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第 30 讲 抽屉原理（二）
一、知识要点
在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而
增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的
等式：
元素总数=商×抽屉数+余数
如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
二、精讲精练
【例题1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小
朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
把 120 个小朋友看做 是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则
364=120×3+4，4＜120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞
k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。
练习1：
1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分
给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是
为什么？
3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？
【例题2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，
才能保证其中一定有3个球的颜色一样？
把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第
（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9（个）球。列算式为
（3—1）×4+1=9（个）
练习2：
1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中
一定有3个颜色一样的球？
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、
大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少
有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？
3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。至少
要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？
【例题3】某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数
学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至
少有几名学生参加的项目完全相同？
参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参
加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类
型。把4+6+4+1=15（种）类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为
46=3×15+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
练习3：
1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀
作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以
参加两个（可以不参加）。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班
的情况完全相同？
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？
【例题4】从1至30中，3的倍数有30÷3=10个，不是3的倍数的数有30—
10=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的
倍数。
练习4：
1、在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一
定有一个数能被5整除？
2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是
4的倍数？
[来源:学.科.网]
3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的
倍数？
【例题5】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11
张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。
这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，……，11张可片看做11个抽
屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需 1+2+3+……
+10+11=66（张）卡片。而400÷66=6……4（张），即每个周体都有6个元素，还余
下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个
元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。
练习5：
1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。证明：无论怎样分，
至少有6只猴子得到的桃一样多。
[来源:Z|xx|k.Com]
2、把61颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明：至
少有5个格子中的棋子数目相同。
3、汽车8小时行了310千米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千
米。
答案：
练1
[来源:Zxxk.Com]
1、把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125＝
3×40+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以肯
定有人会得到4件或4件以上的玩具。
2、把三个笔盒看做3个抽屉，因为16＝5×3+1，根据抽屉原理可以至少有
一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。
3、把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至
少应比抽屉个数的（7－1）倍多1，而25＝4×（7－1）+1，所以最多方子4个盒子
里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。
练2
1、最少应取出（3－1）×5+1＝11个球
2、至少取出（4－1）×3+1＝10块木块。
3、如果没有两张王牌，至少要取（4－1）×13+1＝40张，再加上两张王牌，
至少要摸出40+2＝42张，才能保证其中必有4张牌点数相同。
练3
1、小学六年中最多有2个闰年，共366×2+365×4＝2191天，因为13170＝
6×2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。
2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只
参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1种类
型。把4+6+4+1＝15种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46
＝15×3+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。3、全班订阅报刊的类型共有3+3+1＝7种，因为37＝5×7+2，所以其中至少
有6位学生订的报刊相同。
练4
1、在1～50中，5的倍数有50÷5＝10个，不是5的倍数的就有50－10＝40
个，至少要取出40+1＝41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。
[来源:Z*xx*k.Com]
2、在1～120中，4的倍数有120÷4＝30个，不是4的倍数有120－30＝90
个，正是要取出90+1＝91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。
3、差是5的两数有下列5组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、
27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要
使取出的数中没有两个数的差是5的倍数，最多只能从每组中各取1个数，即最
多可以取5个数。
练5
1、把 11 秒钟看做 11 个抽屉，把 100 米看作 100 个元素，因为 100＝
9×11+1，所以必有1个抽屉里超过9米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过9米
2、如图答30－1，把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角
形。把它看作4个抽屉，5个点看作5个元素，则一定有一个小三角形内有2个点，
这2个点之间的距离不超过1。
30－1
3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条，余下一个50×40的长方形，它的面积为2000平方厘米，再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆，若剪
去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形
中就能放进一个以这点为圆心的圆。因为 P×32×70的值就小于630×3.15＝
1984.5<2000，所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。[来源:学,科,网Z,X,X,K]
