2026年中考数学模拟猜题卷（解析版）_中考押题2026《中考押题》系列（9科全套实时更新中）_2026年中考数学模拟猜题卷（福建卷）2026年中考数学二轮复习讲练测

2026 年中考数学模拟猜题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1
1．在实数-1， ， 9， 2 中，无理数是（ ）
7
1
A. -1 B. C. 9 D. 2
7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可．
【详解】解：依题意 9 =3，
1
实数-1， ， 9都不是无理数， 2 是无理数，
7
故选：D
2．某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对
称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项
分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个
图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
故选：D．3．近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其
票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.15´1011 B. 1.5´1010 C. 1.5´1011 D. 15´109
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a´10n的形式，其中
1 £ a < 10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小
数点移动的位数相同．
【详解】解：数字15000000000用科学记数法表示为1.5´1010．
故选：B．
4．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°对各选项分析判断即可得：
【详解】A、∠1=∠2，不是互为余角关系，故本选项错误；
B、∠1=∠2，是对顶角，不是互为余角关系，故本选项错误；
C、∠1与∠2互为余角关系，故本选项正确；
D、∠1与∠2互为补角关系，故本选项错误．
故选C．
【点睛】考点：余角和补角
5．下列说法正确的是（ ）
A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B. 64的平方根为8
C. 若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是s2 =0.1，
甲
s2 =0.5，则乙的射击成绩较稳定
乙
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义．根据普查与抽样调查，平方根，多边形的内角和与外角和，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，故原
说法不正确，该选项不符合题意；
B、64的平方根为±8，故原说法不正确，该选项不符合题意；
C、∵一个正多边形的每一个内角都是108°，
∴每一个外角都是180°-108°=72°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个正多边形的边数为360°¸72°=5，
即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是s2 =0.1，
甲
s2 =0.5，
乙
0.1<0.5，则甲的成绩较稳定，故原说法不正确，该选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ）
12 12 5 12
A. sinA= B. cosA= C. tanA= D. tanB=
13 13 12 5
【答案】A
【解析】
12
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，∴AC= AB2 -BC2 =5，∴sinA= ．故选A．
13
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
7．为了筹备学校文艺汇演，美术组需要赶制200个相同的舞台道具．最初由几位经验丰富的同学负责制
作，原计划每天做x个可按时完成任务，后来为了加快进度，又增加了几位新同学帮忙，使得实际每天比
原计划多做10个，结果比原计划提前1天完成了任务，则可列方程为（ ）
200 200 200 200
A. - =1 B. - =1
x-10 x x x-10
200 200 200 200
C. - =1 D. - =1
x+10 x x x+10
【答案】D【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据“工作时间=工作总量¸工作效率”，分别表示出原计划和实
际的工作时间，再根据实际比原计划提前1天完成的等量关系列出方程即可．
【详解】解：∵原计划每天做x个，总任务量为200个，
200
∴原计划完成任务的时间为 天，
x
∵实际每天比原计划多做10个，
200
∴实际每天完成
x+10
个，实际完成任务的时间为 天，
x+10
∵实际比原计划提前1天完成，即原计划时间减去实际时间等于1，
200 200
∴可列方程为 - =1．
x x+10
8．如图，
V
ABC和
V
DEF 是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OD=2:5，则
V
ABC与
V
DEF 的
面积比是（ ）
A. 2:3 B. 2:5 C. 4:9 D. 4:25
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算，即可得到答案．
【详解】解： QV ABC和 V DEF 是以点O为位似中心的位似图形，
\△ABC∽△DEF ，AB∥DE，
AB OA 2 2
\ = = ，即相似比为 ，
DE OD 5 5
2 4
\ ABC与 DEF 的面积比为( )2 = ．
V V
5 25
故选：D．
9．如图，AB是
e
O的直径，过圆上一点C作
e
O的切线，交AB的延长线于点P，若
1
tanÐAPC = ，
e
O的半径为2，则PB的长是（ ）
2A. 2 5-2 B. 2 5 -4 C. 2 3-2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接OC，利用切线的性质得ÐOCP=90°，
1
再根据三角函数的性质由tanÐAPC = 求出PC，即可解决问题．
2
【详解】解：连接OC，
CP是 O的切线，
Q e
\ÐOCP=90°，
\OC =BO=2，
1
tanÐAPC =
Q
2
\PC =4，
在Rt V OCP中，OP= OC2 +CP2 = 22 +42 =2 5，
\PB=OP-OB=2 5-2，
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系网格中，点Q、R、S、T都在格点上，过点P(1,2)的抛物线
y=ax2+2ax+c(a<0)可能还经过（ ）
A. 点Q B. 点R C. 点S D. 点T
【答案】D【解析】
【分析】根据抛物线解析式先确定对称轴，再根据抛物线的对称性及二次函数的性质解答即可.
【详解】抛物线y=ax2+2ax+c的对称轴为：直线x=-1
∵a<0
故抛物线开口向下
又∵抛物线过点P(1,2)
∴抛物线过点（-3,2）
故抛物线不过点Q、S、R，则抛物线可能还经过点T
故选 ：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．因式分解：x2﹣x=______．
【答案】x（x﹣1）
【解析】
【详解】分析：提取公因式x即可．
详解：x2−x＝x（x−1）．
故答案为x（x−1）．
点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
12．不等式3x+2<1的解集是______．
1
【答案】x<-
3
【解析】
【分析】本题考查了求不等式的解集，掌握不等式的性质是关键．根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：3x+2<1，
不等式两边同时减去2得，3x<-1，
1
系数化为1得，x<- ，
3
1
故答案为：x<- ．
3
13． 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元
宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为
“豆包”和“腾讯元宝”的概率为________．
1
【答案】
6
【解析】【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”
分别用字母A，B，C，D表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元
宝”的结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，
根据题意可列出表格如下：
第一个
A B C D
第二个
A — (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) — (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) — (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) —
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
2 1
小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 = ．
12 6
1
故答案为： ．
6
14．如图，Rt△ABC中，ÐABC =90°，ÐBAC =60°，AB=2．在AB和AC上分别截取AM ，
1
AN，使AM = AN ．分别以M，N为圆心、以大于 MN 的长为半径作弧，两弧在ÐBAC 内交于点
2
F．作射线AF 交BC于点D，则点D到AC的距离为_____．
2 3 2
【答案】 ## 3
3 3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，AD平分
1
ÐBAC ，求得DG = DB，ÐBAD= ÐBAC =30°，解直角三角形即可求解．
2
【详解】解：作DG ^ AC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由作图可知，AD平分ÐBAC ，
∵ÐABC =90°，
∴DG = DB，
∵Rt△ABC中，ÐABC =90°，ÐBAC =60°，
1
∴ÐBAD= ÐBAC =30°，
2
∵AB=2，
2 3
∴DB = AB×tanÐBAD = ，
3
2 3
∴DG = DB = ．
3
2 3
故答案为： ．
3
15．如图，在正五边形ABCDE的内部作正三角形ABF ，则ÐEAF =___________°．
【答案】48
【解析】
【分析】求出ÐEAB,ÐFAB，求差即可.
5-2´180°
【详解】解：由题意，ÐEAB= =108°,ÐFAB=60°，
5
∴ÐEAF =ÐEAB-ÐFAB=48°.
16．如图，已知矩形ABCD，AB =4，BC =6，点N 是边BC上一点，且BN =2，将矩形ABCD绕
A顺时针旋转a0°<a<180°
，得到矩形AEFG，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F ，点D
的对应点是点G，连接CF ．点M 是CF 的中点，连接MN ，在旋转过程中，线段MN 的最大值为
__________．【答案】 5+ 13## 13+ 5
【解析】
【分析】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM ，AF ，可证OM =OC，得点M在以O为圆心，以OC
为半径的圆上运动，，进而根据点到圆上的距离即可求解．
【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM ，AF ，过点O作OT ^ BC于点T，连接ON，
∵ABCD是矩形，
∴OB =OC =OA=OD，
∵点M是CF 的中点，
∴OM 是△ACF的中位线，
1 1
∴OM = AF = AC =OC，
2 2
∴点M在以O为圆心，以OC为半径的圆上运动，
∵AF = AC = AB2 +BC2 = 42 +62 =2 13，
∴MO= 13，
∵OT ^ BC，AB ^ BC，
∴OT∥AB，
∴ CTO∽ CBA，
V V
TO CO CT 1
∴ = = = ，
AB AC CB 21 1
∴TO= AB=2，CT = BC =3，
2 2
∵BN =2，
∴TN =1，
在Rt V TON中，ON = TO2 +TN2 = 5，
∴线段MN 的最大值为NO+MO= 5+ 13，
故答案为： 5+ 13．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
-20250
-1- 2 +2cos45°
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．根据零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
-20250
-1- 2 +2cos45°
  2
=1- 2-1 +2´
2
=1- 2+1+ 2
=2．
æ 2 ö x2 -1
18．先化简，再求值：ç 1- ÷ ¸ ，其中x= 2+1．
è x+3ø 2x+6
2
【答案】 ， 2
x-1
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行
计算即可．
æ 2 ö x2 -1
【详解】解：ç 1- ÷ ¸
è x+3ø 2x+6
x+3-2
2x+3
= ×
x+3 x+1x-1
x+1
2x+3
= ×
x+3 x+1x-1
2
= ，
x-12
当x= 2+1时，原式= = 2．
2+1-1
19．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．
【答案】证明见试题解析．
【解析】
【分析】根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对应边相等可说明结论．
【详解】在△ADC和△AEB中，
∵AC= AB，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ADC≌△AEB，
∴BE=CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
20．如图，已知Rt△ABC中，ÐC =90°,ÐA、ÐB、ÐC的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2 A+cos2 A=1；
1
（2）若sin A= ，求cosA的值．
3
2 2
【答案】（1）见解析 （2）cosA=
3
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键：
（1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可；
（2）利用（1）中关系进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵Rt△ABC中，ÐC =90°,ÐA、ÐB、ÐC的对边分别为a、b、c．a b
∴sinA= ,cosA= ，a2 +b2 =c2，
c c
a2 b2 a2 +b2 c2
∴sin2 A+cos2 A= + = = =1；
c2 c2 c2 c2
【小问2详解】
解：由（1）知：sin2 A+cos2 A=1，
1
∵sin A=
3
2
æ1ö
∴ +cos2 A=1，
ç ÷
è3ø
8
∴cos2 A= ，
9
8 2 2
∴cosA= = （负值已舍去）．
9 3
21．开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并
组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛
成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分
学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①此次抽查的学生总数为_______；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分；
（2）在扇形统计图中：m=______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度；
（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
【答案】（1）①200；②作图见解析；③90
（2）40，72°（3）1800名
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求众数，正确读懂统计图是解
题的关键．
（1）先由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数；由总数减去得分为70分，90分，100分的人数
求出得分80分的人数，即可补全条形统计图；再根据众数的定义结合条形统计图即可求解众数；
（2）由“1”减去其余三项的占比即可求解m，再由360°乘以得分100分占比即可求解圆心角；
（3）用3000乘以得分90分和100分的占比即可．
【小问1详解】
解：抽查的学生总数为40¸20%=200（人），
竞赛成绩为80分的人数为：200-30-80-40=50（人），
补全学生成绩条形统计图：
由条形统计图可得，得分为90分的人数最多，故众数为90，
故答案为：①200；③90；
【小问2详解】
解：m%=1-20%-25%-15%=40%，
∴m =40，
∴360°´20%=72°，
故答案为：40，72°；
【小问3详解】
解：由题意得，3000´40%+20%=1800（人），
答：该校得分不低于90分的学生有1800人．
22．如图，
e
O是
V
ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, ÐDOE =120°，
ÐEOF =150°．（1）求
V
ABC的三个内角的大小；
（2）设
e
O的直径为d ，证明：d = AB+ AC-BC．
【答案】（1）ÐA、ÐB、ÐC的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明见解析
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 题 意 得 ÐODB=ÐOEB=ÐOEC =ÐOFC =90°，
ÐB= 360° - ∠ODB- ∠OEB- ∠DOE= 60°，ÐC =360°-ÐOEC-ÐOFC-ÐEOF =30°，所以
ÐA=180°-ÐB-ÐC =90°．即可求出．
（2）由切线长定理得AD= AF，BD= BE,CF = CE，则BD+CF = BE+CE = BC，由
AB+ AC = AD +BD +CF + AF =2AF +BC，得2AF = AB+ AC -BC，由
ÐODA=ÐOFA=ÐA=90°，得到四边形ADOF 是矩形，则OD= AF ，结合
e
O的直径为d，OD
为 O的半径，得到d =2OD= 2AF ，即可求出．
e
此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩
形的判定等知识．
【小问1详解】
解：∵
e
O是
V
ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,
∴AB^ OD，BC^ OE,CA^ OF，
∴ÐODB=ÐOEB=ÐOEC =ÐOFC =90°，
∵ÐDOE =120°，ÐEOF =150°，
∴ÐB= 360° - ∠ODB- ∠OEB- ∠DOE= 60°，ÐC =360°-ÐOEC-ÐOFC-ÐEOF =30°，
∴ÐA=180°-ÐB-ÐC =90°，
∴ÐA、ÐB、ÐC的度数分别为90°、60°、30°．
【小问2详解】
证明：由切线长定理得AD= AF，BD= BE,CF = CE，
∴BD+CF = BE+CE = BC，
∵AB+ AC = AD +BD +CF + AF =2AF +BC，
∴2AF = AB+ AC -BC，
∵ÐODA=ÐOFA=ÐA=90°，
∴四边形ADOF 是矩形，∴OD= AF ，
∵
e
O的直径为d，OD为
e
O的半径，
∴d =2OD= 2AF ，
∴d = AB+ AC-BC．
23．二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0）且x ≠x ．当x ＝2，且b+c＝﹣6时，
1 2 1 2 1
（1）求b，c的值；
（2）当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t
﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解；
【解答】（1）解：①当x ＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6，
1
𝑏+𝑐=―6 𝑏=2
则 ，解得：
4+2𝑏+𝑐=0 𝑐=―8
即b、c的值分别为2、﹣8；
（2）y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，
求t的值；
当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，
则﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝4，
方程无解；
当﹣1＜t≤0时，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣9，当x＝﹣2时，y的最大值为﹣8，
则y ﹣y ＝﹣8﹣（﹣9）＝1≠4，不符合题意；
最大 最小
当t＞0时，y的最小值为﹣9，y的最大值为t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
24．综合与实践
活动
扇面制作
主题
如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形
活动
成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班
情景
组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知ÐAOB=120°，OA=30cm，OD=15cm．
活动
甲组 乙组
小组
制作
直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
工具
制作
材料
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 AB所对弦AB的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为30 3cm．请运用表格中所给工具在
e
O
1
中设计与图2相同的扇面，并
标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸EFGH ，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边
长）．
【答案】任务一：30 3cm任务二：见解析
任务三：最小规格矩形边长为45cm、30cm或30 3cm， 22.5cm．
【分析】任务一：由弧AB所对的圆心角为120°，可得ÐOAB=30°，求得OH =15cm，应用勾股定理求出
AH，即可求解，
任务二：以
e
O
1
直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形OAB，则得到的三角形和任务一三角形全
等，再按要求取C点，再以O为圆心，分别以OA、OC为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同；
任务三：分两种情况：①在HG上取一点O使OG=30cm，以O为圆心，OG为半径的圆与EF相切，此时
B点与G点重合，在圆上取一点A，使ÐAOB=120°，即可得到扇面．过点A作MN ^HG，则矩形
FGNM 为最小规格矩形；②当矩形FGHE的边EF与AB相切于点M，且A、B两点分别在HE、FG上，C、D在GH上；连接OM 交CD于点N，连接AB；利用等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质及
勾股定理即可求解．
【详解】任务一：解：过点O作OH ^ AB，交AB于点H，
Q
ÐAOB=120°，OA=OB，
\ÐOAB=30°，
OH ^ AB，
Q
1 1
\AH =HB，OH = OA= ´30=15cm，
2 2
\AB=2 302-152 =30 3(cm)，
任务二：如图，△OAB是以
e
O
1
直径为底边，底角为30度，由任务一可知，ÐAOB=120°，取
OC =15cm，以O为圆心，分别以OA、OC为半径画弧，即可得到扇面．
任务三：分两种情况：
①如图所示：当
e
O与矩形两边相切时，过点A作MN ^HG，则矩形FGNM 为最小规格矩形，
∵ÐMNG=90°，ÐABO=30°，AB=30 3，
∴AN =15 3cm，NG=45cm，OA=OB=30cm，
∵当
e
O与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为45cm、30cm；
②如图，当矩形FGHE的边EF与AB相切于点M，且A、B两点分别在HE、FG上，C、D在GH上；连
接OM 交CD于点N，连接AB；1
由题意知，OM ^ AB，AP=BP，ÐAOP= ÐAOB=60°，
2
∴ÐOAP=30°，
1
∴OP= OA=15cm；
2
由勾股定理得AP= 3OP=15 3cm，
∴AB=2AP=30 3cm；
1
同理：ON = OC =7.5cm，
2
∴NM =OM -ON =22.5cm，
此时最小规格边长分别为30 3cm，22.5cm；
综上，最小规格矩形边长为45cm、30cm或30 3cm，22.5cm．
25．如图，DE为
V
ADE外接圆
e
O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的
延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足ÐCAE =ÐMAE．
（1）求证：AD平分ÐBAC ；
（2）证明：OE2 =OB×OC；
（3）若射线BM 与
e
O相切于点A，DC =3，BD:OC =10:9，求tanÐAED的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
1
（3）tanÐAED= ．
2
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理求得ÐDAC+ÐCAE =90°，再利用ÐCAE =ÐMAE，求得ÐDAB=ÐDAC，
据此即可证明AD平分ÐBAC ；
（2）利用半径相等求得 ÐOAD =ÐODA，利用三角形的外角性质可证明 ÐOAC =ÐB，推出
△AOC∽△BOA，可证明OA2 =OB×OC，等量代换即可证明结论成立；
（3）利用切线的性质结合△AOC∽△BOA，证明AC ^OB，设OC =9x，则BD=10x，利用
1
OA2 =OB×OC，列式计算求得x= ，据此求解即可．
2
【小问1详解】证明：∵DE为 O的直径，
e
∴ÐDAE=90°，即ÐDAC+ÐCAE =90°，ÐDAB+ÐMAE =90°，
∵ÐCAE =ÐMAE，
∴ÐDAC+ÐMAE =90°，
∴ÐDAB=ÐDAC，即AD平分ÐBAC ；
【小问2详解】
证明：连接OA，
∴OA=OE =OD，
∴ÐOAD =ÐODA，
∴ÐOAC+ÐDAC =ÐDAB+ÐB，
∵ÐDAB=ÐDAC，
∴ÐOAC =ÐB，
∵ÐAOC =ÐBOA，
∴△AOC∽△BOA，
OA OC
∴ = ，
OB OA
∴OA2 =OB×OC，
∵OA=OE，
∴OE2 =OB×OC；
【小问3详解】
解：∵射线BM 与
e
O相切于点A，
∴ÐOAB=90°，
∵△AOC∽△BOA，
∴ÐOCA=ÐOAB=90°，即AC ^OB，
∵BD:OC =10:9，
∴设OC =9x，则BD=10x，
∴OA=OD =9x+3，OB = BD+CD+OC =19x+3，∵OA2 =OB×OC，
∴9x+32 =9x×19x+3，
整理得10x2 -3x-1=0，
1 1
解得x= 或x=- （舍去），
2 5
9 15
∴OC = ，OE =OA= ，
2 2
9 15 æ15ö 2 æ9ö 2
∴CE = + =12，AC = OA2 -OC2 = - =6，
ç ÷ ç ÷
2 2 è 2 ø è2ø
AC 6 1
∴tanÐAED = = = ．
CE 12 2