2026年中考数学模拟猜题卷（解析版）_中考押题2026《中考押题》系列（9科全套实时更新中）_2026年中考数学模拟猜题卷（重庆专用）

2026 年中考数学模拟猜题卷
（全卷共四个大题，满分 150分，考试时间 120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
．．．
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
．．．
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成：
．．．．
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
．．．
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了代
号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所
．．．
对应的方框涂黑．
1．-2026的相反数是（ ）
1 1
A．-2026 B．2026 C．- D．
2026 2026
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数的直接求解即可．
【详解】解：
Q
与-2026只有符号不同的数为2026，
\-2026 的相反数是2026．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果
一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形
与中心对称图形的概念逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关
键．
【详解】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能
够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意．
3．下列调查中，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．检测一批新能源汽车电池的使用寿命
B．检查九年级一班学生的寒假作业完成情况
C．调查山西电视台某节目的收视率
D．了解全国中学生对“中国天眼”FAST的认知程度
【答案】B
【分析】当调查范围小，调查对象数量少，且调查不具有破坏性时适合用普查，反之适合抽样调查.
【详解】解：选项A检测电池使用寿命具有破坏性，选项C调查节目收视率范围大，选项D了解全国中学
生认知程度范围大，均适合抽样调查，选项B中九年级一班学生数量少，调查范围小，适合全面调查（普
查）.
4．如图，△ABD内接于
e
O，连接OA，OB，若ÐAOB=70°，则ÐD度数是（ ）
A．50° B．25° C．40° D．35°
【答案】D
1
【分析】由圆周角定理可直接得出ÐD= ÐAOB=35°．
2
【详解】解：∵ÐAOB=70°，
1 1
∴ÐD= ÐAOB= ´70°=35°．
2 2
5．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图
中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑦个图中黑色正
方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【分析】本题考查整式-图形类规律探究，从已有的图形中，概括出相应的数字规律，进行求解即可．
【详解】解：第①个图中黑色正方形纸片：3，
第②个图中黑色正方形纸片：3+2-1´2=5，第③个图中黑色正方形纸片：3+3-1´2=7，
LL
∴第 n个图中黑色正方形纸片：3+n-1´2=2n+1，
n
∴第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为：2´7+1=15．
k
6．已知点1,3在反比例函数y= （k为常数且k ¹0）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是
x
（ ）
A．3,1 B．1,-3 C．-1,-3 D．-3,-1
【答案】B
k
【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的k值，再根据反比例函数y= 的性质，图象上任意点的横纵
x
坐标乘积等于k，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断出结果．
k
【详解】解：∵点1,3在反比例函数y= 的图象上，
x
∴把x=1,y=3代入得k =xy=1´3=3，
即该反比例函数图象上的点满足xy=3，
依次验证各选项：
A、3´1=3，满足条件，点在图象上；
B、1´-3=-3¹3，不满足条件，点不在图象上；
C、-1´-3=3，满足条件，点在图象上；
D、-3´-1=3，满足条件，点在图象上．
7．下列四个数中，值最大的是（ ）
A．8.2´103 B．2.8´103 C．8.2´102 D．2.8´102
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比
较大小．
【详解】解：∵8.2´103 =8200，2.8´103 =2800，8.2´102 =820，2.8´102 =280，
8200>2800>820>280，
∴值最大的是8.2´103，
故选：A．
8．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92#汽油价格一月底是7.66元/升，三月底
92#汽油价格调整为8.58元/升．假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方
程，正确的是（ ）A．7.661+x2 =8.58 B．8.581+x2 =7.66
C．7.66  1+x2 =8.58 D．7.661+x+7.661+x2 =8.58
【答案】A
【分析】假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，从一月底到三月底共经过两次增长，利用
增长率关系即可推导．
【详解】解：假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，
根据题意得，7.661+x2 =8.58．
9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E旋转中心将线段AE顺时
针旋转90°，得到线段FE，连接AF ，FE交边CD于点G，H，则GH的长为（ ）．
5 3
A．3 B． C．2 D．
2 2
【答案】B
【分析】过点F 分别作BC、CD的垂线，交BC的延长线于点I ，交CD于点J，容易证明
V ABE≌ V EIFAAS，则EI = AB=6，FI = BE= 3．容易证明四边形CIFJ是正方形，则
1 3
CJ = FI = CI = FJ = 3 = EC，FJ∥IC．通过证明 V CEH≌ V JFHAAS可得JH= CJ = ，利用
2 2
GJ FJ 1
平行可证明△ADG∽△FJG，则 = = ，计算得GJ = 1，最后相加即可．
GD AD 2
【详解】解：如图，过点F 分别作BC、CD的垂线，交BC的延长线于点I ，交CD于点J，
由旋转的性质可知，AE=EF，ÐAEF =90°，
∴∠AEB+∠CEH= 180° -∠AEF = 90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ÐABC =ÐBCD=ÐADC =90°，AB=BC=CD=AD=6，AD∥BC，
∴∠AEB+∠BAE= 180° -∠ABE= 90°，
∴ÐBAE=ÐCEH ，∵点E是边BC的中点，
1
∴BE=CE= BC =3，
2
∵FI ^BI，
∴∠EIF = ∠ABC= 90°，
在 ABE和△EIF中，
V
ìÐBAE=ÐCEH
ï
íÐABC =ÐEIF ，
ï
îAE=EF
∴V ABE≌ V EIFAAS，
∴EI = AB=6，FI = BE= 3，
∴CI = EI - EC= 3，
∵FJ ^CD，
∴∠FJC= ∠EIF = ∠DCI = 90°，
∴四边形CIFJ是矩形，
∵CI = 3 = FI ，
∴四边形CIFJ是正方形，
∴CJ = FI = CI = FJ = 3 = EC，FJ∥IC，
∴∠CEH= ∠JFH，
在△CEH和 JFH 中，
V
ìÐCEH =ÐJFH
ï
íÐCHE=ÐJHF ，
ï
îEC =FJ
∴V CEH≌ V JFHAAS，
1 3
∴JH= CH= CJ = ，
2 2
∵CD=6，CJ =3，
∴DJ = CD-CJ = 3，
∵AD∥BC，FJ∥BC，
∴AD∥FJ，
∴△ADG∽△FJG，
GJ FJ 3 1
∴ = = = ，
GD AD 6 2
1
∴GJ = DJ = 1，
35
∴GH= GJ + JH= ．
2
10．已知整式M：a
n
xn +a
n-1
xn-1 +
L
+a
1
x+a
0
，其中n为非负整数，a
n
，a
n-1
，
L
，a
1
，a
0
均为正整数，若
a £4，n+a +a + +a +a £6，下列说法：
n n n-1 L 1 0
①满足条件的整式M 中只有4个单项式；
②当n=1，且0£a -a £2时，满足条件的整式M 共有5个；
n n-1
③当n>1，且0£a -a £2时，所有满足条件的整式M 的和为4x2+3x+4．
n n-1
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题
的关键．
根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答．
【详解】对于①， a
n
，a
n-1
，
L
，a
1
，a
0
均为正整数，整式M 要为单项式，
\n=0，则a £4,0+a £6，
0 0
\a 可以取1，2，3，4共4个，故①正确；
0
对于②，当n=1，且0£a -a £2，
1 0
又 a £4，n+a +a + +a +a £6，即a £4,1+a +a £6，
Q n n n-1 L 1 0 1 1 0
\a =1时，a =1,a =2,a =3，共3个；
0 1 1 1
a =2时，a =2,a =3，共2个；
0 1 1
综上，n=1时，且0£a -a £2时，满足条件的整式M 共有5个，故②正确；
n n-1
对于③，n>1，且0£a -a £2时，
n n-1
当n=2时，0£a -a £2，a £4，2+a +a +a £6，
2 1 2 2 1 0
此时，当a =1,a =1时，a =1或a =2；当a =2,a =1时，a =1；
0 1 2 2 0 1 2
当n=3时，则a £4，3+a +a +a +a £6，即a +a +a +a £3，
3 3 2 1 0 3 2 1 0
∵a
n
，a
n-1
，
L
，a
1
，a
0
均为正整数，
∴当n³3时，不符合题意；
综上，整式M 可以为x2+x+1或2x2+x+1或x2+x+2，
\所有满足条件的整式M 的和为4x2+3x+4，故③正确．
故选：A．
二、填空题：（本大题 6个小题，每小题 4分，共 24分）请将每小题的答案直接填在答题卡
．．．
中对应的横线上．11．在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，
C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率
为_____________．
1
【答案】
4
【分析】本题考查了求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．
找到等可能情况总数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，共4种选择，
1
则选中A类书籍的概率为 ．
4
1
故答案为： ．
4
12．如图，已知AB∥CD ,Ð2=40°，则Ð1=___________．
【答案】140°
【分析】根据对顶角与平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵Ð2=40°，
∴ÐBEF =Ð2=40°，
∵AB∥CD，
∴Ð1=180°-ÐBEF =140°．
13．若n为正整数，且满足n<2 5<n+1，则n=______．
【答案】4
【分析】先估算 5的大小，再根据不等式的性质估算2 5的大小，即可得解．
æ4ö 2 æ5ö 2  2
【详解】解： Qç ÷ =22 =4， ç ÷ =2.52 =6.25， 5 =5，
è2ø è2ø
4 5
\ < 5< ，
2 2
\4<2 5<5，
Q
n为正整数，
\n=4．
14．若实数x，y同时满足x- y =4，x +2y=10，则x+y2的值为___________．
【答案】64【分析】利用分类讨论求解方程得x=6，y=2，再代入x+y2即可，
【详解】解：∵x- y =4，
∴ y =x-4，且 y ³0
∴x³4；
∴ x =x，
把 x =x代入 x +2y=10得x+2y=10，
又 y =x-4，
所以，当y³0时，y = x-4，
∴x+2x-4=10，
解得x=6，
∴y=6-4=2；
当y<0时，-y=x-4，即y=4-x，
∴x+24-x=10，
解得x=-2，
又x³4，
所以，此种情况不存在；
∴x+y2 =6+22 =82 =64．
15．如图，四边形ABCD的外接圆
e
O的半径为5，
e
O的切线与CD的延长线交于点E，连接AC、
1
BD，已知AE P BD，AC =3 10，tanÐACB= ，则DE=______．
2
【答案】2 2
【分析】本题为圆的综合几何题，解题时先作直径AM 、辅助线BM、OD与AG^CE，利用切线性质、
1
平行线性质与垂径定理证得AB= AD；再结合圆周角定理与勾股定理，由tanÐACB= 求出
2
AB= AD=2 5；接着通过平行线性质、同弧圆周角相等与圆内接四边形性质，证得 V ABC∽ V EDA；在
Rt
V
ACG与Rt
V
AGD中，由勾股定理求出AG、CG、DG，进而得到CD=7 2；再通过角度推导证得
V
ACE∽
V
DAE，结合相似三角形的比例关系，联立求解最终算出DE=2 2．
【详解】解：作直径AM ，连接BM、OD，则ÐAMB=ÐACB,ÐABM =90°，作AG^CE，垂足为G，∵AE是
e
O的切线，
∴OA^ AE，又AE P BD，
∴OA^BD，
由垂径定理得： n n ，
AB= AD
∴AB= AD，ÐACD=ÐACB，
1
∵ÐAMB=ÐACB,ÐABM =90°，tanÐACB= ，
2
1 AB 1
∴tanÐAMB=tanÐACB= ，即 = ，
2 BM 2
设AB=x,BM =2x，
AM =2R=10，
由勾股定理：x2+2x2 =102，
解得x=2 5，
故AB= AD=2 5，BM =2x=4 5，
∵AE
P
BD，
∴ÐE=ÐBDC，
∵ÐBDC =ÐBAC，
∴ÐE=ÐBAC，
又∵四边形ABCD是外接圆，
∴ÐEDA=ÐABC，
∴ ABC∽ EDA，
V V
AB AC
∴ = ，
ED EA
∵AB= AD=2 5，AC =3 10，
2 5 3 10
∴ = ，
ED EA
3DE
即AE= ，
2
∵AG^CD，
∴ÐAGC =90°，又ÐACG=ÐACB，
AG 1
∴tanÐACG= =tanÐACB= ，
CG 2
∴CG=2AG，
在Rt V ACG中，AC2 = AG2+CG2，
即：  3 10 2 = AG2+2AG2，
解得：AG2 =18,AG=3 2，
∴CG=2AG=2´3 2 =6 2，
 2
同理，在Rt AGD中，可得：DG2 = AD2-AG2 = 2 5 -18=2，
V
∴DG= 2，
∴CD=DG+CG= 2+6 2 =7 2，
∵ÐOAE=90°，
∴ÐDAE=90°-ÐOAD，
∵OA=OD，
∴ÐOAD=ÐODA，
∴ÐAOD=180°-ÐOAD+ÐODA=180°-2ÐOAD=290°-ÐOAD，
1
即 ÐAOD=90°-ÐOAD，
2
1
∵ ÐAOD=ÐACG，
2
∴ÐACG=ÐDAE，即ÐACE=ÐDAE，
又∵ÐE=ÐE，
∴ ACE∽ DAE，
V V
AC CE
∴ = ，
DA AE
3DE
∵AE= ，AC =3 10，DA=2 5，CE=CD+DE=7 2+DE，
2
3 10 7 2+DE
=
∴ 2 5 3DE ，
2
解得：DE=2 2．
16．如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，若十位数字与个位数字之和为9，将M
的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令
x+ y
FM= ，若FM为整数，则称数M是“欢乐数”．例如：M =2718， 1+8=9，x=27，
Q
927+18
y=18，F(M)= =5为整数，\M =2718是“欢乐数”．若M为最小的“欢乐数”，则FM=
9
2a-4c
________；把一个“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，令GM= ，
b+2c
当GM为整数时，满足条件的M的最大值与最小值的和为________．
【答案】 5 9999
【分析】本题考查整数有关的新定义，设“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为
x+y a+b
c，则个位数字为9-c，x=10a+b，y=9c+9，FM= =a+c+1+ ，根据FM为整数得到
9 9
2a-4c 18
a+b=9，GM= = -2，再根据a的取值范围确定最大值和最小值．
9-a+2c 9-a+2c
【详解】解：设“欢乐数”M的千位数字记为a，百位数字记为b，十位数字记为c，则个位数字为9-c，
x=10a+b，y=10c+9-c=9c+9，
x+y 10a+b+9c+9 a+b
∴FM= = =a+c+1+ ，
9 9 9
∵FM为整数，
∴a+b是9的倍数，
∵四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，
∴1£a£9，1£b£9，1£c£8，
∴3£a+b£17，
∴a+b=9，
∴b=9-a，
若M为最小的“欢乐数”，则a=1，b=8，此时由四位数M满足各个数位数字都不为0且互不相等，得到
c=2，
a+b 9
∴若M为最小的“欢乐数”，则FM=a+c+1+ =1+2+1+ =5；
9 9
2a-4c
∵GM= ，
b+2c
2a-4c 18-29-a+2c 18
∴GM= = = -2，
9-a+2c 9-a+2c 9-a+2c
18 18 9
当a=1时，b=9-a=8，GM= -2= -2= -2，若M取得最小值，GM为整数，
9-a+2c 8+2c 4+c
则4+c=9，c=5，此时M =1854，符合题意；
18 18
当a=8时，b=9-a=1，GM= -2= -2，若M取得最大值，GM为整数，则
9-a+2c 1+2c
1+2c=9，c=4，此时M =8145，符合题意；
∴满足条件的M的最大值与最小值的和为1854+8145=9999．三、解答题：（本大题 2个小题，每小题 8分，共 16分）解答时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位
．．．
置上．
ìx-4<4x+2 ①
ï
17．求不等式组：í x+5 x+3 的所有整数解．
³ ②
ï
î 3 2
【答案】-1，0，1
【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所
有整数即可．
ìx-4<4x+2 ①
ï
【详解】解：í x+5 x+3 ，
³ ②
ï
î 3 2
解①，得x>-2，
解②，得x£1，
ìx>-2
∴í ，
îx£1
∴-2<x£1，
所有整数解为-1，0，1．
18．小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如
下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF，EF分别交BD、AD、BC于点O、E、F，连
接BE、DF．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形．（请完成下面的填空）
证明∵EF垂直平分BD，
∴①__________，EF ^BD．
∵AD∥BC，
∴②__________．
在 EDO和△FBO中，
V
ìÐEDO=ÐFBO
ï
í DO=BO
ï
î
③_________∴V EDO≌ V FBOASA，
∴OE=OF，
∵DO=BO，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵④__________，
∴四边形BFDE为菱形．
【答案】(1)见解析；
(2)①DO=BO；②ÐEDO=ÐFBO；③ÐDOE=ÐBOF ；④EF ^BD
【分析】本题考查作垂直平分线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）先证明
V
EDO≌
V
FBOASA，进而证明四边形BFDE为平行四边形．再根据对角线互相垂直的平行
四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：证明∵EF垂直平分BD，
∴DO=BO，EF ^BD．
∵AD∥BC，
∴ÐEDO=ÐFBO．
在 EDO和△FBO中，
V
ìÐEDO=ÐFBO
ï
í DO=BO
ï
îÐDOE=ÐBOF
∴V EDO≌ V FBOASA，
∴OE=OF，
∵DO=BO，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵EF ^BD，
∴四边形BFDE为菱形．
四、解答题：（本大题 7个小题，每小题 10分，共 70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的
．．．
位置上．
19．【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，
老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食
0.5mg和1.0mg剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况．
【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用x表示，单位为毫
米，分为四组：A.5£x<10；B.10£x<15；C.15£x<20；D.20£x£25；）下面给出部分信息：
0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度在B区间的数据为：
10，10，11，12，12，12，13，14，14
1.0mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为：
6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25
【实践探究】
两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表
剂量 0.5mg 1.0mg
平均数 12 13.45
中位数 a 13
众数 12 b
0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图
【问题解决】
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a= ，b= ，m= ；
(2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若养殖基地准备按0.5mg和1.0mg的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度
低于10mm的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？
【答案】(1)a=12，b=12，m=15
(2)1.0mg剂量更适合豚鼠牙齿的生长，理由见解析；(3)估计大概有675只豚鼠需要加大剂量投喂．
【分析】（1）计算0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的数量，根据中位数的定义可得a，根据众
数的定义可得b，根据0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的百分比之和等于1，可得m;
（2）比较平均数的大小即可；
（3）用两种剂量的豚鼠总数分别乘以对应的牙齿长度在A区间所占的比例，相加即可．
9
【详解】（1）解：40¸2=20（只）， =45%，
20
∵0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度在B区间的有9只，A区间有20´30%=6（只），D区间有
20´10%=2（只），C区间有20-9-6-2=3（只），
∴0.5mg剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第10只和第11只的牙齿长度分别为B区间的第4
个和第5个数据，
12+12
∴a= =12，
2
∵1.0mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为12，
∴b=12，
m%=1-30%-10%-45%=15%，
∴m=15．
（2）解：1.0mg剂量更适合豚鼠牙齿的生长．
理由：1.0mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（13.45mm）大于0.5mg剂量组中豚鼠牙齿生长长度平
均数（12mm）．
5
（3）解：1000´30%+1500´ =675（只）
20
∴估计大概有675只豚鼠需要加大剂量投喂．
æ 3 ö x2-2x+1
20．先化简，再求值：2x-1x+2-x-12x+3+ç1- ÷¸ ，其中
è x+2ø x2-4
æ 1ö -1
x=ç- ÷ -1- 2 +2sin45°．
è 2ø
2x2-3
1
【答案】 ，
x-1 2
【分析】由整式混合运算法则、分式混合运算法则化简，再计算x的值代入化简结果计算即可求解．
æ 3 ö x2-2x+1
【详解】解：2x-1x+2-x-12x+3+ç1- ÷¸
è x+2ø x2-4
=  2x2+3x-2  -  2x2+x-3  + æ ç x+2 - 3 ö ÷¸
x-12
èx+2 x+2ø x-2x+2
x-1 x-2x+2
=2x2+3x-2-2x2-x+3+ ´
x+2 x-12x-2
=2x+1+
x-1
2x+1x-1 x-2
= +
x-1 x-1
2x2-3
= ，
x-1
æ 1ö -1
Qx=ç- ÷ -1- 2 +2sin45°
è 2ø
  2
=-2- 2-1 +2´
2
=-2- 2+1+ 2
=-1，
2´-12-3
1
\原式= = ．
-1-1 2
21．2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已
知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与
4个“咔搭”遥控车共需要470元．
(1)每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？
(2)由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价
后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具
车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？
【答案】(1)每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元．
(2)降价后每个“拓升”遥控车售价为60元．
【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是x元，则每个“拓升”遥控车的售价是x+40元，根据题意列出
一元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）设降价后每个“咔搭”遥控车售价为m元，则每个“拓升”遥控车的售价是1.5m元，根据题意列出分式
方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设每个“咔搭”遥控车的售价是x元，则每个“拓升”遥控车的售价是x+40元．
根据题意，得3x+40+4x=470，
解方程，得x=50，
则有x+40=50+40=90，
答：每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元．
（2）解：设降价后每个“咔搭”遥控车售价为m元，则每个“拓升”遥控车的售价是1.5m元，
800 900
根据题意，得 - =5
m 1.5m解方程，得：m=40，
经检验，m=40是方程的解．
则有1.5m=60，
答：降价后每个“拓升”遥控车售价为60元．
22．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC =6，BD=8，动点P从点A出发，按
A®O®B的顺序运动（不含端点A，B），点Q在射线BC上运动（不含端点B），点P，Q同时开始运
动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每
5
秒
3
个单位长度，设运动时间为x秒，连接PB，OQ，设△APB的面积为y
1
，
V
BOC的面积与△BOQ的面
积之比为y ．
2
(1)分别求出y ，y 与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
1 2
(2)在平面直角坐标系中，画出y 和y 的函数图象，并分别写出函数y ，y 的一条性质；
1 2 1 2
(3)结合函数图象，当y £ y 时，直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
1 2
ì 2x(0<x£3)
ï 3
【答案】(1)y =í 3 21 ；y = (0<x<7)
1 - x+ (3<x<7) 2 x
ï
î 2 2
(2)作图见解析；性质：当0<x£3时，y 随x的增大而增大，当3<x<7时，y 随x的增大而减小；当
1 1
0<x<7时，y 随x的增大而减小（答案不唯一）
2
(3)0<x<1.2或6.7<x<7
【分析】（1）先根据菱形的性质得到AC^BD，AO=OC =3，BO=OD=4，再由勾股定理求解
1 1
BC = BO2+CO2 =5，当0<x£3时，y = AP´BO；当3<x<7时，y = BP´AO，据此求解y 的函
1 2 1 2 1
S BC
数解析式，而y = △BOC = ，据此求解y 的函数解析式；
2 S BQ 2
△BOQ
（2）根据对应的函数解析式，即可作图，再由函数图象可分析增减性；
（3）先求出两个函数图象的交点坐标，再由当y £ y 的解集，即y 的图象在y 的下方时x的取值范围求
1 2 1 2解即可．
【详解】（1）解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC =6，BD=8，
1 1
∴AC^BD，AO=OC = AC =3，BO =OD = BD =4，
2 2
∴BC = BO2+CO2 =5，
1 1
当0<x£3时，y = AP´BO= x×4=2x；
1 2 2
1 1 3 21
当3<x<7时，y = BP´AO= 3+4-x×3=- x+ ,
1 2 2 2 2
ì 2x(0<x£3)
ï
∴y =í 3 21 ；
1 - x+ (3<x<7)
ï
î 2 2
∵△BOQ与 BOC共BC边上的高，
V
S BC 5 3
y = △BOC = = =
∴ 2 S BQ 5 x
△BOQ x
3
3
∴y = (0<x<7)；
2 x
（2）解：可作y 和y 的函数图象如图：
1 2
性质：当0<x£3时，y 随x的增大而增大，当3<x<7时，y 随x的增大而减小；当0<x<7时，y 随x
1 1 2
的增大而减小（答案不唯一）3
（3）解：由题意得，2x= ，解得x»1.2（舍负）
x
3 21 3
- x+ = ，解得x»6.7或x»0.3（舍）
2 2 x
∴当y £ y 时，即y 的图象在y 的下方，
1 2 1 2
∴0<x<1.2或6.7<x<7．
23．如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的
正东方向60km处，D位于A的南偏东30o方向40km处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60o方
向．（参考数据： 2 »1.41， 3»1.73， 5 »2.24）
(1)求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
(2)现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙以B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的
速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到A基地距离的2 3倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留
整数）
【答案】(1)B和C两试验基地之间的距离约为12km
(2)当两人的距离是甲到A基地距离的2 3倍时，甲距离A基地10km
【分析】（1）作DE^ AB于E，作CF ^DE于F ，在Rt ADE中，解直角三角形可求得AE，DE，进而
V
得到BE，证明四边形BEFC为矩形，得到CF =BE，在Rt DCF中，解直角三角形可求得DF,进而可得
V
EF，即可得到BC；
（2）如图，当两人的距离是甲到A基地距离的2 3倍时，甲运动到点M 处，乙运动到点N 处，作
MQ^ AB于点Q，连接MN，则MN =2 3AM ，设AM =xkm，可表示出MN，BN ，AN，在Rt V AMQ
中，解直角三角形可表示出AQ，MQ，QN，在Rt MNQ中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即
V
可得解．
【详解】（1）解：如图，作DE^ AB于E，作CF ^DE于F ．由题意得ÐHAB=ÐB=90°，ÐHAD=30°，ÐDCP=60°，
\ÐDAE=ÐHAB-ÐHAD=60°，
1
\在Rt ADE中，AE= AD×cosÐDAE=40´ =20km，
V
2
3
DE= AD×sinÐDAE=40´ =20 3km，
2
\BE= AB-AE=60-20=40km．
DE^ AB，CF ^DE，ÐB=90°，
Q
\四边形BEFC为矩形，ÐCFD=90°，
\CF =BE=40km，ÐFCP=90°，
\ÐDCF =ÐPCF-ÐPCD=30°，
3 40 3
\在Rt V DCF中，DF =CF·tan30°=40´ = km,
3 3
40 3 20 3
\EF =DE-DF =20 3- = km，
3 3
20 3
\BC =EF = km»12km，
3
即B和C两试验基地之间的距离约为12km；
（2）解：如图，当两人的距离是甲到A基地距离的2 3倍时，甲运动到点M 处，乙运动到点N 处，
作MQ^ AB于点Q，连接MN，则MN =2 3AM ，ÐMAQ=90°-30°=60°，
设AM =xkm，则MN =2 3xkm，
Q
甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的2倍，
\BN =2AM =2xkm，\AN = AB-BN =60-2xkm．
1 3
在Rt V AMQ中，AQ= AM×cosÐMAQ= xkm，MQ= AM×sinÐMAQ= xkm．
2 2
1 æ 5 ö
\QN = AN-AQ=60-2x- x=ç60- x÷km．
2 è 2 ø
在Rt
V
MNQ中，根据勾股定理得：QN2+MQ2 =MN2，
æ 5 ö 2 æ 3 ö 2  2
即 ç60- x÷ +ç
ç
x÷
÷
= 2 3x ，
è 2 ø è 2 ø
整理得x2+60x-720=0，
解得x =-30+18 5 »10，x =-30-18 5（负值，舍去）．
1 2
答：当两人的距离是甲到A基地距离的2 3倍时，甲距离A基地10km．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2a¹0与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点
3
C，点A的坐标是-4,0，抛物线的对称轴是直线x=- ．
2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD^x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于
PF
点E．连接OP，线段OP与直线AC相交于点F ．求当 取得最大值时点P的坐标，当线段OC在y轴
FO
上滑动（线段OC长度保持不变），连接PC，OB，求PC+CO+OB的最小值；
(3)若点P是y轴左侧抛物线上的一动点，过点P作PD^x轴，垂足为D．若ÐOPD=2ÐCAO，请直接写
出所有符合条件的点P的横坐标，并写出求解点P的横坐标的其中一种情况的过程．
1 3
【答案】(1)y=- x2- x+2
2 2
PF
(2)
最大值时，点P的坐标为-2,3；PC+CO+OB的最小值为2+
10
FO
-3- 73 -9- 145
(3)点P的横坐标为 或 ，见解析
4 4
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
æ 1 3 ö
（2）求出直线AC的解析式，设点Pçm,- m2- m+2÷ -4<m<0，进而得到D(m,0)，
è 2 2 øæ 1 ö 1
Eçm, m+2÷，求出PE =- m2-2m，证明
V
PEF∽
V
OCF，得到
è 2 ø 2
1
- m2-2m
PE = PF = 2 =- 1 m2-m==- 1 m+22 +1 ，求最值即可，设滑动后O,C的对应点分别为
OC OF 2 4 4
O¢,C¢，将点B向上平移2个单位到点H1,2，进而得到四边形O¢BHC¢是平行四边形，推出
PC+CO+OB=PC¢+C¢O¢+O¢B=PC¢+C¢H +2³PH +2，进行求解即可；
（3）在x轴负半轴上取点M ，使得MC =MA，连接MC，设点M 的坐标为n,0，在Rt MOC中，勾股
V
4 æ 1 3 ö
定理求出M 点坐标，证明ÐOPD=ÐCMO，进而得到tanÐOPD=tanÐCMO= ，设Pçt,- t2- t+2÷
3 è 2 2 ø
OD
t<0，根据tanÐOPD= ，列式计算即可．
DP
3
【详解】（1）解：
Q
点A的坐标是-4,0，对称轴是直线x=- ，
2
\B1,0
将点A-4,0，B1,0代入抛物线中，得
Q
ì0=16a-4b+2
\í ，
î0=a+b+2
ì 1
a=-
ï
ï 2
解得í ．
3
ïb=-
ïî 2
1 3
\该抛物线的解析式为y=- x2- x+2．
2 2
1 3
（2）∵y=- x2- x+2，当x=0时，y=2．
2 2
\C0,2，
\OC =2，
设直线AC的解析式为y=k x+b，
1 1
Q
直线AC经过点A-4,0，C0,2，
ì0=-4k +b
\í 1 1，
î2=b
1
ì 1
ïk =
解得í 1 2，
ï îb =2
1
1
\直线AC的解析式为y= x+2，
2æ 1 3 ö
设点Pçm,- m2- m+2÷ -4<m<0，
è 2 2 ø
æ 1 ö
\D(m,0)，Eçm, m+2÷，
è 2 ø
1
\PE =- m2-2m，
2
DE∥y轴，
Q
\ PEF∽ OCF，
V V
1
- m2-2m
\ PE = PF = 2 =- 1 m2-m==- 1 m+22 +1 ；
OC OF 2 4 4
1
- <0，
Q
4
PF
∴当m=-2时， 有最大值；此时，点P的坐标为-2,3；
FO
设滑动后O,C的对应点分别为O¢,C¢，
将点B向上平移2个单位到点H1,2
∵O¢B
P
C¢H,O¢B=C¢H ，
∴四边形O¢BHC¢是平行四边形，
∴PC+CO+OB=PC¢+C¢O¢+O¢B=PC¢+C¢H +2³PH +2，
当且仅当P,C¢,H三点共线时，PC+CO+OB取得最小值．
∵P-2,3，
∴PC¢+C¢H =PH = 1+22 +2-32 = 10，
∴PC+CO+OB的最小值为2+ 10；
-3- 73 -9- 145
（3）解：点P的横坐标为 或 ，理由如下：
4 4
如图，在x轴负半轴上取点M ，使得MC =MA，连接MC，设点M 的坐标为n,0，则OM =-n，MC =MA=n+4．
在Rt MOC中，
V
QOM2+OC2 =MC2，
\(-n)2+22 =(n+4)2，
3
解得n=- ，
2
æ 3 ö
\Mç- ,0÷，
è 2 ø
3
\OM = ．
2
MA=MC，
Q
\ÐMAC =ÐMCA，
\ÐCMO=ÐMAC+ÐMCA=2ÐCAO，
ÐOPD=2ÐCAO，
Q
\ÐOPD=ÐCMO．
OC 4
在Rt MOC中，tanÐCMO= = ，
V
OM 3
4
\tanÐOPD=tanÐCMO= ，
3
æ 1 3 ö
设Pçt,- t2- t+2÷ t<0，
è 2 2 ø
OD
在Rt OPD中， tanÐOPD= ，
V Q
DP
-t 4
\ =
1 3 3，
- t2- t+2
2 2
-3- 73 -9- 145
解得t = 或 ．
4 4
-3- 73 -9- 145
\点P的横坐标为 或 时，ÐOPD=2ÐCAO．
4 4
25．在
V
ABC中，ÐBAC =a，AB= AC，点D是BC上一点(点D不与点B重合)，连接AD，将线段AD
绕点A逆时针旋转a得到线段AE．(1)如图1，若a=120°，AB=1，CD=3BD，连接CE，求点E到AC的距离；
(2)如图2，连接BE，作ÐEBC的外角平分线BF交CA延长线于点F ，过点F 作FG^BE于点G，交BC
于点H，点K是AD的中点，点P是AC的中点，连接KP，试猜想线段BE、EG与KP的数量关系，并证
明；
(3)如图3，若a=90°，AB=3，点M 是BC的中点，点N 是AC的中点．将 ADB沿AD所在直线翻折到
V
1
ADR，连接RN 、RM ．在RN 上取一点Q，使得RQ=2QN ，连接QM 、QC，当MQ+ CQ取最小值
V
2
时，请直接写出△RMD的面积．
3
【答案】(1) ；
8
(2)BE=2EG-KP；
9-3 3
(3)
8
【分析】（1）先求出BC的长度，结合CD=3BD得到BD的长，再依据旋转性质证明 BAD≌ CAE，得到
V V
CE=BD和ÐACE=ÐABC，最后过E作AC的垂线，在直角三角形中利用30°角的性质求出点E到AC
的距离．
（2）先由三角形中位线定理得到KP与CD的数量关系，再根据角平分线性质和全等三角形判定证明相关
线段相等，推导出BE、EG与CE、CB的等量关系，最后结合CE=BD和2KP=CD，通过线段和差代换
得到BE、EG与KP的数量关系．
（3）先利用等腰直角三角形和中点性质得到线段的平行与垂直关系，结合翻折性质确定R的轨迹，再由
1 1
RQ=2QN通过平行线分线段成比例确定Q的轨迹，利用相似三角形将 CQ转化为QN，把MQ+ CQ转
2 2
化为MQ+QN，根据两点之间线段最短确定Q的位置，接着通过三角函数求出相关角度，设BD=DR=x
并根据线段和列方程求解x，最后计算 RMD的面积．
V
【详解】（1）解：如图，过点E作EP^ AC于点P，EP即为点E到AC的距离．
∵AB= AC，ÐBAC =a=120°，180°-120°
∴ÐB=ÐACB= =30°．
2
过点A作AH ^BC于点H，
∵AB=1，
3
∴BH = AB×cos30°= ，BC =2BH = 3．
2
∵CD=3BD，
1 3
∴BD= BC = ．
4 4
由旋转的性质得AD= AE，ÐDAE=a=120°，
∵ÐBAD=ÐBAC-ÐDAC，ÐCAE=ÐDAE-ÐDAC，
∴ÐBAD=ÐCAE．
ìAB= AC
ï
在
V
BAD和
V
CAE中，íÐBAD=ÐCAE，，
ï
îAD= AE
∴V BAD≌ V CAESAS，
3
∴CE=BD= ，ÐACE=ÐB=30°．
4
在Rt EPC中，ÐEPC =90°，ÐECP=30°，
V
3 1 3
∴EP=CE×sin30°= ´ = ，
4 2 8
3
即点E到AC的距离为 ．
8
（2）解：猜想BE=2KP+EG，证明如下：
∵点K是AD的中点，点P是AC的中点，
∴KP是 ADC的中位线，
V
1
∴KP= CD，即2KP=CD．
2
由旋转的性质得AD= AE，ÐDAE=a=ÐBAC，
∴ÐBAD=ÐBAC-ÐDAC，ÐCAE=ÐDAE-ÐDAC，
∴ÐBAD=ÐCAE．
如图，连接CE，FE．ìAB= AC
ï
在
V
BAD和
V
CAE中，íÐBAD=ÐCAE，
ï
îAD= AE
∴V BAD≌ V CAESAS，
∴BD=CE，ÐACE=ÐABD，
过F 作FM ^CE交CE的延长线于M ，FN ^BC交BC的延长线于N ，
∵BF平分ÐEBC的外角，FG^BE，FN ^BC，
∴FN =FG，
ìFN =FG
在Rt
V
FBN 和Rt
V
FBG中，í ，
îFB=FB
∴Rt
V
FBN≌Rt
V
FBGHL，
∴BN =BG．
∵AB= AC，
∴ÐABC =ÐACB，
又ÐACE=ÐABC，
∴ÐACB=ÐACE，即CA平分ÐBCE．
∵FN ^BC，FM ^CE，
∴FN =FM ，
∴FG=FM ，
同理，Rt
V
FGE≌Rt
V
FMEHL，EG=EM ．
Rt V FNC≌Rt V FMCHL，CN =CM ．
∵BN =BG，BN =CN-CB，BG=BE-EG，
∴BE-EG=CN-CB．
又CB=BD+DC =CE+2KP，
∴BE-EG=CM -CE-2KP=ME-2KP=EG-2KP，
∴BE=2EG-KP．
（3）解：∵a=90°，AB= AC =3，∴ V ABC是等腰直角三角形，ÐABC =ÐACB=45°，BC =3 2．
∵M 是BC中点，N 是AC中点，
3 2 3
∴BM =MC = ，AN =NC = ，MN是 V ABC的中位线，MN P AB，
2 2
∵将 ADB沿AD翻折得到 ADR，由翻折性质得：AR= AB=3，ÐDAR=ÐDAB，即R在以A为圆心、
V V
3为半径的圆上．
如图，过Q作QO
P
AR，交AC于O，
NQ 1
∵RQ=2QN，即 = ，
NR 3
QO NO NQ 1
∴ = = = ，
AR NA NR 3
1 1 1
∴QO= AR=1，NO= NA= ，
3 3 2
∴点Q在以O为圆心、1为半径的圆上，
OC =NO+NC =2，
ON OQ 1
又∵ÐQON =ÐCOQ， = =
OQ OC 2
∴V OQN∽ V OCQ，
1
∴QN = CQ，
2
1
∴MQ+ CQ=MQ+QN，由两点之间线段最短，当M 、Q、N 三点共线时，取最小值，此时Q在MN
2
上．
∵AB^ AC，MN P AB，
∴MN ^ AC，1
在Rt ONQ中，ON = ，OQ=1，
V
2
3
∴由勾股定理得QN = OQ2-ON2 = ，
2
∵RQ：QN =2：1，
3 3
∴RQ=2QN = 3，RN =RQ+QN = ，
2
RN 3
∴cosÐARN = = ，
AR 2
∴ÐARN =30°，
∴ÐBAR=30°，AD平分ÐBAR，
∵ÐDAR=ÐDAB，
∴ÐBAD=15°，
在 ABD中，ÐBAD=15°，ÐABD=45°，
V
∴ÐADB=ÐADR=120°，
∴ÐMDR=60°．
过R作RK ^BC于K，设BD=DR=x，
1 3
在Rt
V
DKR中，DK =DRcosÐMDR= x，KR=DRsinÐMDR= x，
2 2
3
在Rt V MKR中，KM =KR= x，
2
1 3 3 2
∴BD+DK+KM =x+ x+ x= ，
2 2 2
3 2- 6
解得x= ，
2
1 1+ 3 3 3+ 3
∵S = ´ x´ x= x2，
VRMD 2 2 2 8
3+ 3   9-3 3
∴S = ´ 6-3 3 = ，
VRMD 8 8
9-3 3
即 RMD的面积为 ．
V
8