文档内容
专题 24.8 弧长和扇形的面积
目 录
一.知识梳理与题型分类精析....................................................................................................1
知识点（一）弧长公式.........................................................................................................................1
【题型1】利用弧长公式进行计算.......................................................................................................1
知识点（二）扇形面积公式（1）.......................................................................................................2
【题型2】利用扇形面积公式进行计算...............................................................................................2
知识点（三）扇形面积公式（2）.......................................................................................................3
【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系...........................................................................................3
知识点（四）不规则图形面积.............................................................................................................3
【题型4】求弓形面积..........................................................................................................................4
【题型5】求不规则图形面积..............................................................................................................5
知识点（五）圆锥相关定义.................................................................................................................5
知识点（六）圆锥的侧面积.................................................................................................................6
【题型6】求圆锥侧面积......................................................................................................................6
【题型7】利用圆锥侧面积公式求值...................................................................................................7
【题型8】圆锥侧面最值问题..............................................................................................................8
二. 同步练习...................................................................................................................................9
【基础巩固（16题）】........................................................................................................................9
【能力提升（16题）】......................................................................................................................12
一.知识梳理与题型分类精析
知识点（一）弧长公式
在半径为 的圆中，弧长 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型1】利用弧长公式进行计算
【例题 1】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是 的直径，点M，N均在 上，，弦 ．
（1）求直径 的长；
（2）求劣弧 的长．
【变式1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD
的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两
端点A与点B关于直线L对称，直线 于点O，O为 中点，测得直径 为 ，
，则提梁 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板 的斜边 重
合，其中 ，量角器 刻度线的端点 与点 重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以
每秒 度的速度旋转， 与量角器的半圆弧交于点 ，第 秒时，点 在量角器上对应划过的
的长度是 ．（结果保留 ）知识点（二）扇形面积公式（1）
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型2】利用扇形面积公式进行计算
【例题2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中，圆心角 ， ．
（1）求 的半径；
（2）求阴影部分拱形面积．（保留 ）
【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，现有一块直径为10 的圆形玉料，要用
其刻出一个圆周角为 的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24六年级上·上海·阶段练习）扇形的弧长为 厘米，圆心角为 ，则扇形的面
积为 平方厘米．
知识点（三）扇形面积公式（2）
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型3】扇形面积公式和弧长公式关系【例题3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）一个扇形的弧长是 ，面积是
，求扇形圆心角的度数．
【变式1】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）一个扇形的弧长为 ，面积是 ，求
扇形的半径和圆心角的度数．
【变式2】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则这个扇
形的面积是多少？
知识点（四）不规则图形面积
解题思路：不规则图形面积转化为规则图形面积。方法：通过割补法、平移转化法
求面积
【题型4】求弓形面积
【例题3】（2024九年级·全国·专题练习）家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐
桌两边 和 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出 米， 米，则阴影部分的
面积为（ ）
A． 平方米 B． 平方米
C． 平方米 D． 平方米
【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图是 的小正方形网格，小正方形的边长为2，
点A、B、C都是格点，连接 ，小明在网格中画出以 为直径的半圆，圆心为点O，点C在半
圆上，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024·安徽蚌埠·三模）如图， 是 的直径，将弦 绕点 顺时针旋转 得到
，此时点 的对应点 落在 上，延长 ，交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
【题型5】求不规则图形面积
【例题5】（2025·山东滨州·模拟预测）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排
污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为1
米，则淤泥横截面的面积是 ．
【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在 中， ，以点
为圆心、 为半径画弧交 ． 于点 ，连接 ，若 ，则图中弧 的长为 ，
阴影部分的面积是 ．【变式2】（23-24九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以 为直径的半圆上的两点，
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
知识点（五）圆锥相关定义
母线：连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线，如图1，线段 是
圆锥的母线。
知识点（六）圆锥的侧面积
设圆锥的母线长为 ，圆锥的底面圆半径为【题型6】求圆锥侧面积
【例题6】（23-24九年级上·河北·期末）用硬纸片制作一个有底面的圆锥，已知圆锥的底面半径为
，母线长为 ．
（1）求出圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数，
（2）求出圆锥的表面积（结果保留 ）．
【变式1】（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常
可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是 ，母线长 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）“草帽当锅盖”是云南十八怪中之一，当地人制
作的草帽锅盖呈圆锥形，一个草帽锅盖的母线长为 ，底面圆的半径为 ，这个草帽锅盖的
侧面积为 ．
【题型7】利用圆锥侧面积公式求值
【例题7】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 ．
（1）侧面展开图的圆心角度数是 ．
（2）如图①，B为母线 的中点，点A在底面圆周上， 的长为 ，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）．
【变式1】（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为 ，
圆心角为 的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆
锥形生日帽的底面圆的周长是（ ） ．
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，
已知圆锥的母线长为 ，扇形的弧长是 ，那么这个圆锥的高是 ．
【题型8】圆锥侧面最值问题
【例题8】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半
径是2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中 的度数；
（2）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的
最短长度．【变式1】（23-24九年级下·湖北鄂州·月考）如图圆锥的横截面 ， ，
，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线 去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A． B． C．3 D．
【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，圆锥底面圆直径 长是 ，母线 长
是 ，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到 的中点D，最短路径长是 ．
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为 的 中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为 的 中，劣弧 的长为 ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·云南·阶段练习）用一个圆心角为 ，半径为 的扇形做一个圆锥的侧面，
则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给
出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积 （弦 矢 矢 ）．弧田（如图所示）由圆弧和其所
对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦 ，“矢”指半径长与圆心O到弦 的距离（d）之
差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（ ）
A．80 B．100 C．104 D．128
5．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为 ，底面半径为 ，
制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的
扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25九年级下·重庆·开学考试）一个扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则扇形半径是
．
8．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针针尖扫
过的面积是 平方厘米．
9．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知 的半径为2， ，则图中阴影部
分的面积为 ．
10．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形 的边长为4，以顶点A为圆心，
的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ．
11．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆锥母线长 厘米，若底面圆的半径 厘米，则
侧面展开扇形图的圆心角为 ．
12．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）如图，扇形 的圆心角是90度，半径是 是弧
的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（ 取3.14）三、解答题
13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知 是 的直径，过点 的弦 平行于
半径 ，若 ．
（1）求 的度数；
（2） 的长度为__________．
14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图， 是 的直径，弦 于点E，连结
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是
2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中 的度数；
（2）如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的
最短长度．16．（2022九年级下·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方
田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积 （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦
所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式
计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角 为 ，弦长 的弧
田．
（1）计算弧田的实际面积．
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平
方米?（取 近似值为3， 近似值为1.7）
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（2025·福建厦门·二模）如图， 切 于点 ，弦 ，若 ，劣弧 的
弧长为 ，则线段 的长为（ ）A． B． C． D．
2．（2015·浙江杭州·一模）如图，在 中， ， ， ，点A，B在
直线l上．将 沿直线l向右作无滑动翻滚，则 翻滚一周时点A经过的路线长是
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，已知 ， ， ，半径为 的
从点A出发，沿 方向滚动到点 时停止．则在此运动过程中， 扫过的面积是（
）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，正六边形 的边长为3，分别以点A，D为圆
心，以 的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）．A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点C为扇形 的半径 上一点，将 沿 折
叠，点O恰好落在 上的点D处，且 ，若将此扇形 围成一个圆锥，则圆锥的底
面半径与母线长的比为（ ）
A． B． C． D．
6．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面
直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝ ．现有一只蚂蚁，沿圆
锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
二、填空题
7．（2025九年级上·北京·专题练习）如图， 的顶点 在半径为9的 上， ，边
， 分别与 交于D，E两点，则劣弧 的长度为 ．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为 的圆中，长为 的弧所对的圆周角的度数为
．9．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形 中, ，点O是对角线 的中点，
以点O为圆心, 长为半径作圆心角为 的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分的
面积为 ．
10．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知 是 的直径，C，D是 上的点， 且
与 交于点E，连接 ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
11．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为
其主视图，其中 ， ，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ．
12．（24-25九年级上·全国·期末）在数学实践活动中，某同学用一个扇形纸片制作了一个圆锥形纸
帽，若扇形的圆心角为 ，半径为8，则圆锥的高为 ．
13．（24-25九年级上·广东湛江·期末）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为 ，相当于
排开 的水．若已知圆锥体体积可近似看成 ，那么当这些水恰好充满高为 的圆
锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为 ．（ 取3）
三、解答题
14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在 中，已知弦 ， 相交于点E，连接 ，
．（1）求证： ．
（2）若 ， 的半径为4，求 的长．
15．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图， 是 的外接圆，半径为 ，连接 ，
， ，
（1）过点 作 ，交 于点 ，若 ，求 的长；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
16．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，扇形 是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线
，底面圆的半径 ．
（1）当 时，求 的度数；
（2）当 时，分别求 的度数；（直接写出结果）
（3）当 （n为大于1的整数）时，猜想 的度数（直接写出结果）．
17．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ，O是 上一点，以 为
半径的 与 相切，切点为D，连接 ， 与 相交于点E．
（1）求证： 是 的角平分线；
（2）若 ， ．①求 的半径；
②设 与 边的另一个交点为E，求线段 、 与劣弧 所围成的阴影部分的图形面积．
（结果保留根号和π）
