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2026 年中考数学模拟猜题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．如图，数轴上点𝐴表示的数可能是（ ）
2 3 1 5
A．− B．− C．− D．−
3 2 2 2
【答案】B
【分析】根据点A的位置，进行判断即可．
【详解】解：设点A表示的数为a，
由图可知：−2<𝑎<−1，
观察各选项，只有选项B符合题意．
2．方斗承礼，竹韵传心．某非遗工坊以传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”．如图，
该收纳斗的形状可抽象为无上底面的正四棱台（上底面为大正方形，下底面为小正方形，侧面为等腰梯
形），无额外底座，整体简约雅致．则这个正四棱台的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得答案．
【详解】解：从上面看的图形是一个正方形，该正方形的中间还有一个正方形，且两个正方形的对应顶点
之间有实线连接，即看到的图形如下：
．
3．下列运算正确的是（ ）
A．𝑎2 ⋅𝑎3 =𝑎6 B．𝑎6 ÷𝑎3 =𝑎2
C．2𝑎2 +𝑎2 =3𝑎4 D．(3𝑎3)2 =9𝑎6【答案】D
【详解】解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∵ 𝑎2⋅𝑎3 =𝑎2+3 =𝑎5 ≠𝑎6 ，∴ A错误；
对于选项B，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∵ 𝑎6÷𝑎3 =𝑎6−3 =𝑎3 ≠𝑎2 ，∴ B错误；
对于选项C，根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变，
∵ 2𝑎2 +𝑎2 =(2+1)𝑎2 =3𝑎2 ≠3𝑎4 ，∴ C错误；
对于选项D，根据积的乘方法则和幂的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指
数相乘，
∵ (3𝑎3)2 =32 ⋅(𝑎3)2 =9𝑎3×2 =9𝑎6 ，等式成立，∴ D正确．
4．已知𝑚、𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑥2
+3𝑥+𝑐=0的两个实数根，若𝑚+𝑛=3𝑚𝑛，则𝑐的值是（ ）
A．−1 B．−2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于𝑐的方程，求解即可
得到𝑐的值．
【详解】解：∵𝑚、𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑥2
+3𝑥+𝑐=0的两个实数根，
3
∴𝑚+𝑛=− =−3，𝑚𝑛=𝑐，
1
又∵𝑚+𝑛=3𝑚𝑛，
∴−3=3𝑐，
解得𝑐=−1．
5．如图，点C在∠𝐴𝑂𝐵的边𝑂𝐴上，𝐶𝐷⊥𝑂𝐵，垂足为点D，𝐷𝐸∥𝑂𝐴．若∠𝐴𝐶𝐷=130°，则∠𝐸𝐷𝐵的度数为
（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】首先根据平行线的性质得到∠𝐶𝐷𝐸=180°−∠𝐴𝐶𝐷=50°，然后利用∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵−∠𝐶𝐷𝐸求解即
可．
【详解】解：∵𝐷𝐸∥𝑂𝐴，∠𝐴𝐶𝐷=130°
∴∠𝐶𝐷𝐸=180°−∠𝐴𝐶𝐷=50°
∵𝐶𝐷⊥𝑂𝐵∴∠𝐶𝐷𝐵=90°
∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵−∠𝐶𝐷𝐸=40°．
6．下列说法正确的是（ ）
A．旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图
D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定
【答案】C
【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查、事件的分类、折线统计图、方差的性质等知识点，根据全
面调查与抽样调查的选取原则、事件的分类、折线统计图、方差的性质进行解题即可，熟练掌握它们的概
念和性质是解决此题的关键．
【详解】A．旅客上高铁列车前的检查应选择全面调查，原说法错误；
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，原说法错误；
C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，原说法正确；
D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩较稳定，原说法错误．
故选C．
7．如图：已知点A的坐标为 −2 3,2 ，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（ ）
A．(−2 3,−2) B．(2 3,−2) C．(2,−2 3) D．(−2,−2)
【答案】B
【分析】本题主要考查菱形的对称性，菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，通过题目可以发现A点
和C点关于原点中心对称，可以直接计算出点C点的坐标．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，
∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷，
∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
∵点A的坐标为(−2 3,2)，
∴C点坐标为(2 3,−2)，故选：B．
8．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度𝑣(m s)是载重后总质量𝑚
( kg)的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量𝑚=30 kg时，它的最快移动速度𝑣=6
m s；当其载重后总质量𝑚=60 kg时，它的最快移动速度𝑣=（ ）m s
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将𝑚=60 kg代入
计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
𝑘
【详解】解：设反比例函数解析式为𝑣= ，
𝑚
∵机器狗载重后总质量𝑚=30 kg时，它的最快移动速度𝑣=6m s，
∴𝑘=30×6=180，
180
∴反比例函数解析式为𝑣= ，
𝑚
180
当𝑚=60 kg时，𝑣= =3(m s)．
60
故选：D．
1
9．如图，在扇形𝐴𝑂𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵=90°，𝑂𝐴=4，分别以点𝑂，𝐵为圆心，大于 𝑂𝐵的长为半径画弧，两弧
2
分别相交于点𝐸，𝐹，作直线𝐸𝐹交𝐴𝐵于点𝐷，交𝑂𝐵于点𝑀，则图中的阴影部分的面积为（ ）
8 4 8 4
A． 𝜋− 3 B． 𝜋− 3 C． 𝜋−2 3 D． 𝜋−2 3
3 3 3 3
【答案】C
【分析】如图，连接𝑂𝐷，𝐷𝐵．证明△𝑂𝐵𝐷是等边三角形，利用割补法求解即可．
【详解】解：如图，连接𝑂𝐷，𝐷𝐵．由作图可知，𝐷𝑀垂直平分线段𝑂𝐵，
∴𝐷𝑂=𝐷𝐵，
∵𝑂𝐷=𝑂𝐵，
∴𝑂𝐷=𝑂𝐵=𝐷𝐵，
∴△𝑂𝐷𝐵是等边三角形，
∴∠𝐷𝑂𝐵=60°，𝑂𝑀=𝐵𝑀=2，
∴𝐷𝑀= 3𝑂𝑀=2 3，
60π×42 1 8π
∴𝑆 =𝑆 −𝑆 = − ×2×2 3= −2 3．
阴影 扇形𝑂𝐷𝐵 △𝑂𝐷𝑀 360 2 3
10．如图，在长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，E为𝐵𝐶的中点，选接𝐴𝐸，将△𝐴𝐵𝐸沿𝐴𝐸折叠得到△𝐴𝐹𝐸，连接
𝐶𝐹．若𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=6，则𝐶𝐹的长为( )
A．3 B． 3.4 C． 3.5 D． 3.6
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知
识．连接𝐵𝐹，交𝐴𝐸于点G，根据折叠的性质可得𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐹，在Rt△𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理解得
𝐴𝐸=5，再利用三角形面积，解得𝐵𝐺=2.4，𝐵𝐹=2𝐵𝐺=4.8；再证明𝐵𝐸=𝐶𝐸=𝐹𝐸，由等腰三角形“等
边对等角”的性质可得∠𝐵𝐹𝐶=∠𝐸𝐹𝐵+∠𝐸𝐹𝐶=90°，然后由勾股定理计算𝐶𝐹的长即可．
【详解】解：连接𝐵𝐹，交𝐴𝐸于点G，如图，由折叠的性质可得，𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐹，
即𝐴𝐸⊥𝐵𝐹,𝐵𝐺=𝐹𝐺，
∵𝐴𝐵=4,𝐵𝐶=6，E为𝐵𝐶的中点，
1
∴𝐵𝐸=𝐶𝐸= 𝐵𝐶=3，
2
∴在Rt△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸= 𝐴𝐵2+𝐵𝐸2 = 42+32 =5，
∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐹，
1 1 1 1
∴𝑆 = 𝐴𝐵⋅𝐵𝐸= 𝐴𝐸⋅𝐵𝐺，即 ×4×3= ×5×𝐵𝐺，
△𝐴𝐵𝐸 2 2 2 2
解得𝐵𝐺=2.4，
∴𝐵𝐹=2𝐵𝐺=4.8，
∵𝐴𝐸垂直平分𝐵𝐹，
∴𝐵𝐸=𝐹𝐸，
∴𝐵𝐸=𝐶𝐸=𝐹𝐸，
∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐸𝐹𝐵,∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐸𝐶𝐹，
1
∴∠𝐵𝐹𝐶=∠𝐸𝐹𝐵+∠𝐸𝐹𝐶= ×180°=90°，
2
∴在Rt△𝐵𝐹𝐶中，𝐶𝐹= 𝐵𝐶2−𝐵𝐹2 = 62−4.82 =3.6．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________．
【答案】6
【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多
边形内角和公式列方程求解即可得到边数．
【详解】设这个多边形的边数为𝑛，
根据题意列方程得(𝑛−2)×180°=2×360°，
解得𝑛=6．
12．若一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑘−2（𝑘是常数，𝑘≠0）的函数值𝑦随自变量𝑥的增大而增大，且其图象不经过第
二象限，则𝑘的值可以是______（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】利用一次函数的性质确定𝑘的取值范围，即可写出符合条件的𝑘值．
【详解】解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑘−2（𝑘是常数，𝑘≠0）的函数值𝑦随自变量𝑥的增大而增大，
∴𝑘>0，
∵一次函数图象不经过第二象限，
∴𝑘−2≤0，解得𝑘≤2，∴0<𝑘≤2，
∴𝑘的值可以是1（答案不唯一）．
13．《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．某中学打算从这三部名著中选
择两部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率为______．
2
【答案】
3
【分析】利用列举法求概率即可.
【详解】解：用A，B，C分别表示《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》三部名著，任意选择两部共有
AB,AC,BC3种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种，
2
故恰好选中《九章算术》的概率为 .
3
4
14．计算𝑎−2+ =__________．
𝑎+2
𝑎2 𝑎2
【答案】 /
𝑎+2 2+𝑎
【分析】本题主要考查了分式的加减，正确计算是解题的关键．
根据分式加减的计算法则先通分再计算即可．
(𝑎−2)(𝑎+2)+4 𝑎2−4+4 𝑎2
【详解】解：原式= = = ．
𝑎+2 𝑎+2 𝑎+2
𝑎2
故答案为 ： ．
𝑎+2
15．如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，连接𝐵𝐷，动点P从点A出发沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐷→𝐷𝐴匀速运动，回
到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段𝐴𝑃的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P
运动到𝐵𝐷的中点处时，BD的长为 ， △𝐴𝑃𝐷的面积为 ．
5
【答案】6， 11.
2
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图
象各个点的实际意义．
图1和图2中的点对应：点𝐴对点𝑂，点𝐵对点𝑀，点𝐷对点𝑁，根据点𝑃运动的路程为𝑥，线段𝐴𝑃的长为𝑦，依次解出𝐴𝐵=𝑥=6，即点𝑀的横坐标，𝐴𝐷=𝐴𝑃=𝑦=10，即点𝑁的纵坐标，然后利用勾股定理求出
高，再由三角形中线等分面积即可求解．
【详解】解：在图1中，作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，垂足为𝐸，
在图2中，取𝑀(6,6)，𝑁(12,10)，
当点P从点A到点B时，对应图2中𝑂𝑀线段，得𝐴𝐵=𝑥=6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线𝑀𝑁，得𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝑥=12，
解得：𝐵𝐷=6，
∴BD的长为6.
当点𝑃到点𝐷时，对应图2中到达点𝑁，得𝐴𝐷=𝐴𝑃=𝑦=10，
在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵=𝐵𝐷=6，𝐴𝐷=10，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，
1
∴𝐴𝐸= 𝐴𝐷=5，
2
∴在Rt△𝐴𝐵𝐸中，𝐵𝐸= 𝐴𝐵2−𝐴𝐸2 = 62−52 = 11，
1 1
∴𝑆 = 𝐴𝐷⋅𝐵𝐸= ×10× 11=5 11，
△𝐴𝐵𝐷 2 2
1 5
当点𝑃运动到𝐵𝐷的中点处时，𝑆 = 𝑆 = 11．
△𝐴𝑃𝐷 2 △𝐴𝐵𝐷 2
5
故答案为：6， 11.
2
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
−1
1
16.（本小题满分6分）计算： 12−|1− 3|−(𝜋−3.14)0 + ．
2
【答案】 3+2
【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，二次根式化简，零指数幂，负整数指数幂，正确的计算是
解题的关键．
根据二次根式化简，绝对值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可．
−1
【详解】解： 12−|1− 3|−(𝜋−3.14)0 + 1
2
=2 3−( 3−1)−1+2
=2 3− 3+1−1+2
= 3+2．
17．（本小题满分6分）如图，𝐴𝐵=𝐴𝐷, ∠𝐶=∠𝐸, ∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐶．求证：𝐵𝐶=𝐷𝐸．【答案】见解析
【分析】首先由∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐶得到∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，然后证明出△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(AAS)，即可得到
𝐵𝐶=𝐷𝐸．
【详解】证明：∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐸𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸
又∵𝐴𝐵=𝐴𝐷, ∠𝐶=∠𝐸
∴△𝐵𝐴𝐶≌△𝐷𝐴𝐸(AAS)
∴𝐵𝐶=𝐷𝐸．
18．（本小题满分6分）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应
县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所
在位置的俯角为60°，木塔顶部点B的仰角为40°，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，
D在同一平面上，求应县木塔𝐴𝐵的高度．（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°=0.84， 3
≈1.73）
【答案】应县木塔𝐴𝐵的高度为67.7米
【分析】过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可．
本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶交𝐴𝐶的延长线于点F．根据题意得四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是矩形，𝐶𝐹=10，𝐷𝐸=60，𝐴𝐸=𝐷𝐹．
在Rt△𝐵𝐷𝐸中，∠𝐵𝐷𝐸=40°，
𝐵𝐸
∵tan∠𝐵𝐷𝐸= ，
𝐷𝐸
∴𝐵𝐸=𝐷𝐸·tan40°≈60×0.84=50.4（米），
∵∠𝐶𝐷𝐸=60°，
𝐷𝐹
∴∠𝐷𝐶𝐹=60°，tan∠𝐷𝐶𝐹= ，
𝐶𝐹
∴𝐷𝐹=𝐶𝐹·tan60°≈10×1.73=17.3（米），
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸+𝐵𝐸=17.3+50.4=67.7（米）．
答：应县木塔𝐴𝐵的高度为67.7米．
19．（本小题满分8分）重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，为了解初三学生对该城市的了解程度，随
机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完
整的统计图：（数据分组为A组：𝑥<18，B组：18≤𝑥<22，C组：22≤𝑥<26，D组：26≤𝑥≤30，
x表示问卷测试的分数，满分为30分），其中男生得分处于C组的有14人．
男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，24，25，25
男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组 平均 中位 众 满分
别 数 数 数 率
男 20 n p 26%
女 20 23 20 20%
(1)直接写出m，n，p的值，并补全条形统计图；
(2)通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生？说明理由（一条理由即可）；
(3)已知初三年级总人数为3600人，请估计参加问卷测试，成绩处于A组的人数．
【答案】(1)50，24.5，22，见解析
(2)男生的成绩比较好，理由见解析
(3)108人
【分析】本题主要考查中位数、众数及平均数，熟练掌握中位数、众数及平均数是解题的关键．（1）根据男生C组人数以及百分比求出男生总人数即可，根据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数或众数的大小判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】（1）解：𝑚=14÷28%=50（人），
50×(2%+24%)=13（人），
∴男生中位数𝑛=(24+25)÷2=24.5，众数𝑝=22，
女生C组人数=50−2−13−20=15（人），
条形图如图所示：
（2）解：男生的成绩比较好，因为男生的中位数比女生的中位数大（也可以根据众数的大小判断）；
50×(1−24%−28%−46%)+2
（3）解：3600× =108（人），
100
答：估计成绩处于A组的人数约为108人．
20．（本小题满分8分）阅读材料，解答下列问题：
幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数
学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个
数的和都相等．
(1)在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______；
(2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图13−3的幻方补充完整；
(3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，
①求出x的值；
②直接写出4𝑥正上方的方格中的数字为______．
【答案】(1)15
(2)见解析(3)①𝑥=3；②1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题
的关键．
（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可；
（2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第
一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第
二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子；
（3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第
一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，
∴取中间一行三个数的和，为，3+5+7=15，
故答案为：15；
（2）∵𝑥+𝑥−3−(𝑥−4)=𝑥+1，
𝑥+3+𝑥−1−𝑥=𝑥+2，
𝑥+3+𝑥−2−(𝑥−3)=𝑥+4，
∴补全图3如下：
（3）①由题意知，19+𝑥=𝑥+7+4𝑥，
解得𝑥=3．
②设4𝑥上方的数为m，
∵𝑥+7=10,4𝑥=12，
∴10+3=12+𝑚，
解得：𝑚=1，
即4𝑥上方的数为1；
故答案为：1．
21．（本小题满分8分）如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝑂平分∠𝐵𝐴𝐷．点O在𝐴𝐶上，以点O为圆心，𝑂𝐴为半
径，作⊙𝑂与𝐵𝐶相切于点B，且⊙𝑂过点𝐷，𝐵𝑂延长线交⊙𝑂于点E，交𝐴𝐷于点F，连接𝐴𝐸， 𝐷𝐸．(1)求证：𝐶𝐷是⊙𝑂的切线；
(2)若𝐴𝐸=𝐷𝐸=8，求𝐴𝐹的长．
【答案】(1)见解析
(2)4 3
【分析】（1）连接𝑂𝐷，证明△𝐵𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐶(SAS)，得到∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐷𝐶=90°，即可求证；
（2）由𝑂𝐴=𝑂𝐷，𝐴𝐸=𝐷𝐸=8，可得𝑂𝐸垂直平分𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐸，进而可得
∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝐸=30°，即可求出𝐸𝐹，再利用勾股定理得到𝐴𝐹的长．
【详解】（1）证明：连接𝑂𝐷，
∵𝐴𝑂平分∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝑂，
∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，𝑂𝐴=𝑂𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐴𝐵𝑂，∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐷𝐴𝑂，
∴∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐵𝐴𝑂，∠𝐷𝑂𝐶=2∠𝐷𝐴𝑂，
∴∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐷𝑂𝐶，
∵𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝑂𝐶=𝑂𝐶，
∴△𝐵𝑂𝐶≌△𝐷𝑂𝐶(SAS)，
∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑂𝐷𝐶，
∵⊙𝑂与𝐵𝐶相切于点B，
∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐶，
∴∠𝑂𝐵𝐶=90°，
∴∠𝑂𝐷𝐶=90°，
即𝑂𝐷⊥𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷是⊙𝑂的切线；
（2）解：∵𝑂𝐴=𝑂𝐷，𝐴𝐸=𝐷𝐸=8，
∴𝑂𝐸垂直平分𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐹𝐸=90°，
∵∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐸，
∵∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐴𝐵𝑂，
∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝐸，
∵𝐵𝐸是⊙𝑂的直径，∴∠𝐵𝐴𝐸=90°，
∴∠𝐵𝐴𝑂=𝐷𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝐸=30°，
1 1
∴𝐸𝐹= 𝐴𝐸= ×8=4，
2 2
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐸2−𝐸𝐹2 = 82−42 =4 3．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性
质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关
性质是解题的关键．
22．（本小题满分10分）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补
贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木
共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元．
(1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？
(2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元
（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2
平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多
少？
【答案】(1)购进1株甲种苗木需7元，1株乙种苗木需3元；
(2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木9株，购进乙种苗木6株；②购进甲种苗木10株，购进乙种苗木5
株；③购进甲种苗木11株，购进乙种苗木4株；④购进甲种苗木12株，购进乙种苗木3株；⑤购进甲种苗
木13株，购进乙种苗木2株；
(3)购进甲种苗木13株，购进乙种苗木2株时面积最大，最大面积是69平方米．
【分析】（1）设购进1株甲种苗木需𝑥元，1株乙种苗木需𝑦元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木(15−𝑚)株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到𝑚的可
能取值，即可得解；
（3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出𝑠关于𝑚的一次函数，利用一次函数的增减性即可得
解．
【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需𝑥元，1株乙种苗木需𝑦元，
2𝑥+3𝑦=23 𝑥=7
则 4𝑥+𝑦=31 ，解得： 𝑦=3，
答：购进1株甲种苗木需7元，1株乙种苗木需3元；
（2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木(15−𝑚)株，
7𝑚+3(15−𝑚)≥80
由题意得： 7𝑚+3(15−𝑚)≤100，
35 55
∴ ≤𝑚≤ ，
4 4∵ 𝑚为正整数，
∴𝑚的可能取值为9、10、11、12、13，
∴共有5种购买方案：①购进甲种苗木9株，购进乙种苗木6株；②购进甲种苗木10株，购进乙种苗木5
株；③购进甲种苗木11株，购进乙种苗木4株；④购进甲种苗木12株，购进乙种苗木3株；⑤购进甲种苗
木13株，购进乙种苗木2株；
（3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米，
则𝑠=5𝑚+2(15−𝑚)=3𝑚+30，
∵3>0，
∴𝑠随𝑚的增大而增大，
由（2）可知，𝑚的最大取值为13，此时𝑠
max
=3×13+30=69
∴购进甲种苗木13株，购进乙种苗木2株时面积最大，最大面积是69平方米．
23．（本小题满分11分）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
(1)【初探猜想】如图1，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点E、F分别是𝐴𝐵、𝐴𝐷上的点，连接𝐷𝐸、𝐶𝐹，若𝐷𝐸⊥𝐶𝐹，
则线段𝐷𝐸与𝐶𝐹的数量关系为________；
(2)【类比探究】如图2，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=4，𝐶𝐷=3，点E、F分别是边𝐴𝐷、𝐵𝐶上的点，点G是边
𝐸𝐹
𝐴𝐵上一点，连接𝐸𝐹、𝐷𝐺，若𝐸𝐹⊥𝐷𝐺，求 的值；
𝐷𝐺
(3)【知识迁移】如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵=90°，点E、F分别在线段𝐴𝐵、𝐴𝐷上，且𝐶𝐸⊥𝐵𝐹，
𝐶𝐸
连接𝐴𝐶，若∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=4，求 的值．
𝐵𝐹
【答案】(1)𝐷𝐸=𝐶𝐹
3
(2)
4
12
(3)
25
【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质等知识点，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
（1）设𝐷𝐸与𝐶𝐹的交点G，根据正方形的性质证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(AAS)即可解答；
（2）过点E作𝐸𝐾⊥𝐵𝐶于点K，𝐸𝐹与𝐷𝐺的交点为H，证明四边形𝐴𝐵𝐾𝐸是矩形得到𝐸𝐾=𝐴𝐵=3和
𝐸𝐹
∠𝐴𝐸𝐾=∠𝐷𝐸𝐾=90°，再证明△𝐸𝐹𝐾∽△𝐷𝐺𝐴，即可求出 的值；
𝐷𝐺
（3）过点C作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于点G，𝐶𝐸与𝐵𝐹的交点为H，由勾股定理，得出𝐴𝐵=5，再根据三角形的面积得12 𝐶𝐸
出𝐶𝐺= ，然后证明△𝐶𝐺𝐸∽△𝐵𝐴𝐹，即可求出 的值．
5 𝐵𝐹
【详解】（1）解：如图，令𝐷𝐸与𝐶𝐹的交点为G，
∵设𝐷𝐸与𝐶𝐹的交点G，
∴𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴=∠𝐴𝐷𝐶=90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐴𝐸𝐷=90°，
∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐺𝐹=90°，
∴∠𝐸𝐷𝐺+∠𝐷𝐹𝐺=90°，
∴∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐴𝐸𝐷，
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐷𝐶𝐹中，
𝐴𝐷=𝐷𝐶
∠𝐴=∠𝐴𝐷𝐶 ，
∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐷𝐹𝐶
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(AAS)，
∴𝐷𝐸=𝐶𝐹．
（2）解：如图：过点E作𝐸𝐾⊥𝐵𝐶于点K，𝐸𝐹与𝐷𝐺的交点为H，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴∠𝐴=∠𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐶𝐷=3
∵𝐸𝐾⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐾𝐸=90°=∠𝐴=∠𝐵，
∴四边形𝐴𝐵𝐾𝐸是矩形，
∴𝐸𝐾=𝐴𝐵=3、∠𝐴𝐸𝐾=∠𝐷𝐸𝐾=90°，
∴∠𝐷𝐸𝐻+∠𝐹𝐸𝐾=90°，
∵𝐸𝐹⊥𝐷𝐺，
∴∠𝐷𝐻𝐸=90°，∴∠𝐸𝐷𝐻+∠𝐷𝐸𝐻=90°，
∴∠𝐹𝐸𝐾=∠𝐸𝐷𝐻，
又∵∠𝐴=∠𝐸𝐾𝐹=90°，
∴△𝐸𝐹𝐾∽△𝐷𝐺𝐴，
𝐸𝐹 𝐸𝐾 3
∴ = = ．
𝐷𝐺 𝐴𝐷 4
（3）解：如图，过点C作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵于点G，𝐶𝐸与𝐵𝐹的交点为H，
∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=4，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 =5，
1 1
∵𝑆 = 𝐴𝐶⋅𝐵𝐶= 𝐴𝐵⋅𝐶𝐺，
△𝐴𝐵𝐶 2 2
𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 12
∴𝐶𝐺= = ，
𝐴𝐵 5
∵𝐶𝐺⊥𝐴𝐵
∴∠𝐶𝐺𝐸=∠𝐷𝐴𝐵=90°，
∴∠𝐸𝐶𝐺+∠𝐶𝐸𝐺=90°，
∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐹，
∴∠𝐵𝐻𝐸=90°，
∴∠𝐻𝐵𝐸+∠𝐵𝐸𝐻=90°，
∴∠𝐸𝐶𝐺=∠𝐻𝐵𝐸，
又∵∠𝐶𝐺𝐸=∠𝐷𝐴𝐵=90°，
∴△𝐶𝐺𝐸∽△𝐵𝐴𝐹，
𝐶𝐸 𝐶𝐺 12 12
∴ = = 5 = ．
𝐵𝐹 𝐴𝐵 5 25
24．（本小题满分12分）如图，抛物线𝑦=−𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐与x轴交于𝐴(1,0)、B两点，与y轴交于点𝐶
(0,5)，点P是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间
的部分（包含端点）记为图象G．(1)求出抛物线的解析式；
(2)当P是抛物线的顶点时，求△𝐵𝐶𝑃的面积；
(3)①当𝑚<0时，图象G的最大值与最小值的差为d，求出d与m的函数关系式，并写出m的取值范
围；
②过点P作𝑃𝑄⊥𝑦轴于点Q，点E为y轴上的一点，纵坐标为−2𝑚，以𝐸𝑄、𝑃𝑄为邻边构造矩形𝑃𝑄𝐸𝐹，
当抛物线在矩形𝑃𝑄𝐸𝐹内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)𝑦=−𝑥2 −4𝑥+5；
(2)15；
(3)①−2<𝑚<0时，𝑑=−𝑚2 −4𝑚；−4≤𝑚≤−2时，𝑑=4；𝑚<−4时，𝑑=𝑚2 +4𝑚+4；②−1−
6<𝑚<0或𝑚>−1+ 6
【分析】本题考查了二次函数与几何面积问题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析
式，正确理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑥+5，抛物线的顶点坐标𝑃(−2,9)，再用分割法求三角形的面积即可；
（3）①分−2<𝑚<0，−4≤𝑚≤−2，𝑚<−4三种情况讨论，分别求d与m的函数关系式即可；
②先求出当𝐸点与𝑄点重合时m的值，然后根据图象，在点P在移动过程中找出满足条件的m的范围即
可．
【详解】（1）解：（1）将点𝐴(1,0)、𝐶(0,5)代入𝑦=−𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐，得：
−1+𝑏+𝑐=0
𝑐=5 ，
𝑏=−4
解得 𝑐=5 ，
∴抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2 −4𝑥+5；
（2）解：在𝑦=−𝑥2 −4𝑥+5中，由𝑦=0得−𝑥2 −4𝑥+5=0，
解得：𝑥 =1，𝑥 =−5，
1 2
∴𝐵点坐标为(−5,0)，
∵𝐶(0,5)，
设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，把𝐵(−5,0)，𝐶(0,5)得坐标代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏，得：
−5𝑘+𝑏=0
𝑏=5 ，
𝑘=1
解得 𝑏=5，
∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑥+5，
∵𝑦=−𝑥2 −4𝑥+5=−(𝑥+2)2 +9，
∴𝑃点坐标为(−2,9)，
设抛物线的对称轴交𝐵𝐶于点𝑀，则𝑀点的横坐标为−2，
在𝑦=𝑥+5中，当𝑥=−2时，𝑦=3，
∴𝑀(−2,3)，
∴𝑃𝑀=9−3=6，
1 1
∴𝑆 =𝑆 +𝑆 = ×6×3+ ×6×2=15；
△𝐵𝐶𝑃 △𝐵𝑀𝑃 △𝑀𝐶𝑃 2 2
（3）解：①抛物线的对称轴为直线𝑥=−2，
当−2<𝑚<0时，𝑑=−𝑚2 −4𝑚+5−5=−𝑚2 −4𝑚；
当−4≤𝑚≤−2时，𝑑=9−5=4；
当𝑚<−4时，𝑑=9−(−𝑚2 −4𝑚+5)=𝑚2 +4𝑚+4；
②∵𝑃点的坐标为(𝑚,−𝑚2 −4𝑚+5)，𝑃𝑄⊥𝑦轴于点𝑄，
∴𝑄点的坐标为(0,−𝑚2 −4𝑚+5)，
∵𝐸点的纵坐标为−2𝑚，
∴当𝐸点与𝑄点重合时，−2𝑚=−𝑚2 −4𝑚+5，
解得𝑚=−1+ 6或𝑚=−1− 6，
∴当−1− 6<𝑚<0或𝑚>−1+ 6时，抛物线在矩形𝑃𝑄𝐸𝐹内的部分所对应的函数值𝑦随𝑥的增大而减
小．
