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2026 年中考数学模拟猜题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、
能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端
装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． 中国中铁 B． 中国铁建
C． 中国交建 D． 中国中车
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转
180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列
说法正确的是（ ）
1
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
6
C．出现点数为奇数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【分析】根据概率计算公式，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断各选项即可．
【详解】解：掷质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果，而点数为6的结果只有1种，
1
∴出现点数为6的概率为 ，A选项正确，符合题意；
6
∵骰子的点数为1到6，不存在点数0，
∴出现点数为0是不可能事件，B选项错误；
∵向上一面的点数可能为奇数，也可能为偶数，∴出现点数为奇数是随机事件，既不是必然事件，也不是不可能事件，因此C、D选项错误；
3．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的主视图为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】主视图是从物体正面观察得到的平面图形．观察正面结构，要呈现正面看到的轮廓与内部可见的
棱线，所以需区分可见的实线和不可见的虚线（若有）．
【详解】解：从该立体图形的正面看，得到主视图为
4．央行官网发布公告称，为保持银行体系流动性充裕，2026年3月16日，中国人民银行将以固定数量、
利率招标、多重价位招标方式开展5000亿元买断式逆回购操作．其中5000亿用科学记数法表示为（ ）
A．5×103 B．0.5×104 C．5×1011 D．0.5×1012
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为𝑎×10𝑛
的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，确定𝑎和𝑛的值即可得到
答案.
【详解】解：5000亿=500000000000=5×1011
.
5．下列运算正确的是（ ）
A．𝑏3 +𝑏2 =𝑏5 B．(−2𝑏2)3 =−6𝑎6
C．(𝑥−𝑦)2 =𝑥2 +𝑦2 D．(−𝑏)3 ÷(−𝑏2)=𝑏
【答案】D
【分析】先根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式以及同底数幂的除法的运算法则分别对选项进行分
析，即可得到答案．
【详解】A项：由于𝑏3 和𝑏2
不是同类项，所以不能合并，故A项错误；
B项：(−2𝑏2)3 =−8𝑏6 ≠−6𝑎6 ，故B项错误；
C项：(𝑥−𝑦)2 =𝑥2 −2𝑥𝑦+𝑦2 ≠𝑥2 +𝑦2 ，故C项错误；
D项：(−𝑏)3 ÷(−𝑏2)=(−𝑏3)÷(−𝑏2)=𝑏3−2 =𝑏，故D项正确．
6．新课标 跨学科试题 我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜𝑂𝐻（点H在y轴
上），从点𝐴(4,0)处发射的光线照射到平面镜的点B处时，反射光线为𝐵𝐶，如图所示．若𝐵𝐶恰好经过点
(6,4)，则点B的坐标为（ ）
6 8 11
A． 0, B． 0, C．(0,2) D． 0,
5 5 5
【答案】B
【分析】设𝐵𝐶恰好经过点𝐷(6,4)，光线𝐵𝐷所在直线的表达式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛，则𝐵(0,𝑛)，法线为直线
𝑦=𝑛，则𝐴(4,0)关于𝑦=𝑛的对称点(4,2𝑛)在直线𝐵𝐷上，再由待定系数法求解直线𝐵𝐷表达式，即可求解点
B坐标．
【详解】解：设𝐵𝐶恰好经过点𝐷(6,4)，光线𝐵𝐷所在直线的表达式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛，则𝐵(0,𝑛)，法线为直线
𝑦=𝑛，
∴𝐴(4,0)关于𝑦=𝑛的对称点(4,2𝑛)在直线𝐵𝐷上
∴光线𝐵𝐷经过点(4,2𝑛)、𝐷(6,4)，
4𝑚+𝑛=2𝑛
∴ 6𝑚+𝑛=4 ，
2
𝑚=
5
解得 8 ，
𝑛=
5
2 8
∴光线𝐵𝐷所在直线的表达式为𝑦= 𝑥+ ，
5 5
8
∴此时在平面镜𝑂𝐻上入射点𝐵 0, ．
5
7．中国古代四大名楼为“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”，现有分别与这四个楼有关的四首诗，甲从这
四首诗中随机选取两首背诵，恰好选到分别与“黄鹤楼”和“岳阳楼”有关的两首诗的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
12 3 6 3
【答案】C
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳
楼”的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】解：记“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”分别为A，B，C，D，
画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的可能结果有2种可能，
2 1
∴抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的概率是= = ．
12 6
故答案为：C
8．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵=30°，将△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点A逆时针旋转到△𝐴𝐵′𝐶′ 的位置，且𝐶𝐶′
∥
𝐴𝐵，则旋转角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．110° D．130°
【答案】B
【分析】先根据旋转的性质得𝐴𝐶=𝐴𝐶′ ,∠𝐶𝐴𝐶′ 为旋转角，再利用平行线的性质得∠𝐴𝐶𝐶′ =∠𝐶𝐴𝐵=30°，
再根据等腰三角形的性质得∠𝐴𝐶′ 𝐶=∠𝐴𝐶𝐶′ =30°，然后根据三角形的内角和计算出∠𝐶𝐴𝐶′ 的度数，从而
得到旋转角的度数．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点𝐴逆时针旋转到△𝐴𝐵′𝐶′
的位置，
∴𝐴𝐶=𝐴𝐶′ ,∠𝐶𝐴𝐶′ 是旋转角，
∵𝐶𝐶′ ∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐶′ =∠𝐶𝐴𝐵=30°，
∵𝐴𝐶=𝐴𝐶′
，
∴∠𝐴𝐶′ 𝐶=∠𝐴𝐶𝐶′ =30°，
∴∠𝐶𝐴𝐶′ =180°−30°−30°=120°，
∴旋转角的度数为120°．
⏜
9．如图，点𝐴,𝐵, 𝐶均在⊙𝑂上，若∠𝐴𝐵𝐶=110°，𝑂𝐴=3 cm，则𝐴𝐶的长是（ ）
7π 5π
A．2π cm B．3π cm C． cm D． cm
3 3【答案】C
⏜
【分析】根据∠𝐴𝐵𝐶=110°求得𝐴𝐶所对的圆心角度数，即可利用弧长公式求解．
【详解】解：∵ ∠𝐴𝐵𝐶=110°，
⏜
∴𝐴𝐷𝐶所对的圆心角为2∠𝐴𝐵𝐶=2×110°=220°，
∴∠𝐴𝑂𝐶=360°−220°=140°，
⏜ 140𝜋×3 7𝜋
∴𝐴𝐶的长为 = (cm)．
180 3
9．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=15cm，𝐴𝐵=25cm．点D从点A出发沿折线A−C−B运动到点B停止，速
度为1cm/s．过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E．设点D运动的时间为𝑥s，△𝐵𝐷𝐸的面积为𝑦cm2
，若y关于x
的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠𝐶=90° B．𝑎=76 C．𝑏=24 D．y的最大值为90
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形，三角形相似， 平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键
是对函数图象是熟练掌握.
根据勾股定理的逆定理解题，再分别求出0≤𝑥≤15和 15<𝑥≤35时的𝑃𝐷，𝐴𝐷的长，再用三角形的面积
公式写出𝑦与𝑥的函数解析式即可.
【详解】解：由题可知𝐵𝐶=35−15=20，
∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 =152 +202 =252 =𝐴𝐵2 ，
∴∠𝐶=90°，故A正确，不符合题意；
当0≤𝑥≤15时，点𝑃在𝐴𝐶边上，如图所示，此时𝐴𝐷=𝑥,
∵𝐸𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐸𝐴=90°=∠𝐶，
∵∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐷，
∴△𝐶𝐴𝐵∽△𝐸𝐴𝐷，
𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸
∴ = = ，
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐶⋅𝐴𝐷 3𝑥 𝐵𝐶⋅𝐴𝐷 4𝑥 3𝑥
∴𝐴𝐸= = ，𝐷𝐸= = ，𝐵𝐸=25− ，
𝐴𝐵 5 𝐴𝐵 5 5
1 1 3𝑥 4𝑥 6𝑥2
∴𝑦= 𝐵𝐸⋅𝐷𝐸= × 25− × =10𝑥− ，
2 2 5 5 25
当𝑥=10时, 𝑦=76，
∴𝑎=76，故B正确，不符合题意；
②当 15<𝑥≤35时，点𝐷在𝐵𝐶边上，如图所示，
此时𝐵𝐷=35−𝑥,
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐷𝐸𝐵=90°=∠𝐶，
∵∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶，
∴△𝐷𝐵𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，
𝐷𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐸
∴ = = ，
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
𝐵𝐷⋅𝐵𝐶 (35−𝑥)×20 4𝑥 𝐵𝐷⋅𝐴𝐶 (35−𝑥)×15 3𝑥
∴𝐵𝐸= = =28− ，𝐷𝐸= = =21− ,
𝐴𝐵 25 5 𝐴𝐵 25 5
1 1 4𝑥 3𝑥 2𝑥 3𝑥
∴𝑦= 𝐷𝐸⋅𝐵𝐸= × 28− ×(21− = 14− 21− ，
2 2 5 5 5 5
当𝑥=25时, 𝑦=24,
∴𝑏=24，故C正确，不符合题意；
6𝑥2
由图象可知当𝑥=15时，面积最大，即𝑦=10𝑥− =150−54=96，故D错误，符合题意；
25
故选: D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有0.002升的误差．现抽查6盒牛
奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中
净含量最接近规定的盒装牛奶编号是____．
1 2 3 4 5 6
+0.0017 −0.0022 +0.0026 −0.0018 +0.0013 +0.0010
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较各编号误差的绝对值，绝对值最小的最接近规
定净含量．
【详解】解：|+0.0017|=0.0017，|−0.0022|=0.0022，|+0.0026|=0.0026，|−0.0018|=0.0018，
|+0.0013|=0.0013，|+0.0010|=0.0010，
∵0.0010<0.0013<0.0017<0.0018<0.0022<0.0026，
∴净含量最接近规定的盒装牛奶编号是6，
故答案为：6．
𝑘
12．已知点𝐴(𝑥
1
,𝑦
1
),𝐵(𝑥
2
,𝑦
2
)是反比例函数𝑦=
𝑥
图象上两点，且当𝑥
2
>𝑥
1
>0时，𝑦
1
>𝑦
2
，则 k的值可
以为_______．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
直接根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：∵当𝑥 >𝑥 >0时，𝑦 >𝑦 ，
2 1 1 2
∴𝑘>0，
∴k的值可以为1
故答案为：1（答案不唯一）
1 2
13．方程 = 的解是：𝑥=_________．
𝑥−3 𝑥−5
【答案】1
【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程
后，代入最简公分母检验，得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母(𝑥−3)(𝑥−5)，得𝑥−5=2(𝑥−3)
去括号，得𝑥−5=2𝑥−6
移项，合并同类项，得−𝑥=−1
系数化为1，得𝑥=1
检验：当𝑥=1时，(𝑥−3)(𝑥−5)=(1−3)×(1−5)=8≠0
因此𝑥=1是原分式方程的解．14．如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物𝐵𝐹的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角
为45°，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为37°和68°，
已知点C、D与建筑物𝐵𝐹均在同一平面内，则建筑物𝐵𝐹的高约为__________米．（参考数据：tan37°≈
3 5
，tan68°≈ ）
4 2
【答案】35
【分析】延长𝐶𝐷，𝐵𝐹相交于点𝐸，设𝐷𝐸=𝑥m，利用锐角三角函数进行求解．
【详解】解：如图，延长𝐶𝐷，𝐵𝐹相交于点𝐸，
∴∠𝐷𝐸𝐹=90°，
设𝐷𝐸=𝑥m，
3
∴𝐸𝐹=𝐷𝐸⋅tan∠𝐸𝐷𝐹≈ 𝑥m，
4
5 5
∴𝐵𝐸=𝐷𝐸⋅tan∠𝐸𝐷𝐵≈𝑥⋅ = 𝑥m
2 2
∵∠𝐶=45°，
∴△𝐵𝐶𝐸为等腰直角三角形，
∴𝐶𝐸=𝐵𝐸，
5
∴30+𝑥= 𝑥，
2
即𝑥=20，
5 3 7 7
∴𝐵𝐹=𝐵𝐸−𝐸𝐹= 𝑥− 𝑥= 𝑥= ×20=35m．
2 4 4 4
15．如图，Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴𝐵𝐶=30°，点D是𝐴𝐵的中点，过点A作𝐴𝐸⊥𝐴𝐵交𝐷𝐶的延长线
于点E，连接𝐵𝐸，若𝐴𝐶=2，则𝐵𝐸=______．【答案】2 7
【分析】先根据点D是直角三角形斜边的中点，可得𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐶𝐷，由此可得△𝐴𝐷𝐶为等边三角形，即
可得∠𝐴𝐷𝐶=60°，再由𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，可得∠𝐴𝐸𝐷=30°，再求解𝐴𝐸的长度，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点D是Rt△𝐴𝐵𝐶斜边的中点，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∵在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴𝐵𝐶=30°，𝐴𝐶=2，
∴∠𝐷𝐴𝐶=60°，
∴△𝐴𝐷𝐶为等边三角形，
∴∠𝐴𝐷𝐶=60°，且𝐴𝐷=𝐴𝐶=2，
∴𝐴𝐵=2𝐴𝐷=4，
∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐵，即∠𝐷𝐴𝐸=90°，
∴∠𝐴𝐸𝐷=30°，
𝐴𝐷 2
在Rt△𝐴𝐸𝐷中，𝐴𝐸= = =2 3，
tan30° 3
3
2
∴在Rt△𝐴𝐸𝐵中，𝐵𝐸= 𝐴𝐵2+𝐴𝐸2 = 42+(2 3) =2 7 ．
16．已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐（a、b、c为常数且𝑎>0）经过𝐴 −2，1 ，𝐵 6，1 两点，有下列五个
结论：①一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐+1=0的根为𝑥
1
=−2，𝑥
2
=6；②若点𝐶 −5，𝑦
1
、𝐷 𝜋，𝑦
2
在该
抛物线上，则𝑦
1
>𝑦
2
；③对于任意实数t，总有𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≥4𝑎+2𝑏；④对于a的每一个确定值(𝑎>0)，
若一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑝（p为常数）有根，则𝑝≥1−16𝑎． ⑤若记曲线𝐶:𝑦=𝑎|𝑥|2 +𝑏|𝑥|+𝑐，
则曲线𝐶是一个封闭图形． 其中正确的结论有 __________．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数
的图象的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据二次函数的性质与一元二次方程的关系可知方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐−1=0的根为𝑥
1
=−2，𝑥
2
=6，即可判
断①；先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象的性质即可判断②；先求出该函数的最大值，然
后再整理即可判断③；根据二次函数的性质以及根的判别式即可判断④；根据函数图象即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐（a、b、c为常数且𝑎>0）经过𝐴 −2，1 ，𝐵 6，1 两点，，
∴一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐=1，即方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐−1=0的根为𝑥
1
=−2，𝑥
2
=6，故①错误；−2+6
该抛物线的对称轴为直线𝑥=
2
=2，函数图象开口向上，若点𝐶 −5，𝑦
1
、𝐷 𝜋，𝑦
2
在该抛物线上，
则点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，即𝑦
1
>𝑦
2
，故②正确；
当𝑥=2时，函数取得最小值𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐，故对于任意实数t，总有𝑎𝑡2 +𝑏𝑡+𝑐≥4𝑎+2𝑏+𝑐，即对于
任意实数t，总有𝑎𝑡2 +𝑏𝑡≥4𝑎+2𝑏，故③正确；
∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐（a、b、c为常数且𝑎>0）经过𝐴 −2，1 ，𝐵 6，1 两点，
4𝑎−2𝑏+𝑐=1①
∴ 36𝑎+6𝑎+𝑐=1②，
②﹣①得，32𝑎+8𝑏=0，即𝑏=−4𝑎，
①×3+②得，48𝑎+4𝑐=4，即𝑐=1−12𝑎，
若一元二次方程𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐=𝑝（p为常数）有根，
∴𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐−𝑝=0有实数根，
4𝑎𝑐−𝑏2
∴Δ=𝑏2 −4𝑎(𝑐−𝑝)≥0，解得： 𝑝≥ ，
4𝑎
∴𝑝≥1−16𝑎，故④正确；
曲线𝐶是一个关于y轴对称的轴对称图形，不是封闭图形，故⑤错误．
综上，正确的有②③④．
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2(𝑥+5)>4−𝑥
17．（本小题满分8分）求不等式组 5𝑥−1
≤
𝑥+5 的解集，并写出所有的整数解．
2 3
【答案】不等式解集为−2<𝑥≤1，整数解为：−1，0，1．
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解
集，然后找出其中的整数解即可．
2(𝑥+5)>4−𝑥①
【详解】解： 5𝑥−1 𝑥+5
≤ ②
2 3
由①得𝑥>−2，
由②得𝑥≤1，
∴不等式解集为−2<𝑥≤1，
∴整数解为：−1，0，1．
18．（本小题满分8分）如图，已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷．
(1)若E，F是𝐵𝐷上两点，且𝐵𝐸=𝐷𝐹，求证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹；(2)若𝐴𝐸⊥𝐴𝐹，求证：四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是熟练
掌握平行四边形的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质得出𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，根据平行线的性质得出∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，再根据SAS
证明三角形全等即可；
（2）先证明四边形𝐴𝐸𝐶𝐹为平行四边形，再证明四边形𝐴𝐸𝐶𝐹为矩形即可．
【详解】（1）证明：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，
∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，
𝐴𝐵=𝐶𝐷
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中 ∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐶，
𝐵𝐸=𝐷𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(SAS) ；
（2）证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，
∴𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷，
又∵𝐵𝐸=𝐷𝐹，
∴𝑂𝐸=𝑂𝐹，
∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形，
又∵𝐴𝐸⊥𝐴𝐹，
∴∠𝐹𝐴𝐸=90°，
∴平行四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是矩形．
19．（本小题满分8分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随
机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：𝐴组（60≤𝑥<70）、𝐵组（70≤𝑥<80）、C组
（80≤𝑥<90）、𝐷组（90≤𝑥<100），并绘制出如图不完整的统计图．
(1)被抽取的学生一共有___________人；并把条形统计图补完整；所抽取学生成绩的中位数落在
___________组内；
(2)若该学校有1200名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？(3)根据以上调查数据，简要谈谈你关于该校学生“交通法规”掌握情况的看法，并结合自己的实际，对同学
们提一条遵守“交通法规”的建议（字数不超过30个字）．
【答案】(1)90，C，补全图形见解答
(2)320名
(3)答案不唯一，合理即可
【分析】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图
得到进一步解题的有关信息．
（1）由𝐵组人数及其所占百分比求出总人数，根据四个等级人数和等于总人数求出𝐶组人数，即可补全图
形，再根据中位数的定义求解即可；
（2）总人数乘以样本中𝐷组人数所占比例即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【详解】（1）解：被抽取的学生一共有18÷20%=90（人），
𝐶组人数为90−(6+18+24)=42（人），
补全图形如下：
90个数据，中位数是第45和第46个数的平均数，6+18=24,6+18+42=66，
第45和第46个数都在𝐶组，
故所抽取学生成绩的中位数落在𝐶组，
故答案为：90， C；
24
（2）解：1200× =320（名），
90
答：估计这次竞赛成绩在𝐷组的学生有 320 名；
18+6
（3）解：由以上数据知，80分以下人数所占百分比约 ×100%≈26.7%，仍有不少学生交通知识掌握
90
不足，建议过马路时集中观察信号灯与车流，走斑马线不追逐．
20．（本小题满分8分）如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，点𝐸是直径𝐴𝐷延长线上一点，∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐸．(1)求证：𝐵𝐸是⊙𝑂的切线；
(2)若∠𝐶=2∠𝐸，𝐴𝐵=2 3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
2𝜋
(2)图中阴影部分的面积为2 3− ．
3
1 1
【分析】（1） 连接𝑂𝐵，结合𝑂𝐵=𝑂𝐷推得∠𝑂𝐵𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐷=90°，再结合∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝑂𝐷，
2 2
∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐸，即可证∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐵𝐷+∠𝐸𝐵𝐷=90°；
（2）结合圆周角定理得∠𝐶=∠𝑂𝐷𝐵，再结合外角性质推得∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸=30°，∠𝐵𝑂𝐷=60°，
由等角对等边得𝐵𝐸=𝐴𝐵=2 3，利用解直角三角形的计算求出𝑂𝐵，最后由𝑆 =𝑆 −𝑆 即可
阴影 △𝑂𝐵𝐸 扇形𝑂𝐵𝐷
得解．
【详解】（1）证明：连接𝑂𝐵，
∵𝑂𝐵=𝑂𝐷，
∴∠𝑂𝐵𝐷=∠𝑂𝐷𝐵，
∵∠𝑂𝐵𝐷+∠𝑂𝐷𝐵+∠𝐵𝑂𝐷=180°，
1
∴∠𝑂𝐵𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐷=90°，
2
1
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝑂𝐷，∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐸，
2
∴∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐵𝐷+∠𝐸𝐵𝐷=90°，
∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐸，
∵𝑂𝐵是⊙𝑂的半径，
∴𝐵𝐸是⊙𝑂的切线；
⏜ ⏜
（2）解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐵，
∴∠𝐶=∠𝑂𝐷𝐵，
∵∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐸𝐵𝐷+∠𝐸，∠𝐶=2∠𝐸，
∴2∠𝐸=∠𝐸𝐵𝐷+∠𝐸，即∠𝐸=∠𝐸𝐵𝐷，
∴∠𝑂𝐷𝐵=2∠𝐸𝐵𝐷=2∠𝐸，
∵∠𝑂𝐵𝐷=∠𝑂𝐷𝐵，∠𝑂𝐵𝐷+∠𝐸𝐵𝐷=90°，
∴2∠𝐸𝐵𝐷+∠𝐸𝐵𝐷=90°，
∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸=30°，∠𝑂𝐵𝐷=∠𝑂𝐷𝐵=60°，
∴∠𝐵𝑂𝐷=60°，
∵∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐸，∴∠𝐸=∠𝐵𝐴𝐸，
∴𝐵𝐸=𝐴𝐵=2 3，
3
∴𝑂𝐵=𝐵𝐸·tan∠𝐸=2 3× =2，
3
1 60𝜋×22 2π
∴𝑆 =𝑆 −𝑆 = ×2×2 3− =2 3− ．
阴影 △𝑂𝐵𝐸 扇形𝑂𝐵𝐷 2 360 3
21．（本小题满分8分）如图是由小正方形组成的7×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，
C，D都是格点，E为𝐴𝐷与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
1
(1)如图1，先将线段𝐴𝐸绕点A顺时针旋转90°到𝐴𝐹，再在𝐴𝐵上画点G，使tan∠𝐴𝐸𝐺= ；
3
(2)如图2，先在𝐴𝐵上画一点H，使𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，再在𝐴𝐵上画点P，使𝐶𝑃=𝐵𝐶．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查的是格点作图题、图形的旋转作图及三角函数计算、三角形中位线定理应用，
（1）在𝐴𝐹上取点H，使𝐴𝐹=3𝐴𝐻，连接𝐸𝐻并延长，交𝐴𝐵于点G，则点G即为所求；
（2）在𝐵𝐶的延长线上取点Q，使𝐵𝐶=𝐶𝑄，过点Q作𝐴𝐵的垂线，交𝐴𝐵于点P，则𝐶𝐻∥𝑃𝑄，可得𝐶𝐻为
△𝐵𝑃𝑄的中位线，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，线段𝐴𝐹即为所求．
在𝐴𝐹上取点H，使𝐴𝐹=3𝐴𝐻，连接𝐸𝐻并延长，交𝐴𝐵于点G，
则𝐴𝐻:𝐴𝐸=𝐴𝐻：𝐴𝐹=1:3，
1
即tan∠𝐴𝐸𝐻=tan∠𝐴𝐸𝐺= ，
3
则点G即为所求．（2）如图2，𝐶𝐻即为所求．
在𝐵𝐶的延长线上取点Q，使𝐵𝐶=𝐶𝑄，过点Q作𝐴𝐵的垂线，交𝐴𝐵于点P，
则𝐶𝐻∥𝑃𝑄，
𝐵𝐶 𝐵𝐻
∴ = =1
𝐶𝑄 𝑃𝐻
则𝐶𝐻为△𝐵𝑃𝑄的中位线，
∴𝐶𝐻垂直平分𝐵𝑃，
∴𝐶𝑃=𝐵𝐶，
则点P即为所求．
22．（本小题满分10分）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻
破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，墙
宽𝐵𝐶为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，
建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线𝑦=𝑎(𝑥−20)2 +𝑘．
(1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米．
①求函数解析式（不写x的范围）；
②石块能否飞越防御墙？请说明理由．
(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部𝐵𝐶上（包括点B，C），直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①𝑦=− 1 (𝑥−20)2 +10；②石块能飞跃防御墙，理由见解析
40
1 1
(2)− ≤𝑎≤−
50 56
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键；
（1）①由题意知，函数的最大值为10，即𝑘=10；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式；②确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐
标，则能飞越，否则不能；
（2）分别把B、C两点坐标代入函数式中，求得a的值，即可确定a的范围；
【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米，且𝑦=𝑎(𝑥−20)2 +𝑘，
∴函数的最大值为10，即𝑘=10；
∵抛物线经过原点，
∴𝑎(0−20)2 +10=0，
1
解得：𝑎=− ，
40
∴𝑦=− 1 (𝑥−20)2 +10；
40
②石块能飞跃防御墙；
理由如下：由题意知，点B的坐标为(28,6)；
由于防御墙的竖直截面为矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，墙宽𝐵𝐶为2米，则𝐶(30,6)；
对于𝑦=− 1 (𝑥−20)2 +10，当𝑥=30时，𝑦=− 1 (30−20)2 +10=7.5>6，
40 40
∴石块能飞跃防御墙；
（2）解：由于抛物线过原点，则0=𝑎(0−20)2 +𝑘，
即𝑘=−400𝑎；
∴𝑦=𝑎(𝑥−20)2 −400𝑎，
1
当抛物线过点𝐵(28,6)时，6=𝑎(28−20)2 −400𝑎，解得𝑎=− ，
56
1
当抛物线过点𝐶(30,6)时，6=𝑎(30−20)2 −400𝑎，解得𝑎=− ，
50
1 1
∴− ≤𝑎≤− ，
50 56
1 1
故要使石块恰好落在防御墙顶部𝐵𝐶上（包括点B，C），a的取值范围为− ≤𝑎≤− ．
50 56
23．（本小题满分10分）【问题再现】
如图1，𝐴𝐵𝐶𝐷是一个正方形花园，𝐸，𝐹是花园的两个门，若𝐵𝐸⊥𝐴𝐹，那么，要修建的两条小路𝐵𝐸和𝐴𝐹
的长相等吗？为什么？
【拓展探究】𝐴𝐵
上述问题中，若𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形（如图2），且 =𝑘， 当𝐵𝐸⊥𝐴𝐹时， 𝐵𝐸与𝐴𝐹有怎样的数量关系？说明理由．
𝐵𝐶
【结论应用】
如图3，已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3， 𝐴𝐷=2 10， 𝐸为𝐴𝐷上的一点，将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷沿直线𝐵𝐸对折，若
点𝐴的对应𝐴′ 恰好落在𝐵𝐷上，直线𝐴𝐴′
交𝐵𝐶于点𝐹， 求
𝐵𝐸
的值．
𝐴𝐹
𝐵𝐸 10
【答案】（1）𝐵𝐸=𝐴𝐹，理由见解析；（2） =𝑘，理由见解析；（3）
𝐴𝐹 5
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知
识是解题的关键；
（1）根据矩形的性质证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐴𝐹，即可得出结论；
𝐵𝐸
（2）证明△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐴𝐹，即可得出 =𝑘；
𝐴𝐹
（3）由折叠可得：△𝐴′ 𝐵𝐸≌△𝐴𝐵𝐸，证明△𝐴𝐵𝐸∽△𝐵𝐹𝐴得出𝐴𝐷=2 10，在Rt△𝐴𝐵𝐷中，勾股定理求
得𝐵𝐷，即可得𝐴′ 𝐷=4，设𝐴′ 𝐸=𝐴𝐸=𝑥，则𝐷𝐸=2 10−𝑥，在Rt△𝐴′ 𝐷𝐸，勾股定理建立方程，解方
程，即可求解．
【详解】解：（1）𝐵𝐸=𝐴𝐹，理由如下：
∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐹=90°
∴∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐵𝐴𝐹=90°
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐹
∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐹=90°
∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐵𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐴𝐹
∴𝐵𝐸=𝐴𝐹
𝐵𝐸
（2） =𝑘，理由如下：
𝐴𝐹
∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝐹=90°，𝐵𝐶=𝐴𝐷
∴∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐵𝐴𝐹=90°
∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐹
∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐹=90°
∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐵𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐴𝐹
𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐵
∴ = = =𝑘
𝐴𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶
（3）解：由折叠可得：△𝐴′
𝐵𝐸≌△𝐴𝐵𝐸
∴
∠𝐵𝐴′ 𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=90°，𝐴′ 𝐸=𝐴𝐸，𝐴′
𝐵=𝐴𝐵=3
∴
𝐵𝐸⊥𝐴𝐴′
，∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐹=90°
∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形
∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐵𝐹=90°
∴∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐵𝐹𝐴=90°
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐹𝐴
∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐵𝐹𝐴，
𝐵𝐸 𝐴𝐸
∴ =
𝐴𝐹 𝐴𝐵
∵𝐴𝐷=2 10，𝐴𝐵=3，
∴在Rt△𝐴𝐵𝐷中：𝐵𝐷= 𝐴𝐷2+𝐴𝐵2 =7，
∴ 𝐴′𝐷=𝐵𝐷−𝐴′ 𝐵=𝐵𝐷−𝐴𝐵=4，
设𝐴′
𝐸=𝐴𝐸=𝑥，则𝐷𝐸=2 10−𝑥
2
∴在Rt△𝐴′ 𝐷𝐸中：𝐷𝐸2 −𝐴′𝐸2 =𝐴′𝐷2 ，即：(2 10−𝑥) −𝑥2 =42
3 10
解得：𝑥= ，
5
3 10
即：𝐴𝐸= ，
5
𝐵𝐸 𝐴𝐸 10
∴ = =
𝐴𝐹 𝐴𝐵 5
24．（本小题满分12分）如图①，平面直角坐标系中，抛物线𝑦= 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+3(𝑎<0)与𝑥轴分别交于点
𝐴(−3,0)，和点𝐵(1,0)，与𝑦轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______；
(2)如图②，连接𝐴𝐶，若点𝑃在𝐴𝐶上方，作𝑃𝑄∥𝑦轴交𝐴𝐶于点𝑄，把上述抛物线沿射线𝑃𝑄的方向向下平移，
平移的距离为ℎ(ℎ>0)，在平移过程中，该抛物线与直线𝐴𝐶始终有交点，求ℎ的最大值；
(3)若点𝑃在𝐴𝐶上方，设直线𝐴𝑃，𝐵𝑃与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以𝐴,𝐹,𝐵,𝐺（G是点𝐸关
于𝑥轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点𝑃的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；
若变化，请说明理由．
【答案】(1)𝑥=−1，𝑦=−𝑥2
−2𝑥+3
9
(2)
4
(3)不变，这个四边形的面积为16【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即
可；
（2）利用待定系数法求直线𝐴𝐶的解析式，设平移后函数解析式为：𝑦=−(𝑥+1)2 +4−ℎ，建立方程组可
得𝑥2
+3𝑥+ℎ=0，再根据抛物线与直线𝐴𝐶始终有交点，可得Δ=9−4ℎ≥0，再进行计算即可；
（3）分别求出直线𝐴𝑃、𝐵𝑃的解析式，再令𝑥=−1，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得𝐴𝐵、𝐹𝐺的
值，即可求得四边形𝐴𝐹𝐵𝐺的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+3(𝑎<0)与x轴分别交于点𝐴(−3,0)和点𝐵(1,0)，
−3+1
∴抛物线对称轴为： 直线𝑥= =−1，
2
9𝑎−3𝑏+3=0
把点𝐴(−3,0)和点𝐵(1,0)代入𝑦=𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+3(𝑎<0)得： 𝑎+𝑏+3=0 ，
𝑎=−1
解得 𝑏=−2，
∴二次函数解析式为：𝑦=−𝑥2 −2𝑥+3，
故答案为：𝑥=−1，𝑦=−𝑥2 −2𝑥+3；
（2）解：∵抛物线𝑦=−𝑥2 −2𝑥+3=−(𝑥+1)2 +4，
∴𝐶(0,3)，
设直线𝐴𝐶的解析式为；𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，
−3𝑘+𝑏=0
把点𝐴(−3,0)和点𝐶(0,3)代入得： 𝑏=3 ，
𝑘=1
解得： 𝑏=3，
∴直线𝐴𝐶解析式为：𝑦=𝑥+3，
设平移后函数解析式为：𝑦=−(𝑥+1)2 +4−ℎ，
𝑦=−(𝑥+1)2+4−ℎ
建立方程组
𝑦=𝑥+3
整理得：𝑥2
+3𝑥+ℎ=0，
∵抛物线与直线𝐴𝐶始终有交点，
∴Δ=9−4ℎ≥0，
9
∴ℎ≤ ，
4
9
∴h的最大值为 ；
4
（3）解：如图，设𝑃(𝑎,−𝑎2−2𝑎+3)，设直线𝐴𝑃的解析式为：𝑦=𝑘 𝑥+𝑏 (𝑘 ≠0)，
1 1 1
∵𝐴(−3,0)，
𝑎𝑘 +𝑏 =−𝑎2−2𝑎+3 𝑘 =−𝑎+1
1 1 1
∴ −3𝑘 +𝑏 =0 ，解得： 𝑏 =−3𝑎+3，
1 1 1
∴直线𝐴𝑃的解析式为：𝑦=(−𝑎+1)𝑥−3𝑎+3，
当𝑥=−1时，𝑦=(−𝑎+1)×(−1)−3𝑎+3=−2𝑎+2，
∴𝐹(−1,−2𝑎+2)，
设直线𝐵𝑃的解析式为：𝑦=𝑘 𝑥+𝑏 (𝑘 ≠0)，
2 2 2
∵𝐵(1,0)，
𝑎𝑘 +𝑏 =−𝑎2−2𝑎+3 𝑘 =−𝑎−3
2 2 2
∴ 𝑘 +𝑏 =0 ，解得： 𝑏 =𝑎+3 ，
2 2 2
∴直线𝐵𝑃的解析式为：𝑦=(−𝑎−3)𝑥+𝑎+3，
当𝑥=−1时，𝑦=(−𝑎−3)×(−1)+𝑎+3=2𝑎+6，
∴𝐸(−1,2𝑎+6)，
∵G是点E关于x轴的对称点，
∴𝐺(−1,−2𝑎−6)，
∵𝐴𝐵=1−(−3)=4，𝐹𝐺=−2𝑎+2−(−2𝑎−6)=8，
1 1
∴𝑆 = 𝐴𝐵⋅𝐹𝐺= ×4×8=16．
四边形𝐴𝐺𝐵𝐹 2 2
综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关
系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用
参数构建方程是解题的关键．
