ' H '显然lim ----—~ = 0,但/'Q)在z = 0处不可导.
【2, z=0, lo z
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■I
方法点评：本题考查函数的连续性与可导性.
利用定义判断函数/(^)在工=a处的可导性时，一般需要考虑如下三点：
(1) 保两侧，即 f 3 = lim 心上一 土;)二 f\a) = g)”二丿 9 中 A-*0( 或z — a)
方-* h 工亠 x — a
0 a
必须包括/? -*(F 及Tz f 0+ (或必须包括攵及工—a + )；
(2) 函数增量中必须含f(a),若lim ±弘)(& H0JH0)存在不能保
z h
证y'(a)存在.
(3) 【答案】(C).
f3 C2 C3 jr \ 9 / Sit
【解】 方法一 F (3) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt =—---------------=—,
Jo J0 J 2 Z Z 0
F(2) = [ f (t)dt = -,
J 0 Z
F(—3)=J「")H=— []_：")曲+ ]]")呵一仔—守)=普，
F (— 2) = f =— [ - 9
J 0 J -2 Z
3
于是 F(-3) =—F(2)，应选(C).
4
方法二 因为f⑺为奇函数，所以FQ) = P7(£)d£为偶函数，于是F(-3) =F(3),F(—2) =F(2),再根据定积分的几何意义得
7T 7T 3tc
F(2)=-,F(3)=- 0'
3
故 F(—3) = 丁F(2),应选(C).
4
(4)【答案】(E).
L 、 1 7t
【解】如图所7J\, D = Nt5 C 7r，sin x w w
={(^ ,y) 7T 一 arcsin y £兀,0€夕£
则 /"(z )dy = J" dy [ ,夕 )d工 ，
兀一
sin x J 0 J 7T arcsin y
应选(E).
方法点评：改变积分次序时，需要先画出积分区域，然后根据题目要求改变积分次序，改
变积分次序有如下情形：
(1) X型与Y型区域相互改变次序；
(2) X型或Y型区域与极坐标之间相互改变次序.
(5)【答案】(D).
P dQ 2P P
【解】 由1 ,得 =1.
Q dP 160-2P 80-P
J p p
若or\----F = 1，则卩=40 ；若—---—=—1,则无解，故P = 40,应选(D).
oO — r oO — r
(6)【答案】(D).
【解】 因为)=oo，所以z = 0为夕=丄+ ln(l + eJ )的铅直渐近线;
x^O X
由 lim / (j? ) = 0, lim /(je ) = +°°，得夕=0 为夕=丄 + ln(l + eJ )的水平渐近线;
gf—8
X
由 lim 3 = 1, 1+b
lim [/(无)一工]= lim In =0，
工—+ 工—+
■X f+8 Jt? 00 8
得y =x为y =丄+ ln( 1 + e"7 )的斜渐近线.
x
于是曲线夕=丄+ ln(l + ex)有3条渐近线，应选(D).
3C
(7)【答案】(A).
【解】 方法一 因为(ct\ _■a2) + (a2—a3) +(«3—«!)=0,
所以由线性相关的定义得a! —a2 ,a2 ~~a3 ,«3 ~ai线性相关，应选(A).
/ 1 0 -1
方法二 (5 —口2 ,。2 —Oh ,口3 ) = a 皿2 ,。3 ) [ —1 1 0
' 0 -1 1
因为线性无关，所以矩阵(a1,a2,a3)可逆，/1 0 -1
于是 rCaj—a2»«2—«i)= r_1 1 0
' 0
-1 1
0 - 1\ /I 0 -1\ /I 0 -1
又因为I— 1 1 0—0 1 -1 ―► 0 1 -1
1丿
' 0 -1 1 ' _ 1 '0 0 0
/ 1 0
所以 厂(a「— a2,a2—a3,a3—al')=r\—l 1 0 =2V3，
' 0 11
-1
即 ax—a2,a2 —a3 ,a3 线性相关，应选(A).
方法三 令A = (a j ,a2 ,a3),因为a i >a2，«3线性无关，所以r(A ) = 3.
I1 0 1
(aj + a2 ,a2 + a3 »a3 + a 1) = («j ,a2 ,a3) 1 1 0
'0 1 1
1 0 1 /I 0
oj可逆.
因为1 1 0 =2工0,所以1 1
0 1 1 'o 1 U
从而 r (a i + a2,a2+a3»a3+a1)=r(a1,a2,a3)=3,即 cti +a2 ,a2 +a3 ,a3 + 心线性
无关，不选(B)；
/ 1 0 —2\
(a 1 — 2a 2 ,a2 — 2a3 ,a3 — 2a 1) = (a! ,a2 — 2 1 0 ,
-2 1 /
' 0
1 0 -2 / 1 0 — 2\
因为 -2 1 0
=—7工。9所以［—2
1 0可逆,
' 0 -2 1 /
0 -2 1
从而 厂(a】 —2a 2 a 2 --2a3 9(/3—2cti)=厂(a 9 a 2 9 a 3)3，即 a i —-2d 2 9。2 — 2ct 3 (X 3 — 2a
线性无关，不选(C)；
/I 0 2\
(a! + 2a 2, a 2 + 2a 3, a 3 + 2a!) = (a j , a 2, a 3) 2 1 0
'02 F
1 0 2 /I 0 2\
因为 2 1 0 =9工0,所以2 1 0可逆,
'o 2 F
0 2 1
从而厂(a 1 + 2a2 ,a2 + 2a3 23 +2a 1) =r(a1,a2»a3) = 3,即 a 1 + 2。2 ‘a? +2a3 ,。3 +2a i
线性无关，不选(D),应选(A).
方法点评：判断向量组的相关性通常有如下思路：
(1)定义法.
【例1】 设a} ,a2 ,a3线性无关，令01=叭+业，p2=a2+ai, 03=弧十心，
讨论P1，02，03的线性相关性.【解】 令右伤+忍仇+匕仇=0,即
（码 +b）心 + （码 +k2）a2 + （k2+k3）a3 = 0,
ki + 怂=0，
因为cti .a2 ,a3线性无关，所以+怂=0，
k 2 + k 3 = 0,
因为£）=2工0,所以紅=k2 —k3 =0,即01,02,03线性无关.
【例 2} 设 ai ,a2 ,a3 ,at 线性无关，令 p} =a} +。2，p2 =a2 +<«3' Pi =«3 +«4，仇=
a4+«i，讨论0i ,02，03，卩《的线性相关性.
【解】 因为山一02+03—“4=0,所以由线性相关性定义得趴，仇，03 •触线性相关.
（2） 相关性与线性表示性质.
（3） 向量组对应的齐次线性方程组是否有非零解.
（4） 通过研究向量组构成的矩阵的秩.
（8） 【答案】（E）.
A -2 1 1
【解】 由 |AE-A | = 1 A -2 1 =入（入一3）2=0,
1 1 A -2
得A的特征值为A ! =0,A2 =A3 = 3；
B的特征值为心=入2=1,入3=0,即实对称矩阵A与B特征值不同，但特征值中正、负个数
都相同，故A与B合同但不相似，应选（E）.
方法点评：判断实对称矩阵的相似与合同方法如下：
设 At=A,Bt=B,J?'J
（1） A〜B的充分必要条件是lAE-A | = |AE-B | ；
（2） A^B的充分必要条件是A.B特征值中正、负、零的个数分别相等.
（9） 【答案】（C）.
【解】 第4次射击为第2次命中的概率为
c；p（i — pyp =3p2（1 — p）2,
应选（C）.
（10） 【答案】（A）.
【解】 因为（X,Y）服从二维正态分布，所以X,Y不相关的充分必要条件是X,Y独立,
于是/（Z，夕）=/x（Z）几（夕），故fx|y（工I》）=仍=Fx（乂），应选（A）.
二、填空题
（11）［答案】0.
.. jr3 + j? 2 +1 .. 3a：2 + 6工+ 2
【解】因为 lim ------------:— = lim — --------------r lim
:f+8 2" + 工3 —+8 2Tn 2 + 3jc In2 2 + 6«z
6
= lim —-—------=0,
l2X In3 2 + 6
、 工3 +工2 + ]
且 | sin x + cos x | £ V2" 9 所以 lim ------ ------—(sin x + cos 工)=0.
—+8 22XX ++ x(-1)"2"“ !
（12）【答案】
3"4-1
【解】 方法一 》= (2h+3)t,夕⑺=(—1)"2S! (2工+3)T"+d ,
(一 1)"25 !
则夕⑺（0）
Q ” + 1
1 _ 1 ] (一1)"2
方法二 2z + 3 — § 3 卄 1 X
由夕=2 3/(n)(0) 得叩 (-1)”2 (-1)"25 !
，故夕⑺（0）
卄
n = 0 n ! 3 1
方法点评：求函数的高阶导数有如下方法:
（1）归纳法.
【例 1】设 f Cx) = ln(l 4-x — 2jc2) ”求 f " (h)・
【解】 /(^?) =ln(l—jc)4~ln(2jr +1)，ff (x ) =—^―
则广）Q）= / —— 1 T \ d +2 ] ST =- ( - _ - 1 -- ) - ”T -- ( - ” -- _ - 1 -- ) - ! 2" (—1)"T(“ 一1)!
\北一V 2 北 +1 Cr — 1) (2jt +1)"
Cn) ~ r^n (n}
（2）利用公式（“◎）⑺=C》u v +I cl (n—1) v ' 十j •••十I ・
【例 2】 设 f (x) =* jc 2 sin 3工，求 (jc ).
【解】广 (x ) = (x2sin 3x ))(0) =________ .
【解】由麦克劳林公式，得
/■<25)(°) _
/(a：)=y(0)+ (0)久 + …+ 1.....x23 + o(x23),
XU 0 ；
JC 12
Z 2
由 ln( 1 + jc ) — x — — + •・• ——• + o (x 12 ) ?得
丁
32r4 *2 24
—启--
ln(l + 3a：2) = 3x2 o (x24),
2
, 32 r 5 3 0 12 力 25 ] r 25 x
于是芦(広)=x ln(l + 3.r2 ) = 3x3 一 -----------okx ),
2
〉
£（25 （°） q12 3"・ 25!
由麦克劳林公式的唯一性，得'..—— ，故严（0）
Zb! IZ 12
（⑶【答案】ny_ £ 两边对鼻求偏导，得字=
【解】 772；
王 y OX
Z=f(2,王)
两边对y求偏导 得= 一f\ —
\z y 1 9 dy y 9
d Z 3z -2 兀 + 7 -咛 + * — » + 与
于是X y 3y $〜 y ~ y X 2 .
(14)【答案】 工 …(工>e-1).
vIdTz+1
【解】令u =—，则u + jc 半■=“ L 7/33 整理得一 2 严p H T
x d_z u
两边积分得\ = \nx+C ,
U
2 X
由j/(1) = 1,得C=1，于是务=lnz +1,故夕
/n 无 + ]
(15)【答案】1.
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0
【解】A2 = ,A3- ,则 r (A3 ) = 1.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
3_
(16)【答案】
I •
【解】 设X,Y为(0,1)内任取的两个数，令D = {Q,j/) |0V_zVl,0 ；~-—, -一•—, ln(l+z)，\n(l—x)的麦克劳林公式;
1—2 1十2
(2) 函数的逐项可微性和逐项可积性.
(21)【解】将两方程组联立得方程组
工 +工 +工
1 2 3 =°9
工
•Z 1 + 2 2 + ax 3 = 0 9
③
s 工
X
] + 4 2 + tz 2 3 = 0 9
X 1・
1 + 2+23=0 —
方程组①，②有公共解的充分必要条件是方程组③有解.
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 '
1 2 a 0 0 1 a --1 0 0 ] a 一 1 0
A = 2 —A
1 4 a 0 0 3 a， -1 0 0 0 (a — 1)(<2 — 2) 0
1 2 1 a 一 1 0 1 0 a 一 1 0 0 1 一 a a 一 1
1 0 1 o'
0 1 0 0
情形一 当 a =1 时 r(A)=r(A)=2<3,两方程组的公共解为
9
() 0 0 0
0 0 0 0,
1 0 0 0
1 0 1
情形二：当a =2时，一 ° ，厂(A)=r(A) = 3,两方程组唯一的公共解为
0 1 -1
0 0 0 0
情形三：当a H 1且a工2时，因为r(A)=3Hr(A)=4,所以两方程组没有公共解.
厂 1 \ / 0
于是a=l或a=2,公共解分别为X= C 0 (C为任意常数)或乂= 1
丿 L]
方法点评：本题考查公共解与含参方程组解的讨论.
线性方程组A X=bx与BX =b?有公共解等价于方程组f)x =(：)有解.（22）【解】（I）由Aax =a},得
Bar = （A5 — 4A3 +E）5 =A5al — 4A3aj +aj = （1 —4 + l）ai = —2a〕，
则ai为矩阵B的属于特征值pi = — 2的特征向量.
B的其他两个特征值为〃2=入扌一4A 2 H- 1 — 1,戶3=入§ — 4入；+1= 1,即“2 = *3 = 1.
因为A为实对称矩阵，所以JB为实对称矩阵，不妨设B的属于特征值“2= "3= 1的特征向
量为a = （#i，工2，m）T，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以a：a = O,
即厂一#2 +工3=0,故B的属于特征值“2 =“3=1的线性无关的特征向量为
a2= 1 ，a3 = o
V 1 1 '
故〃的属于特征值知=—2的全部特征向量为匕心（&为任意非零常数）』的属于特征
值戶2 =〃3 =1的全部特征向量为紅口2 + k3a3 （k2 yk3为任意不全为零的常数）.
1 _1\
@3，02）a 1
(U)令 01=5 02 1 卩尸5—时才尸兀 1
(02 ,02)
0 2
/1\
1
单位化得 71 = 1 9 y 3
0
V6
-2 0 0
令P = ，贝 [J PtBP = 0 1 0
0 0 1
0
r2 0 °\ / 0 1 T\
于是B=P 0 1 0 PT ==1 0 1 .
' 0 J • 1 0 /
0
（23）【解】（I）P{X > 2Y}= JJ 9 jy ) dr dy = dj? 2 (2 一 x 一 y)dy
心 J 0 J 0
x^>2y
fl x2 2 \ . 1
工m丿—
0 0
(U)Fz(n)=P{Z £n}=P{X +YWn}= JJ f(x dy ,
当 z V 0 时,F z (z ) = 0 ；
3
当 0 WzV 1 时，Fz(z)=] da：[ Z
(2 一 x — y)dy = z2
J 00 JJ 00 T ；
当 1 WnV2 时 9Fz(n)=1— [ dx [ N3 2 5
(2 — x — y ) dj/ = ------2n + 4z-----—
ZZ-l z
J —1 J z—x
当 时，Fz（n）=1,0, z < 0,
0= V 1, 2z 一 d 0] 2},
因为 E(X2) =「'3 •和+ \2 1 , 02 1+0 +护 护 0 1
J ( 0
X 2
e
• -
2
-----
(
---
1
----
—
--------
0
----
)
-- QJT = ----
6
-- - -T- ----------------
66
-- -------------- = ---
3
-- - ~1-------
6
--- -------------
6
---- 9
笙?
所以 D(X) =E(X2) - [E(X)T 12 _ 12 + 48，
— 0 1 D(X) 1
从而 E(X)=E(X)=g +「D(X)
n n 12 12 48/
于是E(4 乂 ◎=叫土I*/ 竺二+響卫工02,故4 乂2不是护的无偏估计量.
3n on lZn
方法二
” — — — 4
E(4X2) =4E(X2) =4D(X) +4[E(X)]2 = —D(X) + 4[E(X)T
n
「1 2 4 I 4
=4 刍(20 + 1) +—D(X) =e2 +e+丁+ —D(X) >02,
_4 」 /? 4 n
故4x2不是e2的无偏估计量.
