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2012年数学(三)真题解析
一、选择题
(1) 【答案】(C).
2 I
【解】 由limj；=l,得夕=1为曲线夕=乱耳的水平渐近线；
X 丄
-♦ oo ------
2 I
由limy = oo,得z = 1为曲线y = ---的铅直渐近线；
I x — 1
由Km轧土半=lim = 得工=—1不是曲线夕=密土吕的铅直渐近线，
X — 1 T T — 1 Z X 一 1
—1
2 _|_
且曲线没有斜渐近线，故曲线y = 宁三有两条渐近线，应选(C).
x —1
方法点评:渐近线是频繁考点，曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.
若lim/(^) ，称j/ =A为曲线夕=/■(#)的水平渐近线；
8
若lim/(a: )=oo，称x =a为曲线y — f(x )的铅直渐近线；
. f (工)
若 lim -------=a (工 0,°°) , lim[/(jc ) — ax^\=b，称 y = ax b 为曲线 y =f (jc)的
Hf 8 7 x ~*-OO
‘ ’ ] 」 ‘ 「• ' .' ' . .； 「 「 J . ■〔
斜渐近线.
(2) 【答案】(A).
【解】方法一
由 f'⑺=ex(e2j -2)-(e"x -n) +2(ex — l)e2x(e3x —3) •••«"’ 一 “)---- F
n(e — l)(e2x - 2)••• (e(n_1)" — “ + l)e"’ ,
得 /z(0) = (- l)"T(/z — 1) !，应选(A).
方法二由导数的定义，得
/（0） = lim 了⑺ T（0）= lim •（e2- 一 2）-（enj —“）= （— \Y~\n — 1）!
x x
x->o X—0
应选（A）.
（3） 【答案】（B）.
【解】 如图所示，二重积分的X型区域为
D = {（工,夕）|0£工冬2, J2x — jc2 W y W J \ — x2 },
贝[J f2 d（9 f r/（r2 ）dr = f dj? f「，f （兴 + j/2 ）dj/，应选（E）.
J 0 2x—x
Jo 2 cos J 0 J v
（4） 【答案】（D）.
1 1 g 1
【解】Jn sin -^〜----,因为（— 1）"航sin —绝对收敛，
72 n na
» = i
所以a - j 1 > 1,即a >牙3 ；：
y ^2
由 2 条件收敛，得a V2,应选（D）.
由 右
（5）【答案】（C）.
0
【解】 方法一 a：3+a4 = 0 ，因为a3 +«4与5成比例，所以Oi ,a3 +a4线性相
G + 5
。
关，故a】,9a33 ,，a4线性相关，应选（C）.
0 1 -1
方法二 因为|a! ,a3，。4 I = 0 -1 1 =0,所以 ax ,a3 ,a4线性相关，应选（C）.
C3 C4
（6）【答案】（B）.
I1 0 0
【解】 由 2 = (a! +a2 ,a2 .a3)=P 1 1 0
'o
0 1
/I 0 °\ T I1 0 °\
得旷
AQ = 1 1 p-gp 1 1
'0 0 '0 0
'1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
-1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2
应选（E）.
（7）【答案】（D）.
【解】令D = ｛（工，y） |0 1., ”
于（工）> 1等价于 解得工
$ e ；
n $ 1 N V 1
9
In历< 1弋!
fCx) < 1等价于 .心1 孔VI, 解得 1 e?,
于是夕=
21n 一1, 1 W z < e?,
[4z — 3, z V 1.
9 1 _ 1 古 丄
当 1 <工 V J 时,f\x)= — 肓=：'故転
e（11）【答案】2d:r — dj；.
_ 空
【解]令°= E +5 — 2 ,由 lim +，_ 2 =o,得
V E + (夕 一 IF
/Xw，歹)一 2工 +夕 一 2 =o(q)，或于(工 J) 一 1 = 2z —(夕一1) + o (°),
——]
于是函数N = fCx 9夕）在（0，1）处可微，且-—
(0,1)
故 dz |（o,i）=2d_z — dj/ •
方法点评：二元函数可偏导、可微、连续可偏导的关系是：
（1） 函数z =fCx ,y）在点（工0，$0）处可偏导是函数= f Cjc ,y）在点（x0 ,y0）处可微
的必要条件，而非充分条件；
（2） 函数连续可偏导是函数可微的充分而非必要条件；
（3） 当z = 在（工0,%）可偏导时，z = f （工，y）在点（工。，％）可微的充分必要条
件是
Az — （x0 — /\（7：0 ,y0）^y
lim--------------------------------------------------------=0 .
p
p~*0
(12) 【答案】41n 2.
【解】如图所示，三条线所围成的区域的面积为
s=卜』严+严=£右与+J： (? _于)曲
3 3
=—+ 41n 2----= 41n 2.
(13) 【答案】 一27.
【解】I B | = -|A|=—3, | A * | = | A |3-1 = | A |* 2 =9,
贝 lj | BA * \ = \B\ • IA * I =-27.
3
（⑷【答案】7
【解】 因为A,C互不相容，所以
P(ABC) P(AB) -PCABC) P(AB) 3_
P(AB | C)
P(C) 1 -P(C) 1 -P(C) 4
三、解答题
e x 2 — e2 —2cos x 已/ -2+2 cos 工 ___ ] x —2+2 cos 工 -j
（15）【解】 lim〜 — =lime2_2cosx lim---------—
0 X 4 X—0 X4 o X
x2 一 2 + 2cos jc .. 2x — 2sin 工
lim-----------------------= lim
x*0- X x->0 4jc 3
=4
凹 COS X 1
12 •
e" djr djy = * | 1(1 -
（16）【解】 xy djr dy = jc 2) djr
D 0 0
=-|-( 1 — x2)ex 1 •1 1 z 1 1
+ x dr =----+(工 一 l)e°
0 o 2 oar T de
(17)【解】(I)由已知条件9得-—=_ + 209 -— = y + 6，且 C(0,0) = 10 000,
ox Z dy
2 2
于是 C(«z，j/)=务 + 20j? + 牙 + 6y + 10 000.
(n)由已知条件得H + y =50,成本函数为
/(jc ) = C(j: ,50 一 x )
jr $ (50 — JC, ) $
=——\~ 20 -----------------6(50 — «z)+ 10 000 ( 0 50) 9
工-\
3
由 /z (jr ) = —x —36=0,得 2 = 24.
2
因为厂（工）=专＞0,所以工=24是成本函数的最小值点，故当甲产品为24件，乙产品为
26件时，总成本最低，最低成本为/（24） =11 118万元.
（皿）牛 | =32,
d工
I （24,26）
其经济意义为：当生产乙产品26件时，生产第25件甲产品需要32万元.
1 + r T2
（18）【证明】 方法一 令/'（•z）=_zln---------cos X------------1,
x 2
t — / ( z 、 ) = 1 I n - 1 -- + --- 工 -- -- i - ----- 2 - x ---7 — sin x f'S 4 —1 — cos X ・
1—工 1—工？ (1—小
2
4
当一lVz VI 时 9 因为 ---- 六y ^4,1 + cos jc W 2 9 所以 /'"(•z ) > 0.
(1 — x )
m r z 十(/(jc) < 0, —IVhVO,
又因为尸(0)=0,所以“、 于是工=0为于(工)在(一1,1)内的
y(H)〉0， OVzVly
最小点，而 /(0) = 0,故当一1 Vz < 1 时，/'Cr) M0,即 O-In—+ COS7 $ 1+字.
1 — x 2
了
1 —I— y 2
方法二 令 /(j?) = In ----------F cos x---------1, f (0) =0.
1 — x L
因为于（一工）=于（工），所以fS 为偶函数，只需要研究［0,1）内的情形.
m、 ] 1+工 | 2工 1+工 1 鸟-wF(0)=0,
j kx)= In ---------1---------- — sin x — jc = In ---------[
1 —X 1 一x 1 —X 1 一JC
( 1
r ")=TT7 +
士 + + r(0)=2.
2
+ sin z > 0,
(1 +"
厂(0) =2,
由 得 /〃Q) > 2 > 0 (0<^ < 1)
y〃(工)> o(o <^ < 1),
卩‘ (0) = 0,
再由 得 _/'(工)> 0 (0 < J： < 1)
\f\x ) > 0(0 < < 1),
(/(0) = 0,
由 【/■'(工)> 0(0 0 (0<^ < 1),]JC 了
2
故当 一 1 0,因为夕(0) =0,所以(0,0)为曲线的拐点.
(20) 【解】(I )由行列式按行(或列)展开的性质得
| A | = 1 X An + a • A =Mn — aM41 = 1 —
0 0 1 -1 0 0 0 1 -1 0
-1 0 0 1 0 Q 0 0 0 0 .
因为r(A)=r(A)=3<4,所以方程组AX=0有无数个解，通解为
1 0 '
1 -1
+
X C (C为任意常数);
1 0
1 、0 .
110 0 1 110 0 1
0 110 -1 0 110 -1
当 时，( P)
a = 1 A i
0 0 11 0 0 0 11 0
.10 0 1 0 0 0 0 0 -2.
因为/"(A) Hr(A),所以方程组AX=P无解.
方法点评：行列式虽然不是考查的重点内容，但有几种特殊行列式需要熟练掌握其
计算方法：
(1)三对角行列式，如本题矩阵对应的行列式，这种行列式的计算一般采用行列式按行
或列的方法展开计算或找递推关系；
(2 )对称矩阵对应的行列式，一般采用所有行加到第一行，提取公因子，再将行列式上
(下)三角化计算.
非齐次线性方程组解的讨论，首先运用方程组解的理论确定解的存在性，然后利用初等
行变换求方程组通解，这个方法一定要反复练习，熟能生巧.1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
(21)【解】(I) A =
—1 0 a 0 0 a + 1
0 a — 1, 0 0 一 a 一 1
由 r (A 1A ) =2 及厂(A‘A )= r(A)得 a =—— 1.
(2 0 2
(n)当 a -1 时,ata= 0 2 2
'2 2 4/
A — 2 0 -2
由 |ae-ata
I =
0 A — 2 -2 —X (A —2)(入一6) = 0,
-2 - 2 A -4
得A 1A的特征值为A ! = 0 ,A 2 = 2,入3 = 6.
r1
当入i o时，由(oe-ata)x= o即atax= o,得入1 =0对应的特征向量为5= —1
' 1
1
当入2 = 2时，由(2E—AL4)X= 0得入2 = 2对应的特征向量为5 -1
0
1
当入3 =6时,Efe(6E-ATA)X= 0,得入3 =6对应的特征向量为S 1
2
1 1
单位化得八专 1
-1 ，人肯 1
0 2
令Q ，在正交变换X=QY下，二次型f的标准形为
0
y =2疋 + Qyl .
方法点评：本题综合考查了矩阵的性质、特征值与特征向量理论、正交变换法化二次型
为标准形等重要知识点，综合性高、覆盖面广，且涉及的都是线性代数的重点内容，需要熟练
掌握所涉及知识的理论体系和方法体系.
在解读条件r(ATA) = 2时，一般做法是，先进行矩阵的乘法，再阶梯化.根据矩阵的秩
求出a，但这样做比较费时，如果想到性质r(ATA)=r(A),则本题运算量会大幅下降，所以
熟练掌握线性代数有关方法对解题非常重要.(22)【解】(I)P{X=2YUP{X",Y"+P{X=2 —•
(H )由(X,Y)的联合分布律得X,Y,XY的分布律为
0 1 2\ /° 1 2\ /° 1 4
1 1 1 ,Y〜 1 1 1 ,XY〜 -7 1 1
6 1 ' 3 3 /
7 42 12
2 5
于是E(X)=m，E(y)=1, E(Y2) =y ,
2 9
D(y)=E(y2) — EE(Y)]2 =y , E(XY) =y,
Cov(X,Y) =E(XY) —E(X)E(Y) =0,
故 Cov(X - Y,Y) =Cov(X,Y) -D(Y)=—彳.
(23)【解】(I )因为X与Y独立同分布于参数为1的指数分布，故X与Y的分布函数都为
0, •z < 0,
F(_z)=
1 — e " , $ 0.
V = min{X , Y}的分布函数为
FvCv) = P{min(X,y)< v} =1 -P{min(X,Y) >u}=l —P{X>q,Y>q}
=1 —P{X>q}P{Y>q}=1 —[1 —P{XWq}]・[1 —P{YWq}]
，
0 9 u V 0
=1 一 [1 一 F(v) J2 =
心
1 — e_2v , 0,
，
0, u W o
V的密度函数为fv(v)= 即V〜E(2).
2e_2", v > 0,'
(H)方法一 U = m3x{X,Y}的分布函数为
Fu(u) = P {U W u } = P {max(X ,Y) u } = P {X u }
0, % V 0 9
=P {X W u} P {Y W u } = F2 (m )=
(1 —e~")2, u > 0,
0, u 0,
U的密度函数为fu2 =
2e~u(l-e~u), u> 0,
f+8
*-|-oo
于是 ECU 十 V) =E(U) +E(V)= u • 2e~u(l -e_u)dw + u • 2e 2u du
0 0
*8
=2 u e~u du =21X2) = 2.
o
方法二 因为 u + V = max{X,y} +min{X,y} = X+Y ,
所以 ECU + V) =E(X +Y) =E(X) +E(Y) =2.
