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2019年数学（二）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（C）.
【解】方法一
由lim工_向工=恤1 _ sec咯 =_£得工_ tan 〜_£工3（工一 °）,
工 LO 3z 3 3
故工一 tan x为3阶无穷小量，即k = 3,应选（C）.
方法二
由 tan x —x + £工3 + o （j: 3） 得 z — tan x ~----x3 （z — 0）,
«J
o
故％ = 3,应选（C）.
（2） 【答案】（E）.
【解】 yf =x cos x 一 sin x x sin x ?
，夕〃 =—
令 x sin x = 0 得工 9 =7T,
夕〃=—— =。 工
当z € （-J,O ）时，/< 0,当工e （0,7T）时V0,则（0,2）不是拐点；
当工G （冗，2兀）时，j/'>0,故（兀，一2）为拐点，应选（E）.
（3） 【答案】（D）.
【解】方法一
r+°° f+8
由 x e_r djc = r（2 ） = 1 得 x e_r dj?收敛；
J o J 0
f+°° 2 1 2 I +°° 1 r+°° 2
由 | x djr =----e~x =百得| x （£z 收敛；
Z I o / J o
arctan x . 1 . . , I +，" x2 /曰 f+°° arctan x . 比心
--------- dx = —-（arctan jc ）2 ==得 ------ ckz 收敛，
1 +/ 2 I o 8 Jo 1 +_z2
—~ dx发散，应选（D）.
方法二
qr r+8 nr
由 l l + im 8 x • - 1 - - + -- - 工 -- 7 2 = 1且q=1W1得广义积分 Jo - 1 - + -- - X -dr发散9应选（D）.
（4） 【答案】（D）.
【解】 微分方程：/' + ayr + by 的特征方程为A 2 + «A + 6 = 0 ,
由y = （Ci + C2x ）e_J + e"为微分方程的通解可知，
特征根为入i =入2 = — 1,则a = 2,b=l；
再由_y * = e"为微分方程y" + ayr -V by =ceJ的特解得c = 4 ,应选（D）.
（5） 【答案】（A）.
【解】 由 / $ 0 时，sin / £ / 得 siny2 W Jx2 y2，从而 I2 V 4 ；
X tv i 1 — cos \rJ^xr ~\+_ yr = 。 Zs • in2 --- /~ --- 2~ -十 ~ - I - - 》 -- - F = 2 o s i . n --- / - ~x - ~ - 2 - ~ - ~ 十 i - -夕--- F - • s . m - - J - / - ~x - - 2 - ~ - ~ 十 i - -- 》 -- F -9
• 171 •
淘宝店铺：光速考研工作室2
sin Jx2 + j2 = 2sin------------- • cos
2 ，
沖空尹£ 空戸
由 x2 + y2 W W 0,于，从而si cos
2
于是 sin a/j ；2 + 夕 2 $ 1 一 COS 丿Z 2 + y1，故【3 ＜【2，应选(A).
(6)【答案】(A).
【解】 若lim ---- =0,得 f(a) =g(a)；
— (x —a)
由 lim 八：)_弓¥ = 0 得 lim 八；)_ g'") = 0 ,从而 /' (a ) = / (a )；
x~^a (X CL ) x~^a u\X CL )
门
[=扛
由 0= tlin/G—巡◎= +応『(刃—/3—/&)—/(") a)—g 〃(泅
2 工—a x 一 a 2 工-^ |_ x 一 a x — a J L
得 f'\a ) =g"(a ),
即由lim ----"貨'=0可得/(je ) ,g (jc )在工=a处相切且曲率相等；
—a (x 一 a)
反之，若/(a) = g(a) / (a) = g'(a) , | f (a) | = | g"(a) |，则不能保证lim ---- = 0,
a (z — a)
故lim(O----'严)=0是y =/(z ) ,y =g (z )在=a对应点处相切且曲率相等的充分
工一 (jc 一 a )
a
不必要条件，应选(A).
(7) 【答案】(A).
【解】 因为AX=0的基础解系中含2个解向量，所以r(A)=2<4,
故 r(A * ) =0,应选(A).
(8) 【答案】(C).
【解】 令AX =AX(X 0),
由 A2 + A = 2E 得GV + A — 2E)X = (入 2 +入—2)X=0,
从而有入$+入一2=0,即入——2或入=1,
因为| A |=4,所以入1 =1,入2=入3= —2,
故二次型XAX的规范形为y{-yl-yl，应选(C).
二、填空题
(9) 【答案】4e2.
「 , ”” 匚,工小
-] 20+2"-1) 2
工
【解】lim(^ +2T)7 =lim (1 +z +2’ 一 I*) t =e f 0
x—*-0 ■0
= e2(1+ln2) eln4e2 =4e2.
3 TT
(10) r答案】 y+ 2.
【解】t=罗对应曲线上的点为(罗+ 1,1),
护=严一，斜率为学I「T，
djf 1 一 COS t ckz I i = y
• 172 •
淘宝店铺：光速考研工作室切线方程为
厂1 一―
3 7T
令x =0得切线在y轴上的截距为y =— + 2.
(11)【答案】
【解】
2v3
贝lj 2工了二+夕亍二
OX dy
(12)【答案】 lln 3-
【解】 曲线段的长度为
s =『7TT产吐=
a/1 + tan2 j? djc = sec x cLz
J 00 J o 0
』彳+右)= 佔* =
In | sec x + tan x | I 6 =1 1 111 3.
0
cos 1 1
(13)【答案】 一
4
【解】 /(jc )dj?= - s - i• - n - -- t. - 2 d , t s -- m・ -- -- t - 2 & . 1 X T 2 - s - i• - n - -- x -- 2 cLr
t x
0 0
£
1 _ COS 1 — 1
jc sin x2 x2 d(a：2) = —cos X 2
o 4 0 4
(14)【答案】一4.
【解】
1 _ 1 0 0
-2 1 _ 1 1
A 】】—A i2 = 1 X A n — 1 X A j2 + OA13 + 0A14 =丨 A 丨=
3 -2 2 -1
0 0 3 4
1 0 0 0
-1 —1 1 1 — 1 1
—2 --1 —1 1
_ _
—— 1 2 — 1 0 1 0 = — 4.
3 1 2 -1
0 3 4 0 3 4
0 0 3 4
三、解答题
(宀
In
(15)【解】当 x > 0 时，f & )= / _ (/ e2x x 7 ) —X 2x • (21n x + 2)；
当工 V 0 时,/z(jc： ) = (jc + l)e° 9
f (z) — f (0) . e2jlnx — 1
由lim =lim = lim 21n x = 一 00 得在 x =0处不可导,
x*0- + 工 °------ 工一()+ x----------zfo+
于是有
x2x (21n z + 2) 9 •Z 0 9
〉
(工 + l)e° 9 •z < 0.
• 173 •
淘宝店铺：光速考研工作室/z(j? ) = 0或/(jr )的不可导的点为z = — 1,工= O,jc = +，
当工 <—1 时，/■'(#)< o；当一1 <工 v o 时，/■'&)> 0；
当o <工v丄时，/•'(#)V 0;当工〉丄时,/7x) > 0,
e e
故工=-1为极小值点，极小值为/(-1) = 1 —丄;
e
工=0为极大值点，极大值为f(0) =1；
2_
X =+为极小值点，极小值为/■(+)=&) •
人 3 工 +6 A B Cx + D
(16)【解】 -------------------------------:-----------------------------------------------------—| ----------------------------------------------------------------
(JC — l)2(jf2 X + 1) X — \ (JC — 1 )2 J7 2 + JE + 1
由 AS — 1)(/ 十工 + 1)+BQ2 十工 +1) + (Ch +D)(工一1)2 = 3工 +6 得
A + C = 0,
B -2C + D = 0,
_B + C — 2D = 3 9
-A +B +D =6,
解得 A = —2,E =3,C=2,D =1,故
3«z + 6 —2 3 2工 +1
------- 厂—9--------:— ckz
(工一1)钦/ + x + 1) _x — \ (工一l)' 2 + + 1_
=—21n | x 一 1 |----------- + ln( j?2 + x + 1) + C.
x 一 1
(17)【解】(I )夕=(]£ 寸—。2 •丿 dr + C)e '皿=J石 + C)e 2 ,
2
由 y (1) =7e 得 C = 0 9 即 jy (z ) = \!~x e 2 ・
「 TT 7T
2 f*2 2 2 I 2
(II )V = ny2(\x = TT x e djc =_ye^ = ~z~(e4 — e )・
(18)【解】 由对称性得
『—也 dy=『一 d. dy,
令$7込0,仔学owYsige),则
『 乂 +》…cLzdv = [T dd [S，n J sin Odr = + [池亦0皿
勺好寸 J7 J。 2Ji
i 1 f9— COS ( n J = t i 广—生
T o o 丄—2“ °、八
= — (1 — cos 9) d(cos 6) =------ (1 — t ) dr
2 J专 /」T
c匹 逕
= 2 (l-t2Ydt = 2 (1 - 2f2 +?)dz
43
120
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淘宝店铺：光速考研工作室dn—1 r< 兀
(19)【解】S” =工(—1)“ (£+1) e sin x dz
k=0
J 1kn
兀
- 1 r sin x + cos x ) 4 + 1)
k 7t
n-1
= 4Z：e-(^+e->4 e— kn 一e— 7T 1 1 + 2e-(l-e-)_^
厶 k=0 / 2 l-e~
故limS” = lim * + =y)- e-l=| + J.
n*°°~ 1 — e u c — 1
"f8 匕
(20)【解】 字=^e“十 + aveax+by , 竺=丫严® +bvex+by ,
OX ox dy dy
d2 u d2 v ,, dz) , , „ ,,
—r = —+ 2a —eax+hy + 血严® ,
djc 3x 3x
d2 u 32 zi 3d ,
―7 = —veax+by + 26 —ex+by + b2ve^by ,
3y 3y2 dy
代入已知等式得
□2 ?
q2 q
2 ~^eax+/,y + 4a $严® + 2a2veax+by 一 2 —^eax+by - 46 ~eax+by — 2b2veax+hy +
ox dy dy
3 ~^eax+by + 3aveax+hy + 3 ^eax+by + 3bveaj:+hy =0,
ox dy
整理得
32 V 32 77 dy dv 9 9
2 -~2 一 2 -―- + (4a + 3) -----(3 — 4b) --------(2a 一 2b + 3a + 36)77 = 0,
dx dy dy
由题意得m二解得a=—和=#
（21）【证明】（I）令 F（乂）= f （t）dt 9 则 F‘（工）=*/ （ 乂）9
J 0
由拉格朗日中值定理得
1=| /（j;）djc =F（1） — F（0） = F，（c）（l — 0） = f （c） （0 0 2 r» 0 -1 1
'0 / — 1'
/+3/
4 0
当a = — 1时，向量组a
1
9 a
2
9a
3
的秩为2,
0 1\ /I 0
由
（01 902，03）= （1 2 0 1 1 得 P^P2 P 的秩为2,
3
2 0 0
/I 1 1 1 0 /I 1 1 1 0 1\
3卜
fl2 ] 0 2 1 2 0 -1 1 0 2 2
(a 19a2 9a3 903)
4/ o'
'4 4 4 2 2 0 0 -2 2
因为r（a1 ，a2 ,a3） H r（a 1 ‘a? ‘a?,力 ），所以两个向量组不等价;
，02
Z1 1 1 1 0 1\ /! 1 1 1 0 1\
当 a =1 时 9（么1 9。2，。3，01 ,02 903） =1 0 2 1 2 3 -» 0 - 1 1 0 2 2
'o 0 o'
'4 4 4 4 0 0 0 0
因为厂(a ] 9(^2 9(/3)=厂(01 902 903)-= r(a 9 a 2 ,a 901 9 卩 903 )= 2 9
3 2
所以两个向量组等价.
令 J： 2U 2 +工 。
1 tt 1 3 3 =03,
11
1 1 * 1 1 /I 0 2 3 \
3卜
再由(CL 1 9 U 2 9。 3 ，卩 3)= h '4 0 4 4 2 J \ （） ） - 0 1 0 1 o 2 ' - '0 0 1 — 0 1 一 0 2 / 得
方程组工 a =/h 的通解为
41 + ^202 + 3 3
/- 2 / — 2k + 3
+
X = k 1 k -2 Ck为任意常数）,
1 k
故 03 = (— 2k + 3)ot] + (怡一2)(X2 + ka3(b 为任意常数).
当a H 士 1时，向量组aa j] ,, aa 22 9,a , 的秩为3,
1 0 1 \ /I 0 1 /I 0 1
由 ，02 1 2 3 0 1 1 0 1 1 得
（01 ，03）=
a + 3 1 — a a2 + 3 0 1 —a a2 a 0 0 a2 -1
一
向量组01,02,03的秩为3,
/I 1 1 1 0 1 \
再由(Ct] 9 OC 2901 902 903)= • 0 2 1 1 2 3
a2 +3/
'4 4 a 2 + 3 1 a + 3 1 a
一
I1 1 1 1 0 1
0 -1 1 :0 2 2 得
'0
0 a2 _ 1 :a 一 1 1 -a a2 一 1
r (a、i ci 2 ，® r (ft i ,02 =r(a j •> a 2 9a 3 90i 02，03） =3,
3) ‘03)=
故两个向量组等价.
令 + 工
215 + x2a2 303 =03,
• 176 •
淘宝店铺：光速考研工作室1 1 1 1 1 1 1 1
由（a i , a 2,a 3，0Q = 11 0 2 3 0 —1 1 2
-1 4 a2 + 3 a2 + 3 0 0 a2 一 1 i a 2 —-F
/I 1 1 1 /I 1 0 :0\ [1 0 0 : 1 \
0 —1 1 2 0 -1 0 1 一 0 1 0 -1 得
1
0 0 1 1 0 0 1 1 1''0 0 1 1 1
P 3 a ] — a2 + a 3
（23）【解】（ I ）因为A〜B,所以 tr A = tr B ,即 z 4 =* +1,或 J = x —-5,
再由 | A | = | B | 得一 2（— 2jc + 4） = 一 2y ,即 y = 一 2x + 4,
解得 x = — 2.
厂2 -2 1 \ /2 1 0 \
（n）a = 2 3 -2 ,B =0 - 1 o r
' 0 -2丿 'o 0 一2/
0
显然矩阵A,B 的特征值为A !==一2,入 2 =一 1，入 3 = 2 9
丄
0 I
/O - 2
由 2E +A -* 2 1 X得A的属于特征值心=—2的特征向量为
1
7
0
0
' 4 /
I1 2 — 1 /I 2 O\
4°
由 E +A t 0 1 一 0 0 1得A的属于特征值入2= —1的特征向量为
'o 'o 0」
0 0
0
得A的属于特征值入3 =2的特征向量为
0
-2 — -2 0 0
1 2，贝 iJPjAP] 0 —1 0
' 4 0 0 '
0 0 2
/4 1 °\ I1 0 °\
由 2E+B= 0 1 0 - 1 0得B的属于特征值右=-2的特征向量为01 ==0
'o 'o
0 0
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淘宝店铺：光速考研工作室1
[3 1 o o \ L 1 OQ 0
由 E +B ==0 0
0 o 1
得B的属于特征值入2 = —1的特征向量为
-1'
'0 0 -
0 0 0,
02=| 3
' 0丿
/° -1 °\ (0 1 °\
J
由 2E-B ==0 3 0 - 0 0 得B的属于特征值入2=2的特征向量为氏=
'o 'o o'
0 0
/° -1 七 1 一-2 0 0\
令 P2 = 0 3 0 ，则 P7 BP = 0 - 1 0 ,
4 0丿 \ 0 0 2/
0
由 PT AP, =p- BP. 得(PiPj)TA(PiP^) =B,
—1 — 1 — 1
故 P=P1PZ1 = 2 1 2
' 0 0 4
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淘宝店铺：光速考研工作室
