文档内容
2026年菁优中考数学解密之代数式
一．选择题（共10小题）
1．（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第
③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是
（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
2．（2025•重庆）已知整式M：a
0
+a
1
x+a
2
x2+⋯+a
n
xn，其中a
0
为自然数，n，a
1
，a
2
，⋯，a
n
为正整数，且
a
0
+a
1
+⋯+a
n
＝4．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025•道外区三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂
等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳
原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH ，乙烷的化
4
学式为C H ，丙烷的化学式为C H …，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（
2 6 3 8
）
A．C H B．C H C．C H D．C H
12 24 12 25 12 26 12 28
4．（2025•渝中区校级二模）如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10
颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，
棋子的个数为（ ）
第1页（共29页）A．30 B．32 C．34 D．36
5．（2025•北碚区模拟）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利
用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，
第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的
小棒根数是（ ）
A．59 B．67 C．75 D．96
6．（2025•祥云县模拟）有一组单项式依次为a，-√2a2 ，√3a3 ，-2a4 ，√5a5，⋯，根据它们的规
律，第100个单项式为（ ）
A．﹣100a100 B．100a100 C．﹣10a100 D．10a100
7．（2025•新余校级模拟）下列式子计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．3xy2﹣2xy2＝1
C．3ab﹣2ab＝ab D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣1
8．（2025•新余校级模拟）如图，P 是一块半径为1的半圆形纸板，在P 的右上端剪去一个直径为1的
1 1
半圆后得到图形P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去的半圆的半径）得到图形
2
P ，P ，…，P …，记纸板P 的面积为S ，则S ﹣S 的值为（ ）
3 4 n n n n n+1
1 1
A．( )
nπ
B．( )
nπ
2 4
1 1
C．( )
2n+1π
D．( )
2n-1π
2 2
9．（2025•云南模拟）按一定规律排列的代数式：ab2，√2ab4，√3ab6，2ab8，√5ab10，…，第n个代
第2页（共29页）数式为（ ）
A．√nab2(n+1) B．√nab2n
C．√n+1ab2n D．√n-1ab2n
10．（2025•遵义模拟）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降
低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（ ）
10 9
A．( m-n)元 B．( m-n)元
9 10
C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元
二．填空题（共10小题）
11．（2025•南岗区校级模拟）如图，按一定规律摆放小黑点，则第 6个图案中的小黑点个数为
个．
12．（2025•碑林区校级三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化
合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷CH 如图①有4个氢原
4
子，第2种乙烷C H 如图②有6个氢原子，第3种丙烷C H 如图③有8个氢原子，…，按照这一规
2 6 3 8
律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ．
13．（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为
n
0，则m= ；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次
3
“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根
据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由
8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次
第3页（共29页）变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
14．（2025•湖北模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的正六边形组成，第1个图案中有
5个正六边形，第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形……按此规律，第60个
图案中正六边形的个数为 个．
15．（2025•南关区校级二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第 n个图案需要
根火柴棒．
16．（2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是 ．
17．（2025•济宁校级三模）现有一列数：a ＝2，a ，a ，a ，•••，a ，a （n为正整数），规定a ＝
1 2 3 4 n﹣1 n 1
1 1 1 1 97
2，a ﹣a ＝4，a ﹣a ＝6，•••，a ﹣a ＝2n（n≥2），若 + + ⋅⋅⋅ = ，则n的值为
2 1 3 2 n n﹣1 a a a a 198
2 3 4 n
．
18．（2025•蓬江区校级一模）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所
示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 cm（用含n的式子表示）．
19．（2025•白河县校级二模）2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋
令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“ ”按照一定规律
拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3
个图案中需要8个基本图形…按此规律拼接下去，第n个图案中需要 个基本图形．
（用含n的代数式表示）
第4页（共29页）20．（2025•费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边
的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做
第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，
问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•镜湖区校级二模）【观察思考】如图所示
【规律发现】
（1）第5个图案中，“▲”的个数为 ；
（2）第n个图案中，“★”的个数可表示为 ；
【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
22．（2025•东莞市校级三模）为美化市容，某广场用规格为10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设
计人员画出的一些备选图案如图所示．
【观察思考】
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
【规律总结】
（1）图5灰砖有 块，白砖有 块；图n灰砖有 块，白砖有
第5页（共29页）块；
【问题解决】
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．
23．（2025•龙子湖区三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合
数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．
行数系数展开式
n＝11（a+b）0＝1
n＝2 1 1（a+b）1＝a+b
n＝3 1 2 1（a+b）2＝a2+2ab+b
n＝4 1 3 3 1（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
…
呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题：
（1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ；
（2）当n＞3时，在系数中，从左边数第n行第3个数是 （用含n的式子表
示）；
（3）（a+b）n展开后各项的系数和为 （用含n的式子表示）．
24．（2025•安庆模拟）【观察思考】
1 4
第1个等式：1+ = ；
1+2 3
1 1 6
第2个等式：1+ + = ；
1+2 1+2+3 4
1 1 1 8
第3个等式：1+ + + = ；
1+2 1+2+3 1+2+3+4 5
1 1 1 1 10
第4个等式：1+ + + + = ，⋯
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 6
【规律发现】
（1）写出第5个等式： ；
1 1 1
（ 2 ） 写 出 你 猜 想 的 第 n 个 等 式 1+ +⋯+ + =
1+2 1+2+⋯+n 1+2+⋯+n+1
；
1 1 1
【规律应用】（3）应用规律计算： + +⋯ （需写出过程）．
1+2+⋯+10 1+2+⋯+11 1+2+⋯+20
25．（2025•包河区三模）【问题提出】
第6页（共29页）因式分解：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2⋯+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n
【问题探究】
为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：
①（1+x）+x（1+x）＝（1+x）（1+x）＝（1+x）2
②由①知（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2，继续添加下一项得：
（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3
（1）仿照②，把代数式（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3进行因式分解．
【发现规律】
（2）推广到一般形式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2⋯+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n＝
；
【问题解决】
（3）化简：a+a（1+2）+a（1+2）2+a（1+2）3+⋯+a（1+2）2025＝ ．
第7页（共29页）2026年菁优中考数学解密之代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C B C C C B B
一．选择题（共10小题）
1．（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第
③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是
（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型．
【答案】C
【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色
圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝6计算即可．
【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
…，
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，
故选：C．
【点评】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的
数字变化规律．
2．（2025•重庆）已知整式M：a
0
+a
1
x+a
2
x2+⋯+a
n
xn，其中a
0
为自然数，n，a
1
，a
2
，⋯，a
n
为正整数，且
a
0
+a
1
+⋯+a
n
＝4．下列说法：
第8页（共29页）①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减．
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【专题】规律型．
【答案】C
【分析】根据题意逐项分析，对a 进行分类讨论，即可求解．
0
【解答】解：当n＝1时，a +a ＝4，
0 1
当a ＝0，a ＝4时，整式M为4x，
0 1
当a ＞0时，整式M不可能为单项式，
0
当n＞1时，
∵a ，a ，…，a 为正整数，
1 2 n
∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当n＝3时，a +a +a +a ＝4，
0 1 2 3
当a ＝0时，a +a +a ＝4，
0 1 2 3
则a ，a ，a 中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，
1 2 3
当a ＝1时，a +a +a ＝3，
0 1 2 3
则a ＝a ＝a ＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3，
1 2 3
当a ＞1时，a +a +a ＜3，与a ，a ，…，a 为正整数矛盾，故不存在，
0 1 2 3 1 2 n
∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误；
∵多项式为二次三项式，
∴n＝2，
∴a +a +a ＝4，
0 1 2
因为多项式为三项式，故a ≠0，
0
当a ＝1时，a +a ＝3，
0 1 2
则有1+x+2x2，1+2x+x2两种，
1 7
∵1+x+2x2＝2（x+ ) 2+ ＞0，1+2x+x2＝（x+1）2＞0，
4 8
∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件，
当a ＝2时，a +a ＝2，
0 1 2
第9页（共29页）则有2+x+x2一种，
1 7
∵2+x+x2=(x+ ) 2+ ＞0，
2 4
∴2+x+x2满足条件，
当a ＞2时，a +a ＜2与a ，a ，…，a 为正整数矛盾，故不存在，
0 1 2 1 2 n
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是2个，
故选：C．
【点评】本题综合考查了整式与配方法理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
3．（2025•道外区三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂
等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳
原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH ，乙烷的化
4
学式为C H ，丙烷的化学式为C H …，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（
2 6 3 8
）
A．C H B．C H C．C H D．C H
12 24 12 25 12 26 12 28
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】C
【分析】由甲烷的化学式为CH ，乙烷的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H …，总结规律得十二烷
4 2 6 3 8
的化学式为C H ，即C H ．
12 2+2×12 12 26
【解答】解：由甲烷的化学式为CH ，乙烷的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H …，
4 2 6 3 8
得十二烷的化学式为C H ，即C H ．
12 2+2×12 12 26
故选：C．
【点评】本题主要考查了找规律，解题关键是正确找到规律并应用．
4．（2025•渝中区校级二模）如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10
颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，
棋子的个数为（ ）
第10页（共29页）A．30 B．32 C．34 D．36
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】观察图形可得前4个图形中棋子个数的规律，进而求解即可．
【解答】解：第①个图有10个棋子，
第②个图有14个棋子，
第③个图有18个棋子，
第④个图有22个棋子，
……，
∴第⑦个图形中棋子的个数为4×7+6＝34个棋子．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是关键．
5．（2025•北碚区模拟）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利
用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，
第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的
小棒根数是（ ）
A．59 B．67 C．75 D．96
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案所用小棒的根数为：11＝1×8+3；
第11页（共29页）第②个图案所用小棒的根数为：19＝2×8+3；
第③个图案所用小棒的根数为：27＝3×8+3；
…，
所以第n个图案所用小棒的根数为（8n+3）根．
当n＝8时，
8n+3＝8×8+3＝67（根），
所以第⑧个图案所用小棒的根数为67根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加8是解题的关键．
6．（2025•祥云县模拟）有一组单项式依次为a，-√2a2 ，√3a3 ，-2a4 ，√5a5，⋯，根据它们的规
律，第100个单项式为（ ）
A．﹣100a100 B．100a100 C．﹣10a100 D．10a100
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，可以发现第n个单项式的规律为(-1) n+1√nan，据此即可求解．
【解答】解：第1个单项式为a＝（﹣1）1+1a1，
第2个单项式为-√2a2=(-1) 2+1√2a2，
第3个单项式为√3a3=(-1) 3+1√3a3，
第4个单项式为-2a4=(-1) 4+1√4a4，
……，
∴第n个单项式为(-1) n+1√nan，
∴第100个单项式是(-1) 100+1√100a100=-10a100．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式规律题，算术平方根，理解题意找到式子的规律是解题的关键．
7．（2025•新余校级模拟）下列式子计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．3xy2﹣2xy2＝1
第12页（共29页）C．3ab﹣2ab＝ab D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣1
【考点】合并同类项；有理数的混合运算．
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【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同类项的含义以及合并同类项的法则逐一分析判断即可．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故A不符合题意；
B.3xy2﹣2xy2＝xy2，故B不符合题意；
C.3ab﹣2ab＝ab，运算正确，故C符合题意；
D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣8﹣9＝﹣17，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是合并同类项，有理数的混合运算，掌握“合并同类项的法则”是解本题的关键．
8．（2025•新余校级模拟）如图，P 是一块半径为1的半圆形纸板，在P 的右上端剪去一个直径为1的
1 1
半圆后得到图形P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去的半圆的半径）得到图形
2
P ，P ，…，P …，记纸板P 的面积为S ，则S ﹣S 的值为（ ）
3 4 n n n n n+1
1 1
A．( )
nπ
B．( )
nπ
2 4
1 1
C．( )
2n+1π
D．( )
2n-1π
2 2
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
1 1
【分析】根据题意可得S = ×12= ，进而可得S ，发现规律可得S ﹣S ．
1 2 2 2 n n+1
π π
【解答】解：根据题意得，n≥2．
1 1
S = ×12= ，
1 2 2
π π
1 1 1
S = - ×（ ）2，
2 2 2 2
π π
…，
第13页（共29页）1 1 1 1 1 1 1
S = - ×（ ）2- ×[（ ）2]2-⋯- ×[（ ）n﹣1]2，
n 2 2 2 2 2 2 2
π π π π
1 1 1 1 1 1 1 1 1
S = - ×（ ）2- ×[（ ）2]2-⋯- ×[（ ）n﹣1]2- ×[（ ）n]2，
n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π π π π π
1 1 1
∴S ﹣S = ×（ ）2n＝（ ）2n+1 ．
n n+1 2 2 2
π π
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据圆的面积公式表示出 S 、S 的面积的表
n n+1
达式．
9．（2025•云南模拟）按一定规律排列的代数式：ab2，√2ab4，√3ab6，2ab8，√5ab10，…，第n个代
数式为（ ）
A．√nab2(n+1) B．√nab2n
C．√n+1ab2n D．√n-1ab2n
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】通过观察排列的单项式可以看出，其系数都是连续奇数的算术平方根；字母指数都是连续的
偶数，根据此规律可以得出第n个代数式．
【解答】解：通过观察排列的单项式可以看出：第n个代数式为√nab2n．
故选：B．
【点评】本题考查了根据单项式排列的规律，求未知单项式，解题的关键是找出变化规律，然后把这
种变化规律用代数式的序号表示出来．
10．（2025•遵义模拟）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降
低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（ ）
10 9
A．( m-n)元 B．( m-n)元
9 10
C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元
【考点】列代数式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】B
9 9
【分析】根据题意可得打九折后手机的价格为 m元，故再让利n元后，手机的售价为( m-n)元．
10 10
第14页（共29页）9
【解答】解：让利后手机的售价为：( m-n)元．
10
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•南岗区校级模拟）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为 4 0 个．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】40．
【分析】由题意可知第1个图案有小黑点3×1＝3个；第2个图案有小黑点4×（2﹣1）＝4个；第3个
图案有小黑点5×（3﹣1）＝10个；第4个图案有小黑点6×（4﹣1）＝18个；……；第n个图案有小
黑点（n+2）（n﹣1）个（除第一个图案外）；然后问题可求解．
【解答】解：第1个图案有小黑点3个；
第2个图案有小黑点4个；
第3个图案有小黑点10个；
第4个图案有小黑点18个；
……；
∴第n个图案有小黑点（n+2）（n﹣1）个（除第一个图案外）；
∴第6个图案中的小黑点个数为（6+2）×（6﹣1）＝40（个）；
故答案为：40．
【点评】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找出图形的一般规律．
12．（2025•碑林区校级三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化
合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷CH 如图①有4个氢原
4
子，第2种乙烷C H 如图②有6个氢原子，第3种丙烷C H 如图③有8个氢原子，…，按照这一规
2 6 3 8
律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 1 8 ．
第15页（共29页）【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】18．
【分析】根据所给图形，依次求出化合物分子结构模型中的氢原子个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个．
当n＝8时，
2n+2＝2×8+2＝18（个），
即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为18个．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．
13．（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为
n
0，则m= ；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次
3
“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根
据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由
8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次
变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 2 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 1 1 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；推理能力．
第16页（共29页）【答案】（1）2；
（2）11．
【分析】（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得
第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
1
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或 或0，再验证这三个数是否可经过
2
变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出 n的三个值，再同
理可验证符合题意的n，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵15÷3＝5…0，
15
∴15进行一次变换后得到的数为 =5；
3
∵5÷3＝1…2，
∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6；
∵6÷3＝2…0，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝
3，此时符合题意；
1
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为 ，此时不符
2
合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此
时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意；
3
当n除以3的余数为1时，则n= ，不符合题意；
2
当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
第17页（共29页）14．（2025•湖北模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的正六边形组成，第1个图案中有
5个正六边形，第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形……按此规律，第60个
图案中正六边形的个数为 18 2 个．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】182．
【分析】根据所给图形，依次求出图形中正六边形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中正六边形的个数为5＝1×3+2，
第2个图案中正六边形的个数为8＝2×3+2，
第3个图案中正六边形的个数为11＝3×3+2，
…，
所以第n个图案中正六边形的个数为（3n+2）个．
当n＝60时，
3n+2＝3×60+2＝182（个），
即第60个图案中正六边形的个数为182个．
故答案为：182．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正六边形的个数依次增加3是解题的
关键．
15．（2025•南关区校级二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第 n个图案需要
（ 2 n + 1 ） 根火柴棒．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（2n+1）．
【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
第18页（共29页）【解答】解：由所给图形可知，
第1图案所需火柴棒的根数为：3＝1×2+1；
第2图案所需火柴棒的根数为：5＝2×2+1；
第3图案所需火柴棒的根数为：7＝3×2+1；
…，
所以第n图案所需火柴棒的根数为（2n+1）根．
故答案为：（2n+1）．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加2是解题
的关键．
16．（2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是 5 ．
【考点】代数式求值．
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【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：当x2+2y＝2时，原式＝3（x2+2y）﹣1＝3×2﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
17．（2025•济宁校级三模）现有一列数：a ＝2，a ，a ，a ，•••，a ，a （n为正整数），规定a ＝
1 2 3 4 n﹣1 n 1
1 1 1 1 97
2，a ﹣a ＝4，a ﹣a ＝6，•••，a ﹣a ＝2n（n≥2），若 + + ⋅⋅⋅ = ，则n的值为
2 1 3 2 n n﹣1 a a a a 198
2 3 4 n
98 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】98．
【分析】先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出 a 的通项公式：a ＝n
n n
（n+1），再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出n的值．
【解答】解：∵a ＝2，a ﹣a ＝4，a ﹣a ＝6，•••，a ﹣a ＝2n（n≥2），
1 2 1 3 2 n n﹣1
∴a
1
+a
2
﹣a
1
+a
3
﹣a
2
+⋯+a
n
﹣a
n﹣1
＝2+4+6+⋯+2n，
(2+2n)n
∴a = =n(n+1)，
n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = - = = - = = -
∴ ， ，⋯， ，
a 2×3 2 3 a 3×4 3 4 a n(n+1) n n+1
2 3 n
第19页（共29页）1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴
+ + +⋅⋅⋅+ = - + - + - +⋯+ - = -
，
a a a a 2 3 3 4 4 5 n n+1 2 n+1
2 3 4 n
1 1 97
∴ - = ，
2 n+1 198
1 1
∴ = ，
n+1 99
∴n＝98，
经检验，n＝98是原分式方程的解，
∴n＝98，
故答案为：98．
【点评】本题考查了解分式方程，通过错项相加法得到a ＝n（n+1）是解题的关键．
n
18．（2025•蓬江区校级一模）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所
示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 2 n + 8 cm（用含n的式子表示）．
【考点】列代数式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起
的高度．
【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm，
则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）．
故答案为：2n+8．
【点评】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式．
19．（2025•白河县校级二模）2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋
令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“ ”按照一定规律
拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3
个图案中需要8个基本图形…按此规律拼接下去，第n个图案中需要 （ 2 n + 2 ） 个基本图形．（用
含n的代数式表示）
第20页（共29页）【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】（2n+2）．
【分析】观察图形发现，第n个图案中需要2（n+1）个基本图形，即可得到答案．
【解答】解：观察图形发现：
第1个图案中需要4个基本图形，
第2个图案中需要6个基本图形，
第3个图案中需要8个基本图形，
……，
第n个图案中需要（2n+2）个基本图形，
故答案为：（2n+2）．
【点评】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．
20．（2025•费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边
的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做
第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，
问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 1015 2 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】10152．
【分析】根据题意依次求出每次操作后所产生数串的所有数之和，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为5+12+10＝27，5+7+12+（﹣2）+10＝32，5+2+7+5+12+（﹣14）+（﹣2）+12+10＝37，…，
所以每次操作加5．
则27+2025×5＝10152，
即第2025次操作后所有数之和为10152．
故答案为：10152．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现每次操作加5是解题的关键．
第21页（共29页）三．解答题（共5小题）
21．（2025•镜湖区校级二模）【观察思考】如图所示
【规律发现】
（1）第5个图案中，“▲”的个数为 1 4 ；
1
（2）第n个图案中，“★”的个数可表示为 (n+2)(n+1) ；
2
【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（1）14；
1
(2) (n+2)(n+1)；
2
（3）当n＝2或7时，“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
【分析】（1）根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第5个图案中“▲”的个数即可；
（2）根据图案中“★”的个数的变化规律得到第n个图案中“★”的个数即可；
（3）根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于 n的一元二次方程，解
方程求出n即可．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
第1个图案中“▲”的个数为2＝1×3﹣1，
第2个图案中“▲”的个数为5＝2×3﹣1，
第3个图案中“▲”的个数为8＝3×3﹣1，
…，
所以第n个图案中“▲”的个数为（3n﹣1）个．
当n＝5时，
3n﹣1＝3×5﹣1＝14（个），
即第5个图案中“▲”的个数为14个．
第22页（共29页）故答案为：14；
（2）由所给图形可知，
第1个图案中“★”的个数为3＝1+2，
第2个图案中“★”的个数为6＝1+2+3，
第3个图案中“★”的个数为10＝1+2+3+4，
⋯，
1
所以第n个图案中“★”的个数为1+2+3+⋯+(n+1)= (n+2)(n+1)；
2
1
故答案为： (n+2)(n+1)；
2
（3）设第n个图案中“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4，
1
则2（3n﹣1）= (n+2)(n+1)+4，
2
解得n＝2或7，
所以当n＝2或7时，“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“▲”和“★”个数的变化规律是解
题的关键．
22．（2025•东莞市校级三模）为美化市容，某广场用规格为10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设
计人员画出的一些备选图案如图所示．
【观察思考】
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
【规律总结】
（1）图5灰砖有 2 5 块，白砖有 2 4 块；图n灰砖有 n 2 块，白砖有 （ 4 n + 4 ） 块；
【问题解决】
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（1）25，24，n2，（4n+4）；
第23页（共29页）（2）存在，理由见解析过程．
【分析】（1）根据所给图形，分别求出灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中灰砖的块数为：1＝12，白砖的块数为：8＝1×4+4；
图2中灰砖的块数为：4＝22，白砖的块数为：12＝2×4+4；
图3中灰砖的块数为：9＝32，白砖的块数为：16＝3×4+4；
…，
所以图n中灰砖的块数为n2块，白砖的块数为（4n+4）块．
当n＝5时，
n2＝25（块），4n+4＝24（块），
即图5中灰砖的块数为25块，白砖的块数为24块．
故答案为：25，24，n2，（4n+4）．
（2）存在，理由如下：
由题知，
n2﹣（4n+4）＝56，
解得n＝10或﹣6，
因为n为正整数，
所以n＝10，
所以存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现白砖和灰砖块数的变化规律是解题的
关键．
23．（2025•龙子湖区三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合
数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．
行数系数展开式
n＝11（a+b）0＝1
n＝2 1 1（a+b）1＝a+b
n＝3 1 2 1（a+b）2＝a2+2ab+b
n＝4 1 3 3 1（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
…
呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题：
第24页（共29页）（1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 1 5 ；
(n-1)(n-2)
（2）当n＞3时，在系数中，从左边数第n行第3个数是 （用含n的式子表示）；
2
（3）（a+b）n展开后各项的系数和为 2 n （用含n的式子表示）．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
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【专题】规律型；创新意识．
【答案】（1）15；
(n-1)(n-2)
（2） ；
2
（3）2n．
【分析】（1）利用杨辉三角每行数字左右对称、由1开始先变大后变小、除两端1外每个数等于肩上
两数之和等规律，依次写出前7行数字，从而得出第7行第3个数．
（2）通过列举第4、5、6、7行第3个数的计算过程，发现规律为从1加到n﹣2，进而得出第n行第3
个数的表达式，得出（a+b）n展开式各项系数和的表达式
（3）分别计算（a+b）1，（a+b）2等展开式各项系数和，发现各项系数的规律可得结论；
【解答】解：（1）杨辉三角有这样的规律：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1；
第n行的数字个数为n个；除了每行两端的1，每个数都等于它肩上两数之和．
第1行：1
第2行：1，1
第3行：1，2，1
第4行：1，3，3，1
第5行：1，4，6，4，1
第6行：1，5，10，10，5，1
第7行：1，6，15，20，15，6，1
所以从左边数第7行第3个数是15．
故答案为：15；
（2）第4行第3个数是1+2＝3．
第5行第3个数是1+2+3＝6．
第6行第3个数是1+2+3+4＝10．
第7行第3个数是1+2+3+4+5＝15．
…
第25页（共29页）(n-1)(n-2)
第n行第3个数是 1+2+3+⋯+(n-2)=
2
(n-1)(n-2)
故答案为： ；
2
（3）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各项系数和为2＝21，
第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，1+2+1＝2各项系数和为4＝22，
…
第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n；
故答案为：2n．
【点评】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．
24．（2025•安庆模拟）【观察思考】
1 4
第1个等式：1+ = ；
1+2 3
1 1 6
第2个等式：1+ + = ；
1+2 1+2+3 4
1 1 1 8
第3个等式：1+ + + = ；
1+2 1+2+3 1+2+3+4 5
1 1 1 1 10
第4个等式：1+ + + + = ，⋯
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 6
【规律发现】
1 1 1 1 1 12
（1）写出第5个等式： 1+ + + + + =
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6 7
；
1 1 1
（ 2 ） 写 出 你 猜 想 的 第 n 个 等 式 1+ +⋯+ + =
1+2 1+2+⋯+n 1+2+⋯+n+1
1 1 1 2n+2
1+ +⋯+ + = ；
1+2 1+2+⋯+n 1+2+⋯+n+1 n+2
1 1 1
【规律应用】（3）应用规律计算： + +⋯ （需写出过程）．
1+2+⋯+10 1+2+⋯+11 1+2+⋯+20
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
1 1 1 1 1 12
【答案】（1）1+ + + + + = ；（2）
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6 7
第26页（共29页）2n+2 11
；（3） ，见解析．
n+2 105
【分析】（1）仿照题干即可求解；
（2）仿照题干即可求解；
1 1 1 1
（3）将原式变形为(1+ +⋯+ )-(1+ +⋯+ )，再运用结论求解．
1+2 1+2+⋯+20 1+2 1+2+⋯+9
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 仿 照 题 干 可 知 第 5 个 等 式 ：
1 1 1 1 1 12
1+ + + + + = ；
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6 7
1 1 1 1 1 12
故答案为：1+ + + + + = ；
1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5+6 7
1 1 1 2n+2
（2）根据规律可得：1+ +⋯+ + = ；
1+2 1+2+⋯+n 1+2+⋯+n+1 n+2
1 1 1 2n+2
故答案为：1+ +⋯+ + = ；
1+2 1+2+⋯+n 1+2+⋯+n+1 n+2
（3）由（2）规律可知：
1 1 1
+ +⋯
1+2+⋯+10 1+2+⋯+11 1+2+⋯+20
1 1 1 1
=(1+ +⋯+ )-(1+ +⋯+ )
1+2 1+2+⋯+20 1+2 1+2+⋯+9
2×(19+1) 2×(8+1)
= -
20+1 9+1
40 18
= -
21 10
11
= ．
105
【点评】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化
规律并能灵活运用是解答的关键．
25．（2025•包河区三模）【问题提出】
因式分解：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2⋯+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n
【问题探究】
为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：
①（1+x）+x（1+x）＝（1+x）（1+x）＝（1+x）2
②由①知（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2，继续添加下一项得：
第27页（共29页）（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3
（1）仿照②，把代数式（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3进行因式分解．
【发现规律】
（2）推广到一般形式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2⋯+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n＝ （ 1+ x ） n + 1 ；
【问题解决】
32026-1
（3）化简：a+a（1+2）+a（1+2）2+a（1+2）3+⋯+a（1+2）2025＝ a ．
2
【考点】规律型：数字的变化类；同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
等．
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【专题】猜想归纳；整式；运算能力．
【答案】（1）（1+x）4；
（2）（1+x）n+1；
32026-1
（3） a．
2
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）根据已知等式总结规律即可；
（3）根据总结的规律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（1+x）（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）2+x（1+x）2+x（1+x）3
＝（1+x）3+x（1+x）3
＝（1+x）（1+x）3
＝（1+x）4；
（2）由已知等式可得原式＝（1+x）n+1，
故答案为：（1+x）n+1；
（3）原式＝a[1+（1+2）+（1+2）2+（1+2）3+⋯+（1+2）2025]
1
= a[2+2（1+2）+2（1+2）2+2（1+2）3+⋯+2（1+2）2025]
2
1
= a[（1+2）+2（1+2）+2（1+2）2+2（1+2）3+⋯+2（1+2）2025﹣1]
2
(1+2) 2026-1
= a
2
32026-1
= a，
2
第28页（共29页）32026-1
故答案为： a．
2
【点评】本题考查数式规律问题，同底数幂乘法，因式分解，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
第29页（共29页）
