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2026 年中考数学模拟猜题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．古人常用算筹颜色区分正负数：红
．
为
．
正
．
，黑
．
为
．
负
．
．例如“红色算筹 ”表示的数是+23．则“黑色算筹
”表示的数是（ ）
A．+ 35 B．− 35 C．+ 53 D．− 53
【答案】B
【分析】根据题意“红为正，黑为负”确定符号，再根据示例图形确定算筹表示的数值，即可得出答案．
【详解】解：∵题目规定“红为正，黑为负”，
∴“黑色算筹”表示的数为负数．
∵示例中“红色算筹”表示+23，观察图形可知，左边两横表示十位数字2，右边三竖表示个位数字3，
∴算筹的摆放规则为：左边横式表示十位，右边竖式表示个位．
∵黑色算筹中左边是三横，表示十位数字为3，右边是五竖，表示个位数字为5，
∴该算筹表示的数值为35．
综上所述，“黑色算筹”表示的数是−35．
2．数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点𝐴落在𝐷𝐸上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，则∠𝐴𝐶𝐸的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．35°
【答案】A
【分析】根据平行性质得∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐸=30°，用∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐸求解．
【详解】解：∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐸=30°，
∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐸=45°−30°=15°，
故选：A．
3．据中国移动2026年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约552400000户，将552400000用科
学记数法表示为（ ）
A．0.5524×108 B．5.524×108 C．5.524×107 D．5.524×109【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛
，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，确定𝑎和𝑛的值即可求解，当原
数绝对值≥10时，𝑛是正整数，𝑛的绝对值等于原数变为𝑎时小数点移动的位数．
【详解】解：将552400000用科学记数法表示为5.524×108
．
4．中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体
是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
【详解】解：如图所示即为其俯视图，
∴选项A符合题意．
6
5．关于反比例函数𝑦=− ，下列说法正确的是（ ）
𝑥
A．函数图象经过点(2,3) B．函数图象位于第一、三象限
C．当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而减小 D．当−3<𝑥<−2时，2<𝑦<3
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐一判断各选项即可．
6
【详解】A、因为点(2,3)的坐标不满足𝑦=− ，所以函数图象不经过点(2,3)，说法错误，该选项不符合题
𝑥
意；
B、因为𝑘=−6<0，所以函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内𝑦随𝑥的增大而增大，说法错误，
该选项不符合题意；
C、当𝑥>0时，𝑦随𝑥的增大而增大，说法错误，该选项不符合题意；
D、当−3<𝑥<−2时，𝑦随𝑥的增大而增大，且点(−3,2)和点(−2,3)在函数图象上，所以，当−3<𝑥<−2时，2<𝑦<3，该选项说法正确．
6．如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(−2,2)，𝐵(−4,1)，𝐶(−1,−1)，以点𝐶为位似中心，在𝑥轴下方作
把△𝐴𝐵𝐶放大为原来的2倍的位似图形△𝐴′𝐵′𝐶′ ，则点𝐵′
的坐标为（ ）
A．(3,−7) B．(5,−7) C．(5,−5) D．(2,−5)
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律．
根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解．
【详解】解：由题意可得：△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴′𝐵′ 𝐶，且相似比为1:2，
∴𝐵′ 𝐶=2𝐵𝐶，
∴𝑥 𝐵′−𝑥
𝐶
=2(𝑥
𝐶
−𝑥
𝐵
)=2× −1−(−4) =6，𝑦 𝐵′−𝑦
𝐶
=2(𝑦
𝐶
−𝑦
𝐵
)=2×(−1−1)=−4，
∴𝑥 𝐵′ =6+(−1)=5，𝑦 𝐵′ =−4+(−1)=−5，
∴𝐵′ (5,−5)．
故选：C．
7．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1
斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，
则可列二元一次方程组为（ ）
𝑥+𝑦=2 𝑥−𝑦=2
A． 50𝑥+10𝑦=30 B． 50𝑥+10𝑦=30
𝑥+𝑦=2 𝑥+𝑦=2
C． 10𝑥+50𝑦=30 D． 10𝑥+30𝑦=50
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可．
【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得：
𝑥+𝑦=2
50𝑥+10𝑦=30；
故选A．
8．某校连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟
考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（ ）A．共有500名学生参加模拟测试
B．第2个月增长的“优秀”人数最多
C．从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人
【答案】D
【详解】解：10÷2%=500名，
∴共有500名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意；
∵10%−2%=8%>17%−13%=4%>13%−10%=3%，
∴第2个月增长的“优秀”人数最多，故B结论正确，不符合题意；
由折线统计图可知从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C结
论正确，不符合题意；
第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到500×17%=85人，故D结论错误，符合题意
9．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐵𝐷=8，𝐴𝐶=6，点𝐸是𝑂𝐶的中点，𝐸𝐹∥𝐴𝐵，交
𝐵𝐶于点𝐹，则𝐸𝐹的长为（ ）
5 5 5
A． B． C． D．5
4 2 3
【答案】A
【分析】利用菱形的性质、线段中点定义，结合勾股定理可得出，𝐴𝐵= 𝐴𝑂2+𝑂𝐵2 = 32+42 =5
1
𝐶𝐸= 𝐴𝐶，证明△𝐶𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵，利用相似三角形的性质求解即可．
4
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
1 1
∴𝐴𝑂=𝑂𝐶= 𝐴𝐶=3，𝑂𝐵= 𝐵𝐷=4，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
2 2
∴𝐴𝐵= 𝐴𝑂2+𝑂𝐵2 = 32+42 =5，∵点E为𝑂𝐶的中点，
1 1
∴𝐶𝐸= 𝑂𝐶= 𝐴𝐶，
2 4
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴△𝐶𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵，
𝐸𝐹 𝐶𝐸 𝐸𝐹 1
∴ = ，即 = ，
𝐴𝐵 𝐴𝐶 5 4
5
∴𝐸𝐹= ．
4
10．如图1，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点P从点A出发，沿线段𝐴𝐶向终点C匀速运动，点Q同时从
点A出发，沿折线𝐴−𝐵−𝐶向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运
动速度的2倍，连接𝑃𝑄．设点P运动的路程为x，△𝐴𝑃𝑄的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点
E的坐标为(8,0)，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（ ）
A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处
B．线段𝐴𝐵的长度为10
C．a的值为5
D．点D的坐标为(5,10)
【答案】D
【分析】根据图象可知，𝐴𝐶=8，进而得到𝐴𝐵+𝐵𝐶=16，设𝐵𝐶=𝑏，勾股定理求出𝑏的值，进而求出𝐴𝐵
的值，再进行判断即可．
【详解】解：∵点E的坐标为(8,0)，
∴𝑂𝐸=8，此时点𝑃,𝑄与点𝐶重合，
∴𝐴𝐶=8，
∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止，
∴点𝑄的路程是点𝑃的2倍，
∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=2×8=16，
设𝐵𝐶=𝑏，则𝐴𝐵=(16−𝑏)，
由勾股定理，得(16−𝑏)2 =82 +𝑏2 ，
∴𝑏=6，
∴𝐵𝐶=6,𝐴𝐵=10，1
∴当点𝑄运动到点𝐵时，点𝑄运动的路程为10，此时𝐴𝑃= 𝐴𝐵=5，
2
1 1
△𝐴𝑃𝑄的面积最大为 𝐴𝑃⋅𝐵𝐶= ×5×6=15，
2 2
故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，𝑎=5，𝐷(5,15)；
综上，只有选项D错误．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
−3
1
11．计算： − + 4＝______．
2
【答案】－6
【分析】先算负整数指数幂、二次根式，再加减即可．
1 1
【详解】解：原式= +2= +2=−8+2=−6．
− 1 3 − 1
2 8
𝑎−2𝑏=7
12．已知二元一次方程组 𝑎+𝑏=−2，则2𝑎−𝑏的值为__________．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有
时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出2𝑎−𝑏=5．
𝑎−2𝑏=7①
【详解】解：
𝑎+𝑏=−2②
将①和②相加，得：(𝑎−2𝑏)+(𝑎+𝑏)=7+(−2)
化简得：2𝑎−𝑏=5．
故答案为：5．
13．小明与小亮相约到某旅游风景区登山．如图，他们由山底𝐴处先步行340m到达𝐵处，再由𝐵处乘坐登
山缆车到达山顶𝐷处．已知点𝐴、𝐵、𝐷、𝐸、𝐹在同一平面内，山坡𝐴𝐵的坡角为30°(∠𝐵𝐴𝐹=30°)，缆车行
驶路线𝐵𝐷与水平面的夹角为53°(∠𝐷𝐵𝐸=53°)，经工作人员介绍知山顶𝐷处与𝐵处的水平距离𝐵𝐸约为510
4 3 4
m．则山的高度𝐷𝐹为___________m．（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
5 5 3
【答案】
850
【分析】过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐹于点𝐺，构造矩形𝐵𝐸𝐹𝐺和直角三角形𝐴𝐵𝐺，利用含30度角的直角三角形性质求出𝐵𝐺的长，即𝐸𝐹的长，再在Rt△𝐷𝐵𝐸中利用正切函数求出𝐷𝐸的长，最后由𝐷𝐹=𝐷𝐸+𝐸𝐹求解即可．
【详解】解：如图，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐹于点𝐺，
∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐹，𝐵𝐸⊥𝐷𝐹 ，
∴四边形𝐵𝐸𝐹𝐺是矩形 ，
∴𝐸𝐹=𝐵𝐺 ，
在Rt△𝐴𝐵𝐺中，∠𝐵𝐴𝐺=30°，𝐴𝐵=340m，
1 1
∴𝐵𝐺= 𝐴𝐵= ×340=170m ，
2 2
∴𝐸𝐹=170m，
在Rt△𝐷𝐵𝐸中，∠𝐷𝐵𝐸=53°，𝐵𝐸=510m ，
𝐷𝐸
∵tan ∠𝐷𝐵𝐸= ，
𝐵𝐸
4
∴𝐷𝐸=𝐵𝐸⋅tan53°≈510× =680m，
3
∴𝐷𝐹=𝐷𝐸+𝐸𝐹=680+170=850m．
14．为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四
个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城
市的概率为______．
1
【答案】
4
【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，得出满足“二人恰好选择同一城市”的结果数，代入概率公式
求解即可．
【详解】解：设A西安、B洛阳、C开封、D杭州，
画树状图如下，
共有16种等可能的结果，其中，二人恰好选择同一城市的结果为4种，
4 1
二人恰好选择同一城市的概率为𝑃= = ．
16 4
15．将 1， 2， 3， 4，…，按如图的方式排列．规定(𝑥,𝑦)表示第𝑥排从左向右第𝑦个数，若(𝑥,𝑦)表示的
数为 2024时，2𝑥−𝑦=__________．【答案】2
【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的
乘方等知识．
【详解】第一排的个数为：2×1−1=1，前一排的总数为：1=12
；
第二排的个数为：2×2−1=3，前两排的总数为：4=22
，从右往左依次增大排列；
第三排的个数为：2×3−1=5，前三排的总数为：9=32
，从左往右依次增大排列；
第四排的个数为：2×4−1=7，前四排的总数为：16=42
，从右往左依次增大排列；
……，
∴第𝑛排的个数为：(2𝑛−1)个，前𝑛排的总数为：𝑛2
个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依
次增大排列，
∵442 =1936<2024，452 =2025>2024，
∴ 2024在第45排，即𝑥=45；第45排为奇数排，从左往右依次增大排列；
∴2024−1936=88，
∴𝑦=88，
∴2𝑥−𝑦=45×2−88=2．
故答案为：2．
16．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆𝑂，𝐴𝐶为圆𝑂直径，𝐵𝐷、𝐴𝐶交于点𝐸，点𝐵是𝐴𝐶的中点，𝐷𝐺切圆𝑂于𝐷，
交𝐶𝐴延长线于𝐺．若𝐴𝐵=4，点𝑂到𝐷𝐶的距离为1，则𝐴𝐺=_____．
2
【答案】 2
3
【分析】根据点𝐵是𝐴𝐶的中点得到∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=45°，即可得到𝐴𝐶= 42+42 =4 2，根据点𝑂到𝐷𝐶
的距离为1，得到𝐴𝐷=2×1=2，再证明△𝐺𝐴𝐷∽△𝐺𝐷𝐶即可得到答案；
【详解】如图所示，过点O作𝑂𝐻⊥𝐷𝐶于H，连接𝑂𝐷，
∵ 𝐴𝐶为圆𝑂直径，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°，
∵点𝐵是𝐴𝐶的中点，∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴=45°，
∵𝐴𝐵=4，
∴ 𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，
∴ 𝐴𝐶= 42+42 =4 2，
∵点𝑂到𝐷𝐶的距离为1，
∴∠𝑂𝐻𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐷𝐻=𝐶𝐻，
∵ 𝑂𝐴=𝑂𝐶，
∴ 𝐴𝐷=2𝑂𝐻=2×1=2，
2
∴ 𝐷𝐶= (4 2) −22 =2 7，
∵ 𝐷𝐺切圆𝑂于𝐷，
∴ ∠𝑂𝐷𝐺=∠𝐴𝐷𝐶=90°，
∴ ∠𝐴𝐷𝐺=∠𝐺𝐶𝐷，
∵ ∠𝐺=∠𝐺，
∴ △𝐺𝐴𝐷∽△𝐺𝐷𝐶，
𝐴𝐷 𝐴𝐺 𝐷𝐺
∴ = = ，
𝐷𝐶 𝐷𝐺 𝐶𝐺
2
∴ 𝐴𝐺= 2，
3
【点睛】本题解题的关键是作出辅助线，算出𝐴𝐷，𝐶𝐷，𝐴𝐶．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2𝑥+5≥7
17．（8分）解不等式组： 3(6−𝑥)>2𝑥−7，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】1≤𝑥<5，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口
诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即
可．
2𝑥+5≥7①
【详解】解： 3(6−𝑥)>2𝑥−7②，
解不等式①可得：𝑥≥1，………………2分解不等式②可得：𝑥<5，………………2分
解集表示在数轴上如图所示：
∴不等式组的解集为1≤𝑥<5.
2𝑥 1 𝑥−1
18．（8分）先化简，再求值： − ÷ ，其中𝑥= 3+1．
𝑥2−4 𝑥+2 𝑥−2
1 3
【答案】 ，
𝑥−1 3
【分析】本题考查分式的化简求值，先计算括号内的减法，再化除为乘并约分，最后代入x的值即可．
2𝑥 𝑥−2 𝑥−1
【详解】解：原式=[ − ]÷
(𝑥+2)(𝑥−2) (𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥−2
2𝑥−(𝑥−2) 𝑥−2
= ×
(𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥−1
𝑥+2 𝑥−2
= ×
(𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥−1
1
=
𝑥−1
1 3
当𝑥= 3+1时，原式= = ．
3
3+1−1
19．（8分）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷交𝐷𝐴的延长线于点E，𝐴𝐸=𝐴𝐷．
(1)求证：四边形𝐴𝐸𝐵𝐶是矩形；
(2)F为𝐶𝐷的中点，连接𝐴𝐹，𝐵𝐹．已知𝐴𝐵=6，𝐵𝐹⊥𝐴𝐹，求𝐵𝐹的长．
【答案】(1)见解析
(2)3 3
【分析】（1）先由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，得𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，因为𝐴𝐸=𝐴𝐷，故𝐴𝐸∥𝐵𝐶，
𝐴𝐸=𝐵𝐶，得证四边形𝐴𝐸𝐵𝐶是平行四边形，再结合有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可作答．
1 1
（2）因为四边形𝐴𝐸𝐵𝐶是矩形，则∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，因为𝐹为CD的中点，所以𝐴𝐹= 𝐶𝐷=
2 2
𝐴𝐵=3，因为∠𝐴𝐹𝐵=90°，由勾股定理得𝐵𝐹= 𝐴𝐵2−𝐴𝐹2，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，
∵𝐴𝐸=𝐴𝐷，∴𝐴𝐸∥𝐵𝐶，𝐴𝐸=𝐵𝐶，
∴四边形𝐴𝐸𝐵𝐶是平行四边形，
又∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵=90°，
∴四边形𝐴𝐸𝐵𝐶是矩形．
（2）解：由（1）得四边形𝐴𝐸𝐵𝐶是矩形，𝐴𝐷=𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，
∵𝐹为𝐶𝐷的中点，
1 1
∴𝐴𝐹= 𝐶𝐷= 𝐴𝐵=3，
2 2
∵𝐵𝐹⊥𝐴𝐹
∴∠𝐴𝐹𝐵=90°，
由勾股定理得𝐵𝐹= 𝐴𝐵2−𝐴𝐹2 = 62−32 =3 3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的
一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．（8分）《教育强国建设规划纲要》提出深入落实“健康第一”教育理念，规定中小学学生每天要有2小时
的体育锻炼．为了解我盟初中生每天的体育锻炼情况，现从中随机抽取部分学生分为“𝐴：每天锻炼达到2
小时或2小时以上”、“𝐵：每天锻炼达到1.5小时但不足2小时”、“𝐶：每天锻炼达到1小时但不足1.5小时”、
“𝐷：每天锻炼1小时以下”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）．
(1)本次调查共抽取___________名学生；扇形统计图中“𝐶类”所对应的圆心角度数为___________
(2)补全条形统计图；
(3)通过本次调查，请你结合𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四类学生的比例，分析该校学生体育锻炼的现状，针对你分析的
现状提出加强学生体育锻炼的合理化建议．
【答案】(1)200；72°
(2)见解析
(3)现状见解析；建议见解析
【分析】（1）根据𝐶类人数40人、占比20%，先算出总人数为200名，再用占比乘360°，求出𝐶类对应圆心
角为72°；
（2）用总人数200乘𝐵类占比45%，算出𝐵类人数为90人，在条形图中补画对应高度的条形，完成统计图补全；
（3）通过𝐴类人数算出达标学生占比30%，分析出多数学生锻炼时长未达标的现状，再从学校和学生层面
提出加强体育锻炼的建议．
【详解】（1）解：已知𝐶类人数为40人，占总人数的20%，
∴总人数为：40÷20%=200(名)，
𝐶类对应圆心角为：20%×360°=72°．
（2）解：𝐵类占总人数的45%，
因此𝐵类人数为：200×45%=90，
在条形统计图的𝐵类位置，补画高度为90的条形即可．
（3）解：现状：本次调查中，仅60÷200=30%的学生每天锻炼时长达到2小时及以上，超过七成的学生
锻炼时长未达到要求，整体体育锻炼时间不足；
建议： 学校可增加体育课时，丰富课间体育活动，布置课外体育作业；学生应提高对体育锻炼的重视，
主动保证每日锻炼时间． (建议合理即可)
21．（8分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．
×年×月×日 星期日
求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法
今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法．
这种方法如下：
若𝑛=𝑎𝑏（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则 𝑛的最初近似值为
𝑛
𝑎+𝑏 ．若𝑚 是 𝑛的最初近似值，则 𝑛的二级近似值𝑚 = 𝑚 1 + 𝑚1， 𝑛的三级近似值𝑚 =
2 1 2 2 3
𝑛
𝑚 +
2 𝑚2．
2
例如：∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，4，6最接近，
4+6
∴ 24的最初近似值为 =5，
224
5+ 49
∴ 24的二级近似值为 5 = ，
2 10
49 24
+
10 49 4801
∴ 24的三级近似值为 10= ．
2 980
任务：
(1) 15的最初近似值是________；
(2) 48的二级近似值是________；
9 17
(3)若 𝑛的最初近似值是 ，二级近似值是 ，求n的值．
2 4
【答案】(1)4
97
(2)
14
(3)𝑛=18
【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；
（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；
𝑎+𝑏 9
（3）根据新定义得到 = ，求出𝑎+𝑏的值，再根据新定义，列出方程进行求解即可．
2 2
【详解】（1）解：∵15=3×5，3与5最接近，
3+5
∴ 15的最初近似值为 =4；故答案为：4；
2
（2）解：∵48=6×8，6和8最接近，
6+8
∴ 48的最初近似值𝑚 = =7，
1 2
∴ 48的二级近似值是𝑚 = 𝑚 1 + 𝑚 48 1 = 7+ 4 7 8 = 9 7 7 = 97 ；
2 2 2 2 14
（3）解：设𝑛=𝑎𝑏，
𝑎+𝑏 9
∵ 𝑛的最初近似值 = ，
2 2
∴𝑎+𝑏=9，
9 𝑛
+
2 9 17
∴ 𝑛的二级近似值 2 = ，解得𝑛=18．
2 4
22．（10分）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝑂在𝐴𝐶上，以𝑂𝐶为半径的⊙𝑂与𝐵𝐶相交于点𝐸，交𝐴𝐵于点
𝐷，过𝐸点作⊙𝑂的直径𝐸𝐹，连接𝐹𝐷，若∠𝐹=45°．
(1)求证：𝐴𝐵与⊙𝑂相切于点𝐷；
3
(2)若sin𝐴= ，𝐴𝐵=8，求𝐷𝐺的长．
5【答案】(1)见解析
12 2
(2)𝐷𝐺的长是
7
【分析】（1）连接𝑂𝐷，证明𝐸𝐹∥𝐴𝐵，即可证明∠𝑂𝐷𝐵=90°，即可得证；
𝐷𝐺 𝐴𝐷 4
（2）利用勾股定理求出𝐷𝐹，𝐴𝐷，证明△𝐴𝐺𝐷∽△𝑂𝐺𝐹，得到 = = ，求出𝐷𝐺即可；
𝐹𝐺 𝑂𝐹 3
【详解】（1）证明：连接𝑂𝐷，
∵∠𝐹=45°，
∴∠𝐷𝑂𝐸=2∠𝐹=90°，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐶，
∵𝑂𝐶=𝑂𝐸，
∴∠𝐶=∠𝐶𝐸𝑂，
∴∠𝐶𝐸𝑂=∠𝐵，
∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝑂𝐷𝐵=90°，
∵𝐷在⊙𝑂上，
∴⊙𝑂与𝐴𝐵相切于点𝐷；
𝑂𝐷 3
（2）∵sin𝐴= = ，
𝑂𝐴 5
5
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐷，
3
∵𝑂𝐹=𝑂𝐶=𝑂𝐷，𝑂𝐴+𝑂𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐵=8，∠𝐷𝑂𝐹=90°，
5
∴ 𝑂𝐷+𝑂𝐷=8，
3
∴𝑂𝐹=𝑂𝐷=3，
∴𝑂𝐴= 5 ×3=5，𝐷𝐹= 𝑂𝐷2+𝑂𝐹2 = 2𝑂𝐹=3 2，
3
∴𝐴𝐷= 𝑂𝐴2−𝑂𝐷2 = 52−32 =4，
∵ 𝐴𝐷∥𝑂𝐹，
∴ △𝐴𝐺𝐷∽△𝑂𝐺𝐹，
𝐷𝐺 𝐴𝐷 4
∴ = = ，
𝐹𝐺 𝑂𝐹 3
𝐷𝐺 4
∴ =
𝐷𝐹 4+34 4
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐹= ×3 2，
7 7
12 2
∴ 𝐷𝐺的长是 ．
7
23．（10分）已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2 −2𝑥+𝑐的顶点坐标为(1,9)．
(1)求a，c的值，并写出函数表达式．
(2)已知𝐴(𝑚,𝑛)在该抛物线上．
①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标．
②若𝑚≤−1，𝑚≤𝑥≤𝑚+6时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
【答案】(1)𝑎=1，𝑐=10，𝑦=𝑥2
−2𝑥+10
(2)①𝐴(−2,18)；②m的值为−2或−3 7−11
−2
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为(1,9)可得− =1，𝑎−2+𝑐=9，求出a，c的值，即可得解；
2𝑎
（2）①由坐标平移的性质可得𝐵(𝑚+6,𝑛)，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线𝑥=1，求得
𝑚=−2，进而可得𝐴(−2,𝑛)，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开
口向上，且对称轴为直线𝑥=1， 分三种情况：当𝑚+6≤1，即𝑚≤−5时，此时𝑦随着𝑥的增大而减小；
当−5<𝑚≤−2时，𝑚+6>1，且1−𝑚≥𝑚+5；当−2<𝑚≤−1时，𝑚+6>1，且1−𝑚<𝑚+5；分
别利用二次函数的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2 −2𝑥+𝑐的顶点坐标为(1,9)．
−2
∴− =1，𝑎−2+𝑐=9，
2𝑎
∴𝑎=1，𝑐=10，
∴抛物线的表达式为𝑦=𝑥2 −2𝑥+10；
（2）解：①将点𝐴(𝑚,𝑛)向右平移6个单位后得到点B，
∴𝐵(𝑚+6,𝑛)，
∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线𝑥=1，
𝑚+𝑚+6
∴ =1，
2
∴𝑚=−2，
∴𝐴(−2,𝑛)，
将𝐴(−2,𝑛)代入抛物线解析式𝑦=𝑥2 −2𝑥+10可得：(−2)2 −2×(−2)+10=𝑛，
∴𝑛=18，
∴𝐴(−2,18)；
②∵抛物线的表达式为𝑦=𝑥2 −2𝑥+10；
∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线𝑥=1，
当𝑚+6≤1，即𝑚≤−5时，此时𝑦随着𝑥的增大而减小，
当𝑥=𝑚时，𝑦取得最大值为𝑚2 −2𝑚+10，当𝑥=𝑚+6时，𝑦取得最小值为(𝑚+6)2 −2(𝑚+6)+10=𝑚2+10𝑚+34，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴𝑚2−2𝑚+10=2(𝑚2+10𝑚+34)，
解得：𝑚=−11−3 7或𝑚=−11+3 7，
∵𝑚≤−5，
∴𝑚=−11−3 7；
当−5<𝑚≤−2时，𝑚+6>1，且1−𝑚≥𝑚+5，
此时，当𝑥=𝑚时，𝑦取得最大值为𝑚2
−2𝑚+10，当𝑥=1时，𝑦取得最小值为9，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴𝑚2−2𝑚+10=2×9，
解得：𝑚=4或𝑚=−2，
∵−5<𝑚≤−2，
∴𝑚=−2；
当−2<𝑚≤−1时，𝑚+6>1，且1−𝑚<𝑚+5，
此时，当𝑥=𝑚+6时，𝑦取得最大值为(𝑚+6)2 −2(𝑚+6)+10=𝑚2 +10𝑚+34，当𝑥=1时，𝑦取得最
小值为9，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴𝑚2+10𝑚+34=2×9，
解得：𝑚=−2或𝑚=−8，
∵−2<𝑚≤−1，
∴此种情况不成立；
综上所述，𝑚的值为−2或−3 7−11．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上
知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
24．（12分）（1）【证明体验】如图1，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，E、F分别是边𝐴𝐵和对角线𝐴𝐶上的点，
∠𝐸𝐷𝐹=45°．
（1）求证：△𝐷𝐵𝐸∼△𝐷𝐶𝐹；
（2）【思考探究】如图2，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，E、F分别是边𝐴𝐵和对角线𝐴𝐶上的点，tan
4
∠𝐸𝐷𝐹= ，𝐵𝐸=5，求𝐶𝐹的长；
3
（3）【拓展延伸】如图3，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=5，对角线𝐴𝐶=6，𝐵𝐻⊥𝐴𝐷交𝐷𝐴的延长线于点H，E、F
3 8
分别是线段𝐻𝐵和𝐴𝐶上的点，tan∠𝐸𝐷𝐹= ，𝐻𝐸= ，求𝐶𝐹的长．
4 5【答案】（1）见解析；；（2）3；（3）2．
【分析】（1）求出∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐹，∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐹𝐶𝐷=45°，即可证明△𝐷𝐵𝐸∼△𝐷𝐶𝐹；
（2）连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点O，先证明∠𝐴𝐵𝐷=∠𝑂𝐶𝐷，再通过计算tan∠𝐵𝐷𝐶，得出∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝐶，求出
∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐹𝐷𝐶，证明△𝐷𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐹，根据相似三角形的性质列式求解即可；
𝑂𝐶 3 𝐵𝐻
（3）连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于O点，先求出𝐵𝐷=2𝑂𝐷=8，tan∠𝑂𝐷𝐶= = ，证明△𝐷𝐻𝐵∽△𝐷𝑂𝐶，可得
𝑂𝐷 4 𝐶𝑂
𝐷𝐵 3
= ，求出𝐵𝐻、𝐵𝐸的长，然后根据tan∠𝐸𝐷𝐹= ，得出∠𝐸𝐷𝐹=∠𝑂𝐷𝐶，求出∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐹，然后证明
𝐷𝐶 4
△𝐷𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐹，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠𝐸𝐷𝐹=45°，
∴∠𝐸𝐷𝐵+∠𝐵𝐷𝐹=45°，
∵∠𝐶𝐷𝐹+∠𝐵𝐷𝐹=45°，
∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐹，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐵𝐷，𝐴𝐶为对角线，
∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐹𝐶𝐷=45°，
∴△𝐷𝐵𝐸∼△𝐷𝐶𝐹；
（2）解：连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点O，
∵𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，
∴𝐴𝐶=𝐵𝐷= 62+82 =10，
∵在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶=𝐵𝐷，
∴𝑂𝐷=𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐷𝐶=∠𝑂𝐶𝐷，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝑂𝐷𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝑂𝐶𝐷，
𝐵𝐶 4 4
∵tan∠𝐵𝐷𝐶= = ，tan∠𝐸𝐷𝐹= ，
𝐶𝐷 3 3∴∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐵𝐷𝐶，
∵∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐸𝐷𝐵＋∠𝐵𝐷𝐹，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐹＋∠𝐹𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐹𝐷𝐶，
∴△𝐷𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐹，
𝐵𝐸 𝐵𝐷 5
∴ = = ，
𝐶𝐹 𝐷𝐶 3
∵𝐵𝐸=5，
∴𝐶𝐹=3；
（3）解：连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于O点，
∵在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=𝐴𝐵=𝐷𝐶=𝐴𝐷=5，𝐴𝐶=6，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
1
∴𝑂𝐶= 𝐴𝐶=3，𝐵𝐷=2𝑂𝐷，
2
在Rt△𝑂𝐷𝐶中，𝑂𝐷= 𝐷𝐶2−𝑂𝐶2 =4，
𝑂𝐶 3
∴𝐵𝐷=2𝑂𝐷=8，tan∠𝑂𝐷𝐶= = ，
𝑂𝐷 4
∵𝐵𝐷为菱形对角线，
∴∠𝐻𝐷𝐵=∠𝑂𝐷𝐶，
∵𝐵𝐻⊥𝐻𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐷𝐻𝐵=∠𝐷𝑂𝐶=90°，
∴△𝐷𝐻𝐵∽△𝐷𝑂𝐶，
𝐵𝐻 𝐷𝐵 𝐵𝐻 8
∴ = ，即 = ，
𝐶𝑂 𝐷𝐶 3 5
24
∴𝐵𝐻= ，
5
8
∵𝐻𝐸= ，
5
16
∴𝐵𝐸=𝐵𝐻－𝐻𝐸= ，
5
3
∵tan∠𝐸𝐷𝐹= ，
4
∴∠𝐸𝐷𝐹=∠𝑂𝐷𝐶，
∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐹，
∵𝐵𝐻⊥𝐴𝐷，
∴∠𝐻𝐵𝐷+∠𝐻𝐷𝐵=90°，∵∠𝐻𝐷𝐵=∠𝑂𝐷𝐶，∠𝑂𝐷𝐶+∠𝑂𝐶𝐷=90°，
∴∠𝐻𝐵𝐷=∠𝑂𝐶𝐷，
∴△𝐷𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐹，
𝐵𝐸 𝐵𝐷 8
∴ = = ，
𝐶𝐹 𝐷𝐶 5
16
5𝐵𝐸 5×
∴𝐶𝐹= = 5 =2．
8 8
【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等
知识，作出合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键，注意解题方法的延续性．
