文档内容
2026 年中考数学模拟猜题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．﹣2026的绝对值是（ ）
1 1
A．2026 B．﹣2026 C． D．−
2026 2026
【详解】解：﹣2026的绝对值为：|﹣2026|＝2026．
故选：A．
2．函数𝑦= 3𝑥−1中自变量x的取值范围是（ ）
1 1 1
A．x≥2 B．𝑥＞ C．𝑥≥ D．𝑥≠
3 3 3
1
【详解】解：根据3x﹣1≥0，得𝑥≥ ．
3
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x6+x2＝x3 B．x4•x2＝x6
C．（﹣x4）÷（﹣x）2＝x2 D．（x3）2＝x9
【详解】A．x6和x2不是同类项，不能合并，故A错误，不合题意；
B．x4•x2＝x4+2＝x6，故B正确，符合题意；
C．∵（﹣x）2＝x2，
∴（﹣x4）÷x2＝﹣x4﹣2＝﹣x2≠x2，故C错误，不合题意；
D．（x3）2＝x3×2＝x6≠x9，故D错误，不合题意．
故选：B．
4．六位同学心理测试的成绩分别为：80分、85分、90分、90分、95分、100分，则这6位同学的成绩众
数和平均数分别是（ ）
A．90分，90分 B．95分，90分 C．95分，95分 D．90分，85分
【详解】解：∵90分出现的次数最多，
∴这6位同学的成绩众数为90分，
80+85+90+90+95+100
平均数为： =90（分）．
6
故选：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，则AB边的中线长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．81
【详解】解：由条件可知：AB边的中线长为 𝐴𝐵=5．
2
故选：C．
6．如图，在⊙O中，若点A、B、C在圆上，⊙O的半径为3，∠B＝60°，则𝐴𝐶的长为（ ）
A．6π B．4π C．2π D．π
【详解】解：如图，连接OC，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×60°＝120°，
∵直径AB＝6，
1
∴OA= ×6＝3，
2
120𝜋×3
∴𝐴𝐶的长为 =2𝜋．
180
故选：C．
7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
【详解】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不合题意；
B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不合题意；
C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不合题意；
D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
8．《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的
储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日
行xkm，则根据题意可列出的方程是（ ）420 420 420 420
A． = +1 B． +1=
𝑥 𝑥+10 𝑥 𝑥+10
420 420 420 420
C． = +1 D． +1=
𝑥 𝑥−10 𝑥 𝑥−10
420 420
【详解】解：由题意可得： = +1．
𝑥 𝑥+10
故选：A．
𝑘
9．如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数𝑦= (𝑥＜0)的图象上，点D在y轴上，点B，C在x轴上，AB
𝑥
1
与y轴交于点E，连接CE．若BC＝3OB，𝑆 = ，则k的值为（ ）
△𝑂𝐵𝐸
3
A．﹣6 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣12
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，AD∥x轴，
∴△OBE∽△OCD，
𝑆 𝑂𝐵
∴ △𝑂𝐵𝐸 =（ ）2，
𝑆 𝑂𝐶
△𝑂𝐶𝐷
∵BC＝3OB，
4
∴OC＝4OB，OC= BC，
3
𝑆 𝑂𝐵 1
∴ △𝑂𝐵𝐸 =（ ）2= ，
𝑆 𝑂𝐶 16
△𝑂𝐶𝐷
16
∴S ＝16S = ，
△OCD △OBE
3
1 1 4 16
∴ OC•OD= × BC•OD= ，
2 2 3 3
∴BC•OD＝8
∴AD•OD＝8，
𝑘
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
𝑥
∴|k|＝﹣k＝8，
∴k＝﹣8．
故选：C．
10．当|x +y |+|x +y |＝0，且y ≠﹣x 时，称点（x ，y ）与点（x ，y ）为一对“反射点”．若某函数图象上
1 2 2 1 1 1 1 1 2 2
至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（ ）2
A．反比例函数𝑦= 的图象上存在无数对“反射点”
𝑥
B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”
C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积
为8
3
D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数𝑚≤−
4
【详解】解：∵|x +y |+|x +y |＝0，
1 2 2 1
∴x +y ＝0，x +y ＝0，
2 1 1 2
∴x ＝﹣y ，y ＝﹣x ，
2 1 2 1
2
A．∵𝑦= ，
𝑥
2
当点（x ，y ）在反比例函数𝑦= 上时，则x y ＝2，
1 1 1 1
𝑥
∵y ＝﹣x ，x ＝﹣y ，
2 1 2 1
∴x y ＝﹣x •（﹣y ）＝x y ＝2；
2 2 1 1 1 1
∴点（x ，y ）的反射点（x ，y ），必定在反比例函数图象上，
1 1 2 2
2
∴反比例函数𝑦= 的图象上存在无数对“反射点”，故A正确，不合题意；
𝑥
B．对于y＝x2+1，若点（x ，y ），（x ，y ）是反射点，则𝑦 =𝑥2 +1，𝑦 =𝑥2 +1，
1 1 2 2 1 1 2 2
∵y ＝﹣x ，x ＝﹣y ，
2 1 2 1
∴−𝑥 =(−𝑦 )2 +1，
1 1
∴−𝑥 =(−𝑥2−1)2 +1，
1 1
∴𝑥4 +2𝑥2 +𝑥 +2=0，
1 1 1
∵𝑥4
1
+2𝑥
1
2 +𝑥
1
+2=𝑥4
1
+2(𝑥
1
+ 1
4
) 2 + 1
8
5 ＞0，
∴𝑥4 +2𝑥2 +𝑥 +2=0无解，
1 1 1
∴二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”，故B正确，不合题意；
C．∵y＝kx﹣4是“镜像函数”，
∴图象上存在反射点（x ，y ）与（x ，y ），即（x ，y ），（﹣y ，﹣x ）在直线y＝kx﹣4上，
1 1 2 2 1 1 1 1
𝑦 =𝑘𝑥 −4，
1 1
∴ −𝑥 =−𝑘𝑦 −4，
1 1
∴y +x ＝k（x +y ），
1 1 1 1
∵y ≠﹣x ，
1 1
∴y +x ≠0，
1 1
∴k＝1，
∴y＝x﹣4，∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝x﹣4＝0时，x＝4，
∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为（0，﹣4），（4，0），
1
∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为 ×4×4=8，故C正确，不合题意；
2
D．∵二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则图象上存在反射点（x ，y ）与（x ，y ），
1 1 2 2
∴𝑥
1
2 +𝑚≠−𝑥
1
，𝑦
1
=𝑥
1
2 +𝑚，𝑦
2
=𝑥2
2
+𝑚，
∴−𝑥 =𝑥2 +𝑚，−𝑥 =𝑥2 +𝑚，
2 1 1 2
∴𝑥 −𝑥 =𝑥2 −𝑥2 =(𝑥 −𝑥 )(𝑥 +𝑥 )，
2 1 2 1 2 1 2 1
∴x +x ＝1或x ﹣x ＝0，
2 1 2 1
当x ﹣x ＝0时，即x ＝x ，则−𝑥 =𝑥2 +𝑚=𝑦 ；
2 1 2 1 1 1 1
∴x +x ＝1，
2 1
∴x ＝﹣x +1，
2 1
∴𝑥 −1=𝑥2 +𝑚，
1 1
1 2 3 3
∴𝑚=−𝑥2 +𝑥 −1=−(𝑥 − ) − ≤− ，
1 1 1 2 4 4
1 3 1 1
当𝑥 = 时，𝑚=− ，此时𝑥 =1− = =𝑥 ，
1 2 1
2 4 2 2
3
∴𝑚＜− ，故D错误，符合题意．
4
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
16
11． 的平方根是 ．
25
16 16 4
【详解】解： 的平方根是± =± ．
25 25 5
4
故答案为：± ．
5
12．目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长，花旗集团
研究显示，到 2050 年时，全球人形机器人数量预计将激增至 48000000 台，用科学记数法可表示为
台．
【详解】解：48000000台用科学记数法可表示为4.8×107．
故答案为：4.8×107．
13．“对于任何实数a，﹣a＜|a|”是一个 （填“真”或“假”）命题．
【详解】解：当a＝0时，﹣a＝|a|，
∴“对于任何实数a，﹣a＜|a|”是一个假命题．
故答案为：假．
14．一个正多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数是 ．【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理，得（n﹣2）×180°＝1800°，解得：n＝12．
故答案为：12．
15．已知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，5），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上
述条件的函数关系式： ．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）中y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵函数图象经过点（0，5），
∴b＝5，
∴符合条件的函数关系可以是y＝﹣x+5．
故答案为：y＝﹣x+5（答案不唯一）．
16．如图，AB是圆O的直径，点C为左半圆上一点，∠CAB的平分线与圆O交于点D，连接CB交AD于点N，若
𝐷𝑁 1
= 时，则cos∠BAD的值为 ．
𝑁𝐵 5
【详解】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
由题意可得：∠BCD＝∠BAD，
同理：∠D＝∠B，
∴△CDN∽△ABN，
𝐷𝑁 𝐶𝑁 1
∴ = = ，
𝐵𝑁 𝐴𝑁 5
设CN＝x，则𝐴𝑁= 5𝑥，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
2
在Rt△ACN中，𝐴𝐶= 𝐴𝑁2−𝐶𝑁2 = ( 5𝑥) −𝑥2 =2𝑥，
𝐴𝐶 2𝑥 2 5
∴𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐴𝐷=𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐴𝐷= = = ．
𝐴𝑁 5𝑥 5
2 5
故答案为： ．
5
17．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝8，E是AB的中点，F是直线EC上一动点，P为DF的中点，则PE的最小值为 ．
【详解】解：如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝8，取DC中点H，连接AH、EH，交ED于点O，
∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝8，CD∥AB，
∵点E为AB中点，点H为DC中点，
∴AE＝DH＝6，∠AEH＝90°，
∴四边形AEHD为矩形，
∴EH＝AD＝8，
在直角三角形AEH中，由勾股定理得：𝐴𝐻= 𝐴𝐸2+𝐸𝐻2 = 62+82 =10，
∵点O为AH的中点，点F在直线EC上运动，
∴点P在直线OH上运动，
∴当PE⊥AH时，PE最小，
1 1 24
此时𝑆 = 𝐴𝐸⋅𝐸𝐻= 𝐴𝐻⋅𝑃𝐸，即6×8＝10PE，解得：𝑃𝐸= ．
△𝐴𝐸𝐻
2 2 5
24
故答案为： ．
5
18．如图，在一个圆心角为45°的扇形MON（无限大）中，有一矩形ABCD，其中点A、B分别在半径OM、
ON上滑动，已知AB＝2，BC＝1，则当AD落在OM边上时，OC的长为 ；滑动过程中，点C到圆
心O的最大距离是 ．
【详解】解：如图1，当AD落在OM边上时，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2，BC＝1，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝1，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AD落在OM边上，
∴∠OAB＝∠ODC＝90°，
∵∠MON＝45°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴OD＝OA+AD＝3，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC= 𝑂𝐷2+𝐶𝐷2 = 32+22 = 13；
如图2，以AB为底边作等腰直角△EAB，且点E，O在AB的同侧，作△EAB的外接圆，连接EC，过点
E作EF⊥CD于点F，交AB于点H，
则EA＝EB，∠AEB＝90°，AB是△EAB外接圆的直径，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2，BC＝1，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝1，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠EFC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形BCFH是矩形，
∴FH＝BC＝1，∠BHF＝∠EHB＝90°，
1
∴EH＝AH＝BH= AB＝1，
2
∴EF＝EH+FH＝2，CF＝BH＝1，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC= 𝐶𝐹2+𝐸𝐹2 = 12+22 = 5，
在Rt△EBH中，由勾股定理得：EB= 𝐸𝐻2+𝐵𝐻2 = 2，
∴△EAB外接圆的半径为 2，
∴∠AEB＝90°，∠MON＝45°，
∴点O在△EAB的外接圆上，
∴EO＝EB= 2，
根据“两点之间线段最短”得：OC≤EO+OC= 2+ 5，
∴当点O，E，C共线时，OC为最大，最大值是 2+ 5．
∴点C到圆心O的最大距离是 2+ 5．
故答案为： 13； 2+ 5．
三、解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+2＝0；
𝑥−3(𝑥−2)≤4
2𝑥−1 3
（2）解不等式组： ＞𝑥− ．
3 2
【详解】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
𝑥−2=± 2，
解得：𝑥
1
=2− 2，𝑥
2
=2+ 2；
𝑥−3(𝑥−2)≤4①
2𝑥−1 3
（2） ＞𝑥− ②，
3 2
解不等式①，得：x≥1，
7
解不等式②，得：𝑥＜，
2
7
∴不等式组的解集为1≤𝑥＜．
2
2𝑥−3 𝑥−2 𝑥−2
20．（8分）先化简，再求值：（ − ）• ，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的
𝑥−2 𝑥−2 (𝑥−1)2
值．
2𝑥−3 𝑥−2 𝑥−2
【详解】解：（ − ）•
𝑥−2 𝑥−2 (𝑥−1)2
2𝑥−3−(𝑥−2) 𝑥−2
= •
𝑥−2 (𝑥−1)2𝑥−1 𝑥−2
= •
𝑥−2 (𝑥−1)2
1
= ，
𝑥−1
∵x﹣2≠0，x﹣1≠0，
∴x≠2，x≠1，
1 1
∴当x＝3时，原式= = ．
3−1 2
21．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，
BF，DF，DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当平行四边形ABCD是菱形时，判断是四边形BEDF的形状，并说明理由．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
𝐴𝐵=𝐶𝐷
∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹，
𝐴𝐸=𝐶𝐹
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AE＝CF，OE＝OA﹣AE，OF＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形四边形BEDF是菱形．
22．（10分）为使学生了解当前尖端科技的发展，某校七年级准备从航展馆、人工智能科技馆两个研学基地
中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等：八年级准备从航展馆、人工智能科技馆、
虚拟现实科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．请求出：（1）八年级选择去航展馆的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率．
【详解】解：（1）八年级准备从航展馆、人工智能科技馆、虚拟现实科技馆三个研学基地中，随机选择
1
一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等，所以八年级选择去航展馆的概率为 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）航展馆、人工智能科技馆、虚拟现实科技馆分别用A、B、C表示，七年级从航展馆、人工智能科技
馆两个研学基地中，随机选择一个，八年级从航展馆、人工智能科技馆、虚拟现实科技馆三个研学基地
中，随机选择一个，所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中七、八年级选择的研学基地互不相同的有4种，
4 2
∴七八年级选择的研学基地互不相同的概率为 = ．
6 3
23．（10分）我校为了更好地开展学生体育活动，组织九年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取
了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理分为五组，下面给出了部分
信息：
a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下
组别 成绩分 人数（频数）
A 0≤x＜20 1
B 20≤x＜40 5
C 40≤x＜60 m
D 60≤x＜80 16
E 80≤x≤100 20
b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为 度；
（2）抽取的九年级学生体育测试成绩的中位数为 分；
（3）若该校九年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校九年级参加此次体育测试成绩达
到60分及以上的学生人数．【详解】解：（1）据图表可知：B组的人数为5人，占比为10%，
5
∴参加测试的总人数为 =50（人），
10%
∴m＝50﹣1﹣5﹣16﹣20＝8，
∵E组的人数为20人，
20
∴E组所对应扇形的圆心角360°× =144°，
50
故答案为：8，144；
（2）∵参加测试的总人数为50，
∴中位数为50个人的成绩从低到高排序后，第25和第26个学生成绩的平均数，
∵1+5+8＝14＜25，1+5+8+16＝30＞26，
∴第25和第26个学生成绩位于D组，分别为D组的第11和第12个数据，均为70，
70+70
∴中位数为 =70（分），
2
故答案为：70；
（3）根据图表可知：体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为16+20＝36（人），
36
∴所占比例为 ×100%=72%，
50
∴九年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为800×72%＝576（人），
答：估计该校九年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点D，使得点D到AB、AC的距离相等，且满足∠ADC＝
90°；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）设直线CD与AB交于E，若AC＝4，则BE的长为 ．（如需草图，请用备用图）
【详解】解：（1）如图，点D即为所求；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，AC＝4，
1 3
∴AH= 𝐴𝐶=2，BH＝CH= 𝐴𝐶=2 3，
2 2
∴AB＝AH+BH=2+2 3，
由（1）得：AG是∠BAC的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠EAD= ∠𝐵𝐴𝐶=30°，
2
∵CE⊥AG，
∴AC＝AE＝4，
∴BE＝AB﹣AE=(2+2 3)−4=2 3−2，
故答案为：2 3−2．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为𝐵𝐶的中点，连接AD，过点D作DE⊥AC，
交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
4
（2）延长ED交AB的延长线于点F，若𝑐𝑜𝑠𝐹= ，DF＝4，求⊙O的半径和DE的长．
5
【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵点D为𝐵𝐶的中点，
∴𝐶𝐷=𝐵𝐷，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，
𝐷𝐹 4
在Rt△ODF中，𝑐𝑜𝑠𝐹= = ，
𝑂𝐹 5
∵DF＝4，
∴OF＝5，
∴𝑂𝐷= 𝑂𝐹2−𝐷𝐹2 = 52−42 =3，
∴OA＝OD＝3，即⊙O的半径为3；
∴AF＝OA+OF＝8，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
𝐷𝐹 𝑂𝐹 4 5
∴ = ，即 = ，
𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐸𝐹 832
∴𝐸𝐹= ，
5
4 32 12
∴若𝑐𝑜𝑠𝐹= ，DF＝4，则𝐷𝐸=𝐸𝐹−𝐷𝐹= −4= ．
5 5 5
26．（10分）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工
程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构
成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校
数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为1.4m，如图，即BC＝1.4m，
由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动：
太阳光下，塔身AC的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端D的影子落在点
F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观
测者的水平视线上．已知AB、DE、GH在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，DE＝3m，EF
＝2m，EH＝1.28m．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）求该时刻下，纪念塔塔高AB与其影长BE的数量关系；
（2）求纪念塔塔高AB．
【详解】解：（1）太阳光下，其顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端D的影
子落在点F处，
𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐵 3
∴ = ，即 = ，
𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐸 2
3
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐸；
2
（2）如图，令CG与DE的交点为M，则四边形BCGH和MEHG是矩形，
∴ME＝GH＝BC＝1.4m，EH＝GM＝1.28m，
∴DM＝DE﹣EM＝3﹣1.4＝1.6（m），
设AC＝x（m），
2 2
则AB＝AC+BC＝（x+1.4）m，𝐵𝐸= 𝐴𝐵= (𝑥+1.4)（m），
3 3
2
∴𝐶𝑀=𝐵𝐸= (𝑥+1.4)（m），
3
2
∴𝐶𝐺=𝐶𝑀+𝑀𝐺= (𝑥+1.4)+1.28（m），
3
∵DE∥AB，
∴△ACG∽△DMG，
𝐴𝐶 𝐶𝐺
∴ = ，
𝐷𝑀 𝐺𝑀
2
𝑥 (𝑥+1.4)+1.28
∴ =3 ，解得：x＝16.6，
1.6 1.28
∴AB＝16.6+1.4＝18（米），
答：纪念碑AB的高度为18米．
3 9
27．（10分）如图，已知二次函数𝑦=− 𝑥2 + 𝑥+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与
4 4
y轴交于点C．
（1）求线段BC的长；
（2）若点P是直线BC上方一点，当△PCB的面积最大时求点P坐标，且面积的最大值是多少？
（3）若点Q是抛物线对称轴上一点，在点Q运动过程中使得△QCB是直角三角形，求点Q的坐标．3 9
【详解】解：（1）已知二次函数𝑦=− 𝑥2 + 𝑥+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
4 4
与y轴交于点C，
3 9
当y＝0时，得：− 𝑥2 + 𝑥+3=0，解得：x＝﹣1或x＝4，
4 4
当x＝0时，得：y＝3，
∴B（4，0），C（0，3），
∴OB＝4，OC＝3，
在直角三角形BOC中，∠BOC＝90°，
由勾股定理得：𝐵𝐶= 𝑂𝐵2+𝑂𝐶2 =5；
4𝑘+𝑏=0
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入，得 𝑏=3 ，
3
𝑘=−
解得： 4，
𝑏=3
3
∴直线BC的解析式为𝑦=− 𝑥+3，
4
如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，连接BP，
3 9 3
设𝑃(𝑝，− 𝑝2 + 𝑝+3)，则𝐸(𝑝，− 𝑝+3)，
4 4 4
3 9 3 3 3
∴𝑃𝐸=− 𝑝2 + 𝑝+3−(− 𝑝+3)=− 𝑝2 +3𝑝=− (𝑝−2)2 +3，
4 4 4 4 4
∴S ＝S +S
△PBC △PEC △PEB
1 1
= 𝑃𝐸(𝑥 −𝑐 )+ 𝑃𝐸(𝑥 −𝑐 )
𝐸 𝐶 𝐵 𝐸
2 2
1
= 𝑃𝐸(𝑥 −𝑐 )
𝐵 𝐶
2＝2PE
3
=− (𝑝−2)2 +6，
2
3
∵− ＜0，
2
∴当p﹣2＝0，即p＝2时，△PCB的面积有最大值，最大值为6，
3 9 3 9 9
∴− 𝑝2 + 𝑝+3=− ×22 + ×2+3= ，
4 4 4 4 2
9
∴此时点P的坐标为(2，)；
2
3 9
（3）∵抛物线解析式为𝑦=− 𝑥2 + 𝑥+3，
4 4
9
3
∴抛物线对称轴为直线𝑥=− 4 = ，
− 3 ×2 2
4
3
设𝑄( ，𝑚)，
2
∴𝐶𝑄2 =( 3 −0) 2 +(𝑚−3)2 ，𝐶𝐵2 =( 3 −4) 2 +(𝑚−0)2 ，
2 2
当点C为直角顶点时，由勾股定理得：BC2+CQ2＝BQ2，
∴52 +( 3 −0) 2 +(𝑚−3)2 =( 3 −4) 2 +(𝑚−0)2 ，解得：m＝5，
2 2
3
∴𝑄( ，5)；
2
当点B为直角顶点时，由勾股定理得：BC2+BQ2＝CQ2，
∴52 +( 3 −4) 2 +(𝑚−0)2 =( 3 −0) 2 +(𝑚−3)2 ，解得：𝑚=− 10 ，
2 2 3
3 10
∴𝑄( ，− )；
2 3
当点Q为直角顶点时，由勾股定理得：BQ2+CQ2＝BC2，
∴( 3 −0) 2 +(𝑚−3)2 +( 3 −4) 2 +(𝑚−0)2 =52 ，解得：𝑚= 3±2 6 ，
2 2 2
3 3+2 6 3 3−2 6
∴𝑄( ， )或𝑄( ， )；
2 2 2 2
3 3 10 3 3+2 6 3 3−2 6
综上，点Q的坐标为( ，5)或( ，− )或( ， )或( ， )．
2 2 3 2 2 2 2
28．（10分）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF．【特例探究】：（1）如图1，若∠ABC＝60°且EF∥CD，线段BE、CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，若∠ABC＝90°且EF⊥AC，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由；
𝐶𝐹
【一般探究】（3）如图3，根据特例的探究，若∠BAC＝α，AE＝EF，请求出 的值（用含α的式子表
𝐵𝐸
示）；
𝐶𝐹
【发现应用】（4）如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1， = 3，点F在直线AD上
𝐵𝐸
运动，则△CEF面积的最大值为 ．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，
∴AE＝AF，
在△ABE和△ACF中，
𝐴𝐵=𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹，
𝐴𝐸=𝐴𝐹
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
故答案为：BE＝CF；
（2）𝐶𝐹= 2𝐵𝐸，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，𝐴𝐶= 2𝐴𝐵，
∵EF⊥AC，
∴𝐴𝐹= 2𝐴𝐸，
𝐴𝐶 𝐴𝐹
∴ = ，
𝐴𝐵 𝐴𝐸∴△ABE∽△ACF，
𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐵
∴ = = ，
𝐶𝐹 𝐴𝐶 2𝐴𝐵
∴𝐶𝐹= 2𝐵𝐸；
（3）如图3，过点B作BO⊥AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝α，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB＝α，
∵AE＝EF，
∴∠AFE＝∠DAC＝α，
∴△ABC∽△AEF，
𝐴𝐵 𝐴𝐶
∴ = ，
𝐴𝐸 𝐴𝐹
又∵∠DAC＝∠BAC＝α，
∴△ABE∽△ACF，
𝐶𝐹 𝐴𝐶
∴ = ，
𝐵𝐸 𝐴𝐵
∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴AC＝2AO，AO＝AB•cos∠BAC，
∴AC＝2AB•cosα，
𝐶𝐹 2𝐴𝐵⋅𝑐𝑜𝑠𝛼
∴ = =2cosα，
𝐵𝐸 𝐴𝐵
（4）如图4，连接BD交AC于点O，过点E作EH⊥AD于点H，𝐶𝐹
由（3）可得：△ABE∽△ACF， =2𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐴𝐶，∠EAF＝∠EFA，
𝐵𝐸
𝐶𝐹
∴ = 3，
𝐵𝐸
∴2𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐴𝐶= 3，
∴∠EFA＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
设AE＝x，则EF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
1 1 1
∴𝐵𝑂= 𝐴𝐵= ×1= ，
2 2 2
1 1 1 1
∴S = AE•BO= x• = x，
△ABE
2 2 2 4
∵AE＝EF＝x，∠DAC＝30°，EH⊥AD，
1 1
∴𝐸𝐻= 𝐴𝐸= 𝑥，AF＝2AH，
2 2
1
∴𝐴𝐹=2𝐴𝐻=2 𝐴𝐸2−𝐸𝐻2 =2 𝑥2−( 𝑥)2 = 3𝑥，
2
1 1 1 3
∴S = AF•EH= × 3x• x= x2；
△AEF
2 2 2 4
∵△ABE∽△ACF，
𝑆 𝐶𝐹
∴ △𝐴𝐶𝐹 =( )2 =( 3)2 =3，
𝑆 𝐵𝐸
△𝐴𝐵𝐸
∴𝑆 =𝑆 +𝑆 =𝑆 + 3 𝑥2 ，
△𝐴𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹 △𝐴𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹
4
𝑆 + 3𝑥2
△𝐶𝐸𝐹
∴ 4 =3，
1
𝑥
4
3 3 3 3 3 3
∴𝑆 =− 𝑥2 + 𝑥，即𝑆 =− (𝑥− )2 + ，
△𝐶𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹
4 4 4 2 16
3
∵− ＜0，
4
3 3 3
∴当𝑥= 时，S 有最大值： ，
2
△CEF
16
3 3
故答案为： ．
16
