文档内容
2026年菁优深圳中考数学模拟试卷6
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）文房四宝指笔、墨、纸、砚四类书画必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台示意图，
从上面看它所得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）不透明的袋子中装有两个黄球和一个红球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一
个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ）
2 1 4 2
A． B． C． D．
9 3 9 3
3．（3分）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝15°，则∠BOD为（
）
A．115° B．105° C．75° D．95°
{3x+1≥4
4．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
9-x＞2x
A． B．
C． D．
第1页（共28页）5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，
0），点D在y轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣5，4） C．(-5，√21) D．（﹣5，3）
-6
6．（3分）如图，点A（﹣3，a）在反比例函数y= 的图象上，点B的坐标是（﹣3，0），点C的坐
x
标是（0，b），则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．3 C．60 D．6
m m
7．（3分）若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则( -2)÷ 的值为（ ）
m-1 m2-1
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．（3分）如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，AD与CE交于M点，延长CD交EF于N
点，再连接NG，AE，DG，若A，B，E共线，A，D，G共线，M为CE中点，S△AME ＝2，则△DNG
的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ ．
第2页（共28页）10．（3分）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，
自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为 6cm，中间有边长为
1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是
．（保留 ）
π
4
11．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC= ，反比例
3
k
函数y= 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 ．
x
12．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多
边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为
3.1416，如图， O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 Oπ的面积，可得
⊙ ⊙
3√3
的估计值为 ，若用圆内接正八边形近似估计 O 的面积，可得 的估计值为
2
π ⊙ π
．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝AC＝12，∠ADC＝ ，点E为线段BA上一点，
AE＝3，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转 交BA延长线于点α H，DE所在直线与线段
CA交于点G．则HG的长为 ． α
第3页（共28页）三．解答题（共7小题，满分61分）
a a2-2a
14．（7分）先化简，再求值：当a=√2-1时，求代数式（a- ）÷ 的值．
a+1 a2-4
15．（9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有
20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由
七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划
三项的测试成绩按3：3：4的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这 20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最
小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成
绩/分
文化水平 口头表达 组织策划
圆圆 83 72 80 78.5
芳芳 86 84 ▲ ▲
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据
的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算芳芳的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
第4页（共28页）16．（9分）如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米．
（1）飞机A在机场北偏东30°方向，距离是 千米；
（2）飞机B在机场 °方向，距离是40千米；
（3）飞机C在机场南偏东60°，距离是50千米，请在平面上标出C的位置．
17．（9分）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准
备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“MOSS”两种产品共100件，需购买价格为30
元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“MOSS”需A种材料3千克，B种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过15000元，且生产“MOSS”不少于30件，请问
有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“MOSS”需加工费80元，应
选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
第5页（共28页）18．（9分）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A B C 的位置（点A、B、C的对应点分别是点
1 1 1
（A 、B 、C ），延长AC、A B 相交于点D．若∠A＝70°，求∠D的度数．
1 1 1 1 1
19．（9分）已知，点B在线段CE上．
【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，求证：△ACB∽△AED；
【拓展】（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED；
【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，求△ABD与△BDE
的面积比．
20．（9分）基础运用
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个动点，且不与
点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处，点N
不与点B重合．
①求证：MB＝MD；
②求证：BN=√2AM．
创新探究
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个
动点，且不与点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC延长
线上的点N处．求证：AM＝CN．
第6页（共28页）第7页（共28页）2026年菁优深圳中考数学模拟试卷6
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C C B B D
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）文房四宝指笔、墨、纸、砚四类书画必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台示意图，
从上面看它所得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从上边看得到的图形即可解答．
【解答】解：从上面看它所得到的平面图形是 ．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．
2．（3分）不透明的袋子中装有两个黄球和一个红球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一
个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到黄球的概率是（ ）
2 1 4 2
A． B． C． D．
9 3 9 3
第8页（共28页）【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
黄 黄 红
黄 （黄， （黄， （黄，
黄） 黄） 红）
黄 （黄， （黄， （黄，
黄） 黄） 红）
红 （红， （红， （红，
黄） 黄） 红）
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的结果有4种，
4
∴两次都摸到黄球的概率为 ．
9
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
3．（3分）如图，已知点O在直线AB上，∠COE＝90°，OD平分∠AOE，∠COD＝15°，则∠BOD为（
）
A．115° B．105° C．75° D．95°
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据∠COE＝90°，∠COD＝15°，求得∠DOE＝75°，再根据OD平分∠AOE，得出∠AOD
＝∠DOE＝75°，最后得出∠BOD＝180°﹣∠AOD＝105°．
【解答】解：∵∠COE＝90°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝90°﹣15°＝75°，
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠DOE＝75°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝105°，
第9页（共28页）故选：B．
【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线
以及直角的定义，求得∠AOD的度数，再根据邻补角进行计算．
{3x+1≥4
4．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
9-x＞2x
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x+1≥4，得：x≥1，
由9﹣x＞2x，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，
0），点D在y轴上，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣5，4） C．(-5，√21) D．（﹣5，3）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
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【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
第10页（共28页）【分析】首先求出BC＝5，然后根据勾股定理求出DO=√52-22=√21，进而求解即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点B，C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴BC＝CD＝2﹣（﹣3）＝5，OC＝2，
∴DO=√52-22=√21，
所以点A的坐标是(-5，√21)．
故选：C．
【点评】此题考查了坐标与图形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
-6
6．（3分）如图，点A（﹣3，a）在反比例函数y= 的图象上，点B的坐标是（﹣3，0），点C的坐
x
标是（0，b），则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．3 C．60 D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数k值几何意义进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AO，
∵点A（﹣3，a）点B（﹣3，0），
∴AB∥y轴，
1
∴S△ABC ＝S△AOB =
2
×6= 3．
故选：B．
第11页（共28页）【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值几何意义是关键．
m m
7．（3分）若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则( -2)÷ 的值为（ ）
m-1 m2-1
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】一元二次方程的解；分式的化简求值．
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【专题】分式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再结合m2﹣3m＝2代入计算即可．
m m
【解答】解：( -2)÷
m-1 m2-1
m 2m-2 (m+1)(m-1)
=( - )⋅
m-1 m-1 m
m-2 (m+1)(m-1)
=-( )⋅
m-1 m
(m-2)(m+1)
=-
m
m2-m-2
=-
m
(m2-3m)+2m-2
=- ，
m
∵m2﹣3m＝2，
(m2-3m)+2m-2 2+2m-2
∴- =- =-2，
m m
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，关键是分式运算法则的运用．
8．（3分）如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，AD与CE交于M点，延长CD交EF于N
点，再连接NG，AE，DG，若A，B，E共线，A，D，G共线，M为CE中点，S△AME ＝2，则△DNG
的面积为（ ）
第12页（共28页）A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；列代数式；余角和补角；三角形的面积；
勾股定理；正方形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由正方形的性质得AB∥DC，∠GFE＝∠ECG＝90°，DC＝AD，M为CE中点，则EM＝
AE AM EM
CM，再证明△EAM∽△CDM，得 = = =1，设 AM＝DM＝a，则AE＝DC＝AD＝2a，
DC DM CM
EM=CM=√5a， 所 以 S =a2=2， CE=2√5a 由
△AME
DC NE DM 1 1
=tan∠CGD=tan∠DCM= = = ，得 DG＝2DC＝4a，NE= CE=√5a，求得CN
DG CE DC 2 2
＝5a，则DN＝3a所以S =6a2=12，于是得到问题的答案．
△DNG
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，
∴AB∥DC，∠GFE＝∠ECG＝90°，DC＝AD，
∵A，B，E共线，A，D，G共线，M为CE中点，S△AME ＝2，
∴∠EAM＝∠CDM＝90°，∠AEM＝∠DCM，EM＝CM，
∴△EAM∽△CDM，
AE AM EM
∴ = = =1，
DC DM CM
∴AM＝DM，
设AM＝DM＝a，则AE＝DC＝AD＝2a，EM=CM=√a2+(2a) 2=√5a，
1
∴S = a×2a=a2=2，CE=2EM=2√5a，
△AME 2
∵∠CDG＝∠NDG＝90°，
第13页（共28页）∴∠CGD＝90°﹣∠GCD＝∠DCM，
DC NE DM a 1
∴ =tan∠CGD=tan∠DCM= = = = ，
DG CE DC 2a 2
1
∴DG＝2DC＝4a，NE= CE=√5a，
2
∴CN=√CE2+N E2=√ (2√5a) 2+(√5a) 2=5a，
∴DN＝CN﹣DC＝5a﹣2a＝3a，
1 1
∴S = DN⋅DG= ×3a×4a=6a2=6×2=12，
△DNG 2 2
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三
角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x﹣2x2+x3＝ x （ 1 ﹣ x ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】x（1﹣x）2．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝x（1﹣2x+x2）
＝x（1﹣x）2，
故答案为：x（1﹣x）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（3分）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，
自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为 6cm，中间有边长为
1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是
1
．（保留 ）
9π
π
【考点】几何概率．
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第14页（共28页）【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】
9π
【分析】分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果．
【解答】解：∵直径为6cm的铜钱的面积为 ×32＝9 ，边长为1cm的正方形小孔的面积为1×1＝1，
π π 1
随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率为 ，
9π
1
故答案为： ．
9π
【点评】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式，熟记概率公式，求出圆面积和
正方形面积是解题关键．
4
11．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC= ，反比例
3
k
函数y= 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于 2 4 ．
x
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角
形．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】24．
【分析】易证S菱形ABCO ＝2S△CDO ，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，
代入反比例函数即可解题．
【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF＝4x，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
第15页（共28页）∵DE∥AO，
∴S△ADO ＝S△DEO ，
同理S△BCD ＝S△CDE ，
∵S菱形ABCO ＝S△ADO +S△DEO +S△BCD +S△CDE ，
∴S菱形ABCO ＝2（S△DEO +S△CDE ）＝2S△CDO ＝40，
4
∵tan∠AOC= ，
3
∴OF＝3x，
∴OC=√OF2+CF2=5x，
∴OA＝OC＝5x，
∵S菱形ABCO ＝AO•CF＝20x2，解得：x=√2，
∴OF=3√2，CF=4√2，
∴点C坐标为（3√2，4√2），
k
∵反比例函数y= 的图象经过点C，
x
∴代入点C得：k＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得 S菱形ABCO ＝2S△CDO 是解题的关
键．
12．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多
边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为
3.1416，如图， O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 Oπ的面积，可得
⊙ ⊙
3√3
的估计值为 ，若用圆内接正八边形近似估计 O的面积，可得 的估计值为 2√2 ．
2
π ⊙ π
【考点】正多边形和圆；估算无理数的大小；规律型：图形的变化类．
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第16页（共28页）【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】2√2．
【分析】根据正八边形的性质求出∠AOB＝45°，根据直角三角形的边角关系求出OB边上的高AM，
由三角形的面积的计算方法可求出△AOB的面积，进而得到正八边形的面积即可．
【解答】解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于 O，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M，
∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ⊙
360°
∴∠AOB= =45°，
8
在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝45°，
√2 √2
∴AM= OA= ，
2 2
1 √2
∴正八边形的面积为8S△AOB ＝8×
2
×1×
2
=2√2，
即可估计 的近似值为2√2，
故答案为：π2√2．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计
算方法是正确解答的关键．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝AC＝12，∠ADC＝ ，点E为线段BA上一点，
AE＝3，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转 交BA延长线于点α H，DE所在直线与线段
CA交于点G．则HG的长为 6√5 ． α
第17页（共28页）【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形
的性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的
相似；几何直观；推理能力．
【答案】6√5．
【分析】根据相似三角形的性质确定AG，CG的值，结合三角形内角和定理可得AH＝AD，再根据三
角形全等的判定和性质得到DE＝HG，最后构建直角三角形，结合勾股定理计算边长即可．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD＝9，AD＝AC＝12，AE＝3，
∴△AEG∽△CDG，
AE AG 3 AG 1
∴ = ，即 = = ，
CD CG 9 CG 3
1
∴AG= CG，
3
1
∴AG= AC=3，CG＝9，
4
∵AD＝AC，∠ADC＝ ，
∴∠ACD＝∠ADC＝ ，α
又∵CD＝CG＝9， α
180°-α α
∴∠CDG=∠CGD= =90°- ，
2 2
∵将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转 交BA延长线于点H，
∴∠EDH＝∠ADC＝ ，即∠EDA+∠ADHα＝∠EDA+∠CDE＝ ，
α α α
∴∠ADH=∠CDG=90°- ，
2
∵AB∥CD，
∴∠HAD＝∠ADC＝ ，∠EAG＝∠ACD＝ ，
α α α α
∴∠AHD=180°-∠HAD-∠ADH=180°-α-(90°- )=90°- ，
2 2
∴∠ADH＝∠AHD，
∴AH＝AD＝12，
∵∠EAG＝∠HAD＝ ，
∴∠EAG+∠CAD＝∠αHAD+∠CAD，即∠EAD＝∠GAH，
在△EAD和△GAH中，
第18页（共28页）{
AE=AG=3
∠EAD=∠GAH，
AD=AH
∴△EAD≌△GAH（SAS），
∴DE＝HG，
如图，过A作AM⊥CD于点M，过E作EN⊥CD于点N，
∴AM∥EN，
又∵AB∥CD，
∴AE∥MN，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN＝AE＝3，AM＝EN，
又∵AC＝AD＝12，CD＝9，AM⊥CD，
∴D为CD的中点，
1 9
∴DM= CD= ，
2 2
9 2 495
在 直 角 三 角 形 ADM 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AM2=AD2-DM2=122-( ) = ，
2 4
9 15
DN=DM+MN= +3= ，
2 2
√495 15 2
在直角三角形DEN中，由勾股定理得：DE=√EN2+DN2= +( ) =6√5，
4 2
∴HG=DE=6√5，
故答案为：6√5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，相
似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的性质．
三．解答题（共7小题，满分61分）
第19页（共28页）a a2-2a
14．（7分）先化简，再求值：当a=√2-1时，求代数式（a- ）÷ 的值．
a+1 a2-4
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
a(a+2) √2
【答案】 ； ．
a+1 2
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘除，约分化简后将x的值代入计算即可．
a2+a-a (a+2)(a-2)
【解答】解：原式= •
a+1 a(a-2)
a2 a+2
= •
a+1 a
a(a+2)
= ；
a+1
当a=√2-1时，
(√2-1)×(√2-1+2)
原式=
√2-1+1
(√2-1)(√2+1)
=
√2
2-1
=
√2
√2
= ．
2
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
15．（9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划招募若干名学生会干事．现有
20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加文化水平、口头表达、组织策划三项测试，每项测试均由
七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将文化水平、口头表达、组织策划
三项的测试成绩按3：3：4的比例计算出每人的总评成绩．
已知圆圆、芳芳的三项测试成绩和总评成绩如表，这 20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最
小值，不含最大值）如图．
选手 测试成绩/分 总评成
绩/分
文化水平 口头表达 组织策划
圆圆 83 72 80 78.5
第20页（共28页）芳芳 86 84 ▲ ▲
（1）在组织策划测试中，七位评委给芳芳打出的分数如下：75，82，74，81，70，83，81．这组数据
的中位数是 8 1 分，众数是 8 1 分，平均数是 7 8 分；
（2）请你计算芳芳的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔11名学生会干事．试分析芳芳、圆圆能否入选，并说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）81，81，78；
（2）芳芳的总评成绩为82.2分；
（3）
【分析】（1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
【解答】解：（1）七位评委给芳芳打出的分数从小到大排列为：70，74，75，81，81，82，83，
70+74+75+81+81+82+83
所以这组数据的中位数是81分，众数是81分，平均数是 =78（分）；
7
故答案为：81，81，78；
86×3+84×3+78×4
（2） =82.2（分），
10
答：芳芳的总评成绩为82.2分；
（3）不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选，理由如下：
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为圆圆78.5分、芳芳82.2分，
所以不能判断圆圆能否入选，但是芳芳能入选．
第21页（共28页）【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握
加权平均数，中位数和众数的计算方法．
16．（9分）如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米．
（1）飞机A在机场北偏东30°方向，距离是 3 0 千米；
（2）飞机B在机场 南偏西 6 0 °方向，距离是40千米；
（3）飞机C在机场南偏东60°，距离是50千米，请在平面上标出C的位置．
【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）30；（2）南偏西60；（3）见解析．
【分析】（1）判定出点A到圆心的距离即可；
（2）根据方向角的定义判断即可；
（3）根据方向角的定义画出点C即可．
【解答】解：（1）飞机A在机场北偏东30°方向，距离是30千米．
故答案为：30；
（2）飞机B在机场南偏西60°方向，距离是40千米．
故答案为：南偏西60；
（3）如图，点C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，方向角问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
第22页（共28页）解决问题．
17．（9分）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准
备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“MOSS”两种产品共100件，需购买价格为30
元/千克的A种材料和价格为20元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“MOSS”需A种材料3千克，B种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过15000元，且生产“MOSS”不少于30件，请问
有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“MOSS”需加工费80元，应
选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设生产“MOSS”a件，生产“笨笨”（100﹣a）件．由题意得（30×4+20）×（100﹣
1
a）+（3×30+4×20）a≤15000，解不等式可得出a≤33 ，则可得出答案；
3
（2）由（1）中方案可计算生产这批产品的成本得出答案．
【解答】解：（1）设生产乙产品a件，生产甲产品（100﹣a）件．由题意得，
（30×4+20）×（100﹣a）+（3×30+4×20）a≤15000，
1
解得a≤33 ，
3
又∵生产乙产品不少于30件，
∴30≤a≤33，
∵a为整数，
∴a＝30，31，32，33．
第23页（共28页）∴符合条件的生产方案有甲：70、乙：30；甲：69、乙：31；甲：68、乙：32；甲：67、乙：33；
（2）方案一总共需成本费为：70×（60+120+20）+30×（80+90+80）＝21500（元），
方案二总共需成本费为：69×（60+120+20）+31×（80+90+80）＝21550（元），
方案三总共需成本费为：68×（60+120+20）+32×（80+90+80）＝21600（元），
方案四总共需成本费为：67×（60+120+20）+33×（80+90+80）＝21650（元），
∴应选择甲：70、乙：30这种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
18．（9分）如图，将△ABC沿直线BC方向平移到△A B C 的位置（点A、B、C的对应点分别是点
1 1 1
（A 、B 、C ），延长AC、A B 相交于点D．若∠A＝70°，求∠D的度数．
1 1 1 1 1
【考点】平移的性质．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】70°．
【分析】根据平移的性质得到AB∥A D，利用平行线的性质得到∠D＝∠A即可．
1
【解答】证明：由平移性质，得∠B＝∠A B C ．
1 1 1
又∵∠A B C ＝∠BB D．
1 1 1 1
∴∠B＝∠BB D，
1
∴AB∥A D，
1
∴∠D＝∠A＝70°．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后两个图形之间的关系，难度不大．
19．（9分）已知，点B在线段CE上．
【感知】（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，求证：△ACB∽△AED；
【拓展】（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED；
第24页（共28页）【应用】（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，求△ABD与△BDE
的面积比．
【考点】相似形综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）S△ABD ：S△BDE ＝7：2．
【分析】（1）由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，据此得∠A＝∠DBE，
从而得证；
（2）由∠C＝∠ABD＝∠E与∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB＝
∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED；
（3）由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC
与△ABE的面积比，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，
∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
∴△ACB∽△AED；
（2）证明：∵AC＝AE，
∴∠C＝∠E，
∵∠ABD＝∠E，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，
∴∠CAB＝∠DBE，
∴△ACB∽△BED；
（3）解：∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD，
∴∠CAB＝∠DBE，
∵∠C＝∠E＝60°，
∴△ACB∽△BED，
∵△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，
∴AE＝AC＝CE＝6，
∴BE＝CE﹣BC＝4，
第25页（共28页）AC 6 3 BC 2 1
∴△ACB与△BED的相似比为： = = ， = = ，
BE 4 2 BE 4 2
∴S△ABC ：S△BED ＝9：4，S△ABC ：S△ABE ＝1：2，
设S△ABC ＝9x，则S△BDE ＝4x，S△ABE ＝18x，
∴S△ABD ＝S△ABE ﹣S△BED ＝18x﹣4x＝14x，
∴S△ABD ：S△BDE ＝14：4＝7：2．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本
题的关键是熟练运用数形结合思想解决问题．
20．（9分）基础运用
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个动点，且不与
点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处，点N
不与点B重合．
①求证：MB＝MD；
②求证：BN=√2AM．
创新探究
（2）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC和BD交于点O，点M是线段OA上的一个
动点，且不与点O和点A重合．连接MB和MD，将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC延长
线上的点N处．求证：AM＝CN．
【考点】几何变换综合题．
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【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【分析】（1）①由正方形的性质可得出答案；
②过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F，证出四边形MFBE矩形，得出MF＝BE，由正方形的
性质可得出结论；
（2）证出MN＝BM，作MH∥BA交AB于点H，EH∥AM交BA于点E，证出AM＝BH＝EH，作
第26页（共28页）MG⊥BC于点G，得出CG＝GH，NG＝BG，则可得出结论．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∴DM＝BM；
②过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AB于点F，
∵将线段MD绕点M旋转，点D恰好落在边BC上的点N处，
∴MD＝MN，
又∵MD＝MB，
∴MN＝MB，
∵ME⊥BN，
∴EN＝BE，
∴BN＝2BE，
∵MF⊥AB，ME⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形MFBE矩形，
∴MF＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠MAF＝∠AMF，
∴MF＝AF，
√2
∴MF= AM，
2
∴BN=√2AM；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴DM＝BM，
∵DM＝MN，
第27页（共28页）∴MN＝BM，
作MH∥BA交AB于点H，EH∥AM交BA于点E，如图，
则四边形AMHE是平行四边形，∠CMH＝∠BAC＝60°，∠CHM＝∠ABC＝60°，
∴AM＝BH，△CMH，△BEH都是等边三角形，
∴AM＝BH＝EH，
作MG⊥BC于点G，则CG＝GH，NG＝BG，
∴CN＝BH，
∴AM＝CN．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形、
等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确
添加辅助线是解题的关键．
第28页（共28页）
