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2016年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（B）.
[解] 因为 5 〜• （— —X j = — —x2 , g 〜丘' Vx =x 6 , as 〜三工，
所以以上三个无穷小量从低阶到高阶的次序为,应选（E）.
（2）【答案】（D）.
【解】F（_z）=]
\x (In x — 1) + C + I9 2彳1・
（（工 ]）2 工<]
一
取C=o得/'（工）的一个原函数为F（^）= ■, '八… 、「应选（D）.
（In jc — 1） + 19 工乍 1.
（3）【答案】 (B).
fo 1 1 0
【解】 因为 —e* Ax = er =—(0 — 1) =1，
一
x
'+°° 1 丄 1
―eT d:r = 一 er =+°°,
J 0 x 0
*0 1 丄 °+°° 1 丄
所以 二扌山收敛， -vex Ax 发散9应选(B).
-°° X 0 X
（4）【答案】（E）.
【解】 如图所示 的零点从左到右依次为工1（< 1）,工2，工3・
,f\x）
/■'（工）> 0, x 0, X 2 V z V H 3
值点；
八工）> 0,
、3'得工=g不是y（z）的极值点,
由
fO > o, 工 > 工 3
故f（J7）有两个极值点.
f"⑺
在工=1处不存在，又切线水平对应的点为工。及工3,
即 /"（工。）=0,7""（工3）=0.
< 0, 了 V ]
由 由“〃（工） ' 得（1 ,/（1））为曲线y = f （工）的拐点；
> 0, 1 < H < Xq
"） > 0,
由 、。'得（zo’/Qo））为曲线y = f （工）的拐点；
fj < 0, x q 0,
Z Z 3
即y =/（x）有三个拐点，应选（E）.
• 149 •
淘宝店铺：光速考研工作室（5）【答案】（A）.
【解】（工0）=/；（工0）=g'（攵0），
由---- 八""°~r > --------了心。）一T 得 < 咒（工。）< 0 = g"（z 0）‘
Ei + /l^o）2T Li + /；（x0）2r
存在5〉0,当0 VI工一工。|<5时，
\f \ （j-）〉f；〈工）>g'（z）, x 6 Cx 0 — 3 ,x 0）,
I/"； （z ） V 兀 Q ） V g'（h ）, x G （jt0 o +（^）.
再由/i（J?o）= /z <-2^0 ） = g（Zo），得在工0的邻域内有九（工）£几（工）£g（H）,从而
/1 （JC ） £ 几（2 ） Wg（z）,应选（A）.
（6）【答案】（D）.
r 初、 r/ _e (x — y) — eeJ _ e ( jt — 3/ — 1)
【解]几= (鼻 二匚二川，
—j/)2
e"2"
— yY
(■X
—：「亍)+ 二7=三=八应选
则咒+
(7) 【答案】（C）.
【解】 由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P AP =B.
对 P }AP =B 两边取转置得 P「AT（pT）T =B「，或[（pT）T]TAT[（pT）T] =B「,
即At与Bt相似,（A）正确；
由p lAP 得P *A ]P=B \即与IT】相似，（E）正确；
由 P AP =B RP 'A~ P=B 1，得 P 】（A 十A jp =B + B_' ,
即A+AT与B + B 1相似，（D）正确，应选（C）.
(8) 【答案】（C）.
/a 1 1 \
【解】方法一 二次型的矩阵为A = 1 6Z 1 ,
1 la'
A a - 1 - 1 1 1 1
一
由丨XE-A \ = —1 A 一 a 一 1 =(A — a — 2 ) —1 A 一 a 一 1
一
1
一
1 A
一
a —1
一
1 A
一
a
1 1 1
(A — a — 2) 0 ―a + 1 0 =(A —a — 2)( 入 一 a +1)2 = 0 ?
0 0 A — q + 1
得A ] a + 2 ? A 2 = A 3 = a 1.
一
因为正、负惯性指数分别为】2所以解得-2G<1,应选（C）.
方法二 取a = 0,二次型/ （工1 ,乂2,工3）=2厂工2 +2工]工3 + 2工2久3，
/0 1 1
二次型的矩阵为A = 1 0 1
'1 1 0
• 150 •
淘宝店铺：光速考研工作室A - 1 - 1
由 I AE-A |= - 1 A - 1 =(A -2)(A + l)2 = 0 得入】=2 ,入 2 =入 3 = — 1，此时二次
-1 - 1 A
型的正惯性指数为1,负惯性指数为2,满足题设的条件，故a =0时成立，应选(C).
二、填空题
7T
(9) 【答案】y =x + y•
r 3
【解】 由 lim — = 1 , lim (y 一 工)=lim ———q 一 x + arctanC 1 + 2 ) 7 TV
•*r-00 X 1 + X
3
得y = 7-7_2 + arctan( 1 + z $)的斜渐近线为夕=工+ £.
(10) 【答案】sin 1 — cos 1.
W (sin — + 2sin — + …+ n sin
【解】 lim
z? ' n n
\ i . i f1 . fi I 1 fi
=lim 一 —sin — = x sin x dx = 一 x d(cos x) — 一x cos x + cos x dz
”—8 n l = x n n Jo J o Io Jo
=—cos 1 + sin 1 = sin 1 一 cos 1.
(11) 【答案】yf — y ^=2jc — j:2.
【解】 方法一 设所求方程为夕‘+ 〃(工)y =q (_z ),
将yx =x2 — eJ ,y2 = x2代入所设方程得
12 j： 一 e" + (jr 2 一 eJ )/> (j： ) =q(jc),
\2x +工？力(工)= q(z).
解得pO = —l,q(_z) = 2jt — x2，故所求的微分方程为y' — y — — X2.
方法二 设所求的微分方程为夕'+ p (攵)y =q(_z ).
令 $1 =g2 _ eJ ,夕2 =工2 ,
由线性微分方程解的结构得y 2 — yi = eJ为_y' + p(x)y = 0的解，代入得〃(工)=一1,
将加二工？代入;V’一)=<7(工)得 q(z)=2jr — x2 ,
故所求的微分方程为yf — y — x2.
(12) 【答案】5・2”t.
【解】方法一
由 f' (x ) = 2(工 + 1) + 2/(jc ) =2\_x + /(x )] + 2 得 /(0) = 1 ,/z (0) = 4,
由 //z(x ) = 2口 + /z (jr ,得/'"(0) = 2 • 5 ,
由 fO=2f"y 得 /〃(0) =22 • 5,
依次类推，由十"〉(工)=2f "TQ),得广(0) =5 • 2—.
方法二 由于(工)=(工+1严+2「/(/)dr,得/'(工)一2/(工)=2Q + 1),解得
J 0
心)=卩2(工+l)e卜皿山 +c] J」一込=Ce2j —工—'
5 5 2
由 /(0) = 1 得 C =—,故 f(x ) = —e2r — x —
当 /? > 2 时，/(n)(a：) =5 • 2"TJ工，故 /(n)(0) = 5 • 2
• 151 •
淘宝店铺：光速考研工作室(13)【答案】2麗％
【解】 设 t 时刻 P 点的坐标为(工=丿工2(/) +，？(/) = a/j； 2 (^ ) + J： 6 (i ),
由题意得
at
d/ (Z)+ 5(Z) djc
dt 2 丿工2&) +工6&) &
取")=1,將〜则汾島®=2g.
(14)【答案】2.
令」 -1 1\ 1 0
【解】 a -1 —1 1
'1
1 -1 a 0 1
因为A与B等价，所以r(A) =r(B),
/I 1 °\ /I 1 0\
由 B = 0 - 1 0 - 1 1得r(B) = 2,从而 r (A ) = 2,于是 |A 1 = 0.
'1 0 J 'o 0 o'
1 1 1 1 1 1
由 | A | = (a — 2) -1 a 1 =(a_2) 0 a + 1 0 =(a — 2)(a + l)2 = 0,
一
—1 1 a 0 0 Q + 1
一
得a=2或a=— 1,
而当a = — 1时9厂(A) =1= — 1舍去，故a =2.
三、解答题
4 11111 4
(15)【解】 方法一 lim(cos 2jc + 2x sin x V = eJ_*° " ?
x*0~
h、. In (cos 2 + sin x ) v ln[l + (cos 2jc + sin x
一
1)]
nulim-------------------------------= lim-------------------------
X HfO X4-----------------------------------------------------
工->0
cos 2x + 2工 sin x — 1 .. 一 2sin 2z + 2sin jc 2jc cos
lim-------------------------------= lim------------------------
-*o X LO
—2cos 2工 + 2cos x 一 x sin jc .. 4sin 一 3sin jc 一 x cos x
=lim =忸-------
6工2 12^----------------
•Zf 0
/ 1 sin 2x 1 sin X cos 工 \ _ 1
=liml — •--------- T 12-)~~3
•zf '3 3C-
0
故 lim (cos 2x + sin jc}x = e3 ・
x->0
_1
方法二 lim(cos 2«z + 2jc sin 工)°
x*0-
1
=lim [1 + ( cos 2jc + 2jc sin x D] cos 2x-|-2x sin x —1
x*0- I
.. cos 2x+2xsin x — \
hm ----------------7--------------
由 Wl-/ + 〒 + 2)=]-2 八〒+ ("),
• 152 •
淘宝店铺：光速考研工作室4
x sm• x = x 2 ---- 力 - ----Io / )4 9\
J !
得 cos 2工 + 2工 sin x - 1 〜-^x4 ,
十 〒 是 曰 lim- c - o -- s - - 2 -- x -- - + --- 2 -- jc -- - s - i - n -- - x -- - 一 ---- 1 = — 1 ,i5 , x , lim(cos 2x
十
2jt sin x V -
HfO X 3
jr->0
(16)【解】当0 <工V 1时，
f G)= (jc 2 — t 2" ) dt + 门( \ 十 t 2 一 x 2 \) a1 t =x3 ----x 1 H3 ---| -- 1 - -- 一 -- - X -- 3 - 一 jc 2 ( 1 — x )
3 3
0
3 3
当工 $1 时,f(x) = [ (jc 2
一
t2 )dt = x2 丄
I
J 0
£
1
iX 3 + | ----------X 2 0 V 工 V 1,
则 _/(z) =v ;_丄
X 2 ■Z 2 1.
当 0 V jc V 1 时 9/z(J?) = 4jc2
当e > 1时9厂(z ) = 2工.
£ £
x3 + -^----x2
I
由lim心)T⑴ lim ?=2,即 fl =2；
■I f 1_ X 一 1 r —1_ x 一 1
2_1_ £
心「⑴f " 3 3
lim ------------------=2,艮卩几(1) =2,
Hf i+ 力—1 L1+ 工一1
得厂(1) =2,
4工2 一 2jc 9 0 V z < 1,
于是fj) =
2工9 •z $ 1.
令厂(工)=0得工=*,
当 OVz ＜+ 时，/''（工）＜0；当工〉+ 时，/''（z）＞0,故工=
y为fG）的最小值点,
最小值为
（17）【解】（，+ y2）z + lnN + 2Q +夕+ 1）= 0两边分别对x 9y 求偏导得
2咖+ S+0字+丄聖+ 2=0
djc Z djc
切+ 2+小J +丄字+ 2=0,
d y Z dy
令二=0，字=°得-=-丄，》= —丄，
OX dy z Z
代入Q2 + j/2 )z + In + 2(工 + + 1) = 0 中得
z y
• 153 •
淘宝店铺：光速考研工作室2 , [x = 一 19
In n--------2=0,解得 n =1_9从而
N $ = — 1.
上面方程组中的两式分别对z，夕求偏导得
2+-f4=o,
2z + 4工 ---F（工
2 + ）2 ） -~-—
dx dx z djc
3z d2z 1 3z 3z 1 32z
丿2工-^- + 2y — + (x2 +y2)
3x dy z2 dx 3y Z ^JC 3y
带之 1 护N c
Z9 n 十I A4 y d 3 z y i / 2 十- 夕2)) —dy y--------z----2 2 -I \-- Z ]-- -- 3 -- y -- 2 -= 0 .
将工= — l,y = — l,z = 1, r—- = 0 = 0 代入得
dx dy
£
32z 2 R 32 z 32z
A =o， c J
0工2 (-1,-1) (-1,-1) ^y2 (-1,-1)
由 AC — Bi >0 且 A <0 得 z = z (jt ,y)的极大值为 z (— 1, — 1)=1.
（18）【解】 由奇偶性得
2 2 rr 2 2
工—夕吐曲=
x 2 I y 2
JDJ 丿
A \x = rcos 6 9 于苧，0£ Ycsc0）,则
方法一 令 ^
\y = rsin 0
rr z2 —夕2 ,3 : n 曲 csc 0
2工―2dr dj/ = 厂(cos'O 一 sin2^)dr
o
, T 3n cos2 (9 — sin2i9 1 ,3 : k (csc20 一 2)d0
I
T sin'。 T
3n
e T )—T
n — 7T
T
rr 2 2
方法二 d-心=
+ ^2
2
怦d 2 2 dr dj/
X +夕
D D
1-4卜伽 'y dz
0 2
2 十| _』2
=i_4£('
j/arctan —
y
o o
=1 — 7t ydy
0
—7
(19)【解】 将 y2 =u(j：)ex 代入原方程得
2
(2工-1)u + (*2a 一 3) / = 0 9 或况〃 + (1 — 2x 一 1 U = 0 9
解得 /（工）=GeT"占）"=C］（2工 一 l）e
• 154 •
淘宝店铺：光速考研工作室从而"(_z) = Cj (2j? — 1) d_z + C2 =
一
Ci(2jc + 1) + C2,
(Ci e + C2 = e,
由 u (— 1) = e,"(0) = — 1 得 I— Ci + C2 =—
1.
解得 Ci =1 ,C2 = 0,于是 u (a: ) — — (2j: + l)e_J ,
故原方程的通解为y =Cie +C2(2_z +1)(G ,C2为任意常数).
「
(20)【解】 区域D绕工轴旋转所得旋转体的体积为
2 f1 2 2 r° . 6 2 .
V = —7T 一 兀| y dj? = —ti — 7T sint • (一 3cos rsin t)dt
3 Jo 3 J
今
=—tt
一
3tc I sin71 • (1 — sin2 t)dt = —it
一
3tc(
/7 一
19 )
3 Jo 3
2 16 18
=—7T-----------------7T =—TV.
3 105 35
区域D绕工轴旋转所得旋转体的表面积为
S = 2托+ 2托
2兀+ 2兀 sin3^ A/9ssiinn4Zcos2^ + 9cos4^sin2Z dt
0
2兀 + 6tc 2 sin4 cos tdt
0
2兀+瞥 16k
b
（2i）（ i
）t解】方法一由题意，得z（^）=r
J 0 — O7T
于（工）在
八3兀 上的平均值为7=|-fT/（^）ci^,
OTCJ 0
r~ I 竺 r —
由 /(j：)djr =jc/(jc)
一
x
J 0 Io Jo
3兀
. o 3 ~2 k 杰 7 Z ~ S C 匸 OS 討 X 」 「 J r3 。 T n 亦 X C 二 OS 真 X 山 I 1 J o Ct — (3兀 石 一 弓 )co — s x 也
方法二 由题意，得/■&） =「&,
J 0 Zt
— 0 71
「 37tl •
/■（•z）在0,y上的平均值为
2 fl cos t /3tt \ , 1 待 , 1
=贏1。亦二真•（yr丿&=—真cos/山二殆.
• 155 ・
淘宝店铺：光速考研工作室（n）［证明】/U） COS X
3兀
一
当o ＜工＜ 牛时,八工）＜ 0』（工）在o,y 上单调递减，
u _ u _
再由/（0） = 0得/（2）＜0（0＜工£守），特别地,_/ （守）V 0.
由积分中值定理，存在C C 0,甞，使得/（c） = f =-^- ＞ 0,显然c G 4,警
由零点定理，存在W C （守,C）U , — ，使得/（^） =0.
因为守Vh V苧时，f' O ＞0,所以f Cjc）在（㊁，丁）内最多只有一个零点，
故心）在（0,罗）
内存在唯一的零点.
1 1 1 1 — a . 0 \ Z1 1 1 一 a 0 \
(22) 【解】（I ）（4 “） =1 0 a ； 1 —A 0 -1 2a - 1 1
'a + 1 1 'o
a + 1 1 2a -2 0 —a $ + 2(i : a — 2
因为AX =0无解，所以r (A ) # r(A),
从而一a? +2a = 0,于是a = 0或 a = 2.
/I 1 --l：0
当 a =2 时 9(A【0)f O — 1 3 1
•
'o 0 o i o
此时 r (A ) = r (A ) =2 V 3 ,所以a =2时，方程组有无数个解，矛盾，故a =0.
/I 1 1、 I3 2 2\ / T\
([I )A = 1 0 0 9 A 1A = 2 2 2 A'P -2
9 = 9
h 1 I1 2 2/
-2
/3 2 2 : — 1 I1 0 0 : 1 \
由 Wa \A7P)= 2 2 2 -2 - 0 1 1 -2
•
'2 2 2 1 - 2丿 /
'0 0 0 i 0
0 / 1 \
得方程组atax 的通解为X=k\--1 1+ -2 （k为任意常数）.
\ 0 /
1
A 1 -1
(23)【解】(I )由 | XE-A | = —2 A + 3 0 =A （A +1）（入+ 2）=0,得矩阵A的特征
0 0 A
值为入1 1,入2 = — 2,入3 = 0.
=一
将入 1 = —1 代入(AE -A)X = 0,
-1 1 -1 1 -1 4
由 _E _A = -2 2 0 0 0
0 0 -1 0 0 o'
• 156
淘宝店铺：光速考研工作室入1 = —1对应的特征向量为学 1
0
将入2 = —2代入QE 0,
丄
由—…厂 1 _ 1 1 0
2
1 0 得
0 0 1
' 0
0 -2
[0 0 0
11
入2 = —2对应的特征向量为S
0
将A 3 = 0代入QE —A)X =0,
1° 1 -1 1 0
由—A = I — 2 3 0 得
0 1 —1
' 0
0 0
10
0 0
入3=0对应的特征向量为S
2Z
令4 1 3\ / -1 0
2 2 ，由 p AP 0 -2
'o 0 2' 0 0 Q'
2 -1 -2'
(-1)" 0 0\ Z1 1 3\ /(-I)99 0 0 丄
-1 1
A99 0 (-2)" 0 P 1 -1 2 2 0 (-2)" 0
0) 2/
0 0 '0 0 0 0 0
0 0
兀,
2" — 2 1 —2" 2 --2 莓
2100 — 2 1 —2100 2 --2"
•
\ 0 0 0
(U )由 =BA 得 3“° =B98B2 =B"A = ... =BA"
/2" — 2 1 - 2" 2 — 298
即(01,02,03)=(a! ,a2 ,a3) 2100 -2 1 - 2100 2 — 2"
0 0 0
I0i= (2" — 2)a i + (2100 — 2)a2 + Oct3,
02 =( 1 — 2" )a ] + (1 — 2100 )a 2 + Oa3,
故丿
[jj3 — (2 — 298 )ct i + (2 — 2")
