文档内容
2026 年云南省中考数学模拟猜题卷
（全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作
答无效．
2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走
记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作+300米，则向西走800米可记作（ ）
A．+800米 B．―800米 C．+300米 D．―300米
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用
【详解】解：∵向东走记作正数，向西走记作负数，
∴向西走800米可记作―800米．
2．2026年1月16日，太原卫星发射中心成功发射天启星座4颗卫星，这是我国低轨物联网卫星组网的重
要一步．其中一颗卫星的运行轨道近似为圆形，轨道半径约为6700000m，将数据6700000m用科学记数法
表示为（ ）
A．6.7×103m B．6.7×106m C．67×107m D．6.7×107m
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【详解】解：6700000m=6.7×106m．
3．如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，若∠2=135°，则∠1的度数是（ ）A．135° B．45° C．55° D．35°
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】根据平行线的性质，得到∠1=∠3=180°―∠2．
【详解】如图，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠1=∠3，
∴∠1=180°―∠2=180°―135°=45°．
4．下列计算正确的是（ ）
A．𝑚2+𝑚2 =𝑚4 B．𝑦3⋅𝑦4 =𝑦12 C．(𝑎2)3 =𝑎6 D．(2𝑥2)3 =6𝑥6
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【详解】解：A、𝑚2+𝑚2 =2𝑚2，原计算错误；
B、𝑦3⋅𝑦4 =𝑦7，原计算错误；
C、(𝑎2)3 =𝑎6，正确；
D、(2𝑥2)3 =8𝑥6，原计算错误.
2026
5．反比例函数𝑦= 的图象分别位于（ ）
𝑥
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】判断反比例函数图象所在象限
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：∵2026>0，2026
∴反比例函数𝑦= 的图象分别位于第一、三象限．
𝑥
6．如图所示的几何体的俯视图是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是关键．
根据俯视图是从上面看的图形即可得到答案．
【详解】解：根据俯视图是从上面看的图形可知俯视图如下：
故选：D．
7．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶
嵌于一个画框之中，如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】根据多边形的内角和公式(𝑛―2)×180°解答即可．
【详解】解：这个正八边形的内角和为(8―2)×180°=1080°．
8．如图，点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵的中点，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐸，则下列说法不正确的是（ ）A．𝐴𝐸=𝐶𝐸 B．𝐷𝐸= 1 𝐵𝐶 C． 𝐶 △𝐴𝐷𝐸 = 1 D． 𝑆 △𝐴𝐷𝐸 = 1
2 𝐶 △𝐴𝐵𝐶 2 𝑆 四边形𝐵𝐶𝐸𝐷 4
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】首先得到𝐴𝐷=𝐵𝐷= 1 𝐴𝐵，然后由𝐷𝐸∥𝐵𝐶得到△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，然后利用相似三角形的性质逐项
2
判断即可．
【详解】解：∵点𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵的中点，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐷= 1 𝐴𝐵，
2
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，
∴ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸 = 𝐷𝐸 = 1 ，
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 2
∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，𝐷𝐸= 1 𝐵𝐶， 𝐶 △𝐴𝐷𝐸 = 1 ，故A，B，C正确；
2 𝐶 △𝐴𝐵𝐶 2
2
𝑆 1 1
∴ △𝐴𝐷𝐸 = =
𝑆 2 4
△𝐴𝐵𝐶
∴ 𝑆 △𝐴𝐷𝐸 = 1 ，故D不正确．
𝑆 3
四边形𝐵𝐶𝐸𝐷
9．函数𝑦=
𝑥―2
中自变量x的取值范围是（ ）
𝑥+3
A．𝑥≥2且𝑥≠3 B．𝑥≥2 C．𝑥>2 D．𝑥≤2且𝑥≠―3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，求自变量x的取值范围．
𝑥―2≥0
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得到 ，再解不等式组即可．
𝑥+3≠0
𝑥―2≥0
【详解】解：由题意得， ，
𝑥+3≠0
∴𝑥≥2，
故选：B．
10．作为国家历史文化名城，昆明凭着气候宜人的特征，享有“春城”美誉．下列四个选项中，可以看作轴
对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁
的部分能够完全重合，逐一进行判断即可．掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：根据轴对称图形的概念，只有B选项中的汉字是轴对称图形．
11．“国家宪法日”为每年12月4日，是为了增强全社会的宪法意识，弘扬宪法精神，加强宪法实施，全面
推进依法治国而设立的节日．2024年12月4日是我国第十一个“国家宪法日”，12月1日至12月7日是第
七个“宪法宣传周”，2024年“宪法宣传周”主题为：“大力弘扬宪法精神，推动进一步全面深化改革”．某校
开展国家宪法知识竞赛，其中一代表队的成员成绩如下表：
成绩（分） 95 96 98 99 100
频数（人） 1 2 4 1 2
则该代表队竞赛成绩的中位数是（ ）
A．96 B．98 C．99 D．100
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】求中位数
【分析】本题考查中位数的定义与计算，先计算总人数，再根据中位数定义确定目标位置，进而求出中位
数．
【详解】解：∵总人数为各频数相加，即1+2+4+1+2=10，10是偶数，
∴该组数据的中位数是从小到大排列后，第5位和第6位数据的平均数，
从小到大排列数据，可得：第1位为95，第2、3位为96，第4、5、6、7位为98，
98+98
∴第5位和第6位数据均为98，中位数为 =98．
2
12．按一定规律排列的单项式：―3𝑥，9𝑥2，―27𝑥3，81𝑥4，―243𝑥5，…，第n个单项式为（ ）
A．―3𝑛―1𝑥𝑛 B．(―3)𝑛―1𝑥𝑛 C．―3𝑛𝑥𝑛 D．(―3)𝑛𝑥𝑛
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】单项式规律题
【详解】解：按一定规律排列的单项式：―3𝑥=(―3)1𝑥1，9𝑥2 =(―3)2𝑥2，―27𝑥3 =(―3)3𝑥3，81𝑥4
=(―3)4𝑥4，―243𝑥5 =(―3)5𝑥5，…，第n个单项式为(―3)𝑛𝑥𝑛．
13．正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为24cm，篓高（圆锥高）为16cm，则这个竹篓的侧面积为（ ）cm2
A．120π B．160π C．240π D．480π
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】本题考查圆锥侧面积公式𝜋𝑟𝑙与勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积
公式计算，即可选出正确选项．
【详解】解：∵圆锥底面直径为24cm，圆锥高为16cm，
∴圆锥底面半径𝑟=12cm，
由勾股定理得圆锥母线长𝑙= 122+162 =20(cm)，
∴圆锥侧面积𝑆=𝜋𝑟𝑙=𝜋×12×20=240𝜋(cm2)．
14．随着农业科技的发展，云南某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开
展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙
子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量为2.5吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根
据题意，下列方程正确的是（ ）
A．2(1+𝑥2)=2.5 B．2(1+𝑥)2 =2.5 C．2(1+𝑥)=2.5 D．2(1+2𝑥)
=2.5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】设每亩产量的年平均增长率为x，根据两年前的每亩产量和现在每亩的产量列方程即可．
【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为x，
由题意可列方程2(1+𝑥)2 =2.5．
2
15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=6，cos𝐵= ，则𝐵𝐶的长为（ ）
3
A．4 B．6 C．8 D．4 5
【答案】C
【难度】0.8
【知识点】三线合一、已知余弦求边长
【分析】过点A作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，由三线合一的性质得出𝐵𝐶=2𝐵𝐷，再根据余弦的定义求出𝐵𝐷，进而求
出𝐵𝐶．【详解】解：过点A作𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=6，
∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷，
𝐵𝐷 2
∵cos𝐵= =
𝐴𝐵 3
∴𝐵𝐷=4，
∴𝐵𝐶=8．
二、填空题：本题共 4小题，每小题 2分，共 8分．
16．若⊙𝑂的半径为8，𝑂𝑃=𝑚，且点𝑃在⊙𝑂外，则𝑚的取值范围为______．
【答案】𝑚>8
【难度】0.85
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可．
【详解】解：∵⊙𝑂的半径为8，𝑂𝑃=𝑚，且点𝑃在⊙𝑂外，
∴𝑚的取值范围为𝑚>8．
17．分解因式：3𝑥2―27=_____．
【答案】
3(𝑥+3)(𝑥―3)
【难度】0.85
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【详解】解：3𝑥2―27 =3(𝑥2―9) =3(𝑥+3)(𝑥―3)．
18．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱
形中国结装饰．测得𝐴𝐵=5cm，𝐴𝐶=6cm，则该菱形的面积为______cm2．
【答案】24【难度】0.85
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出𝐵𝐷的长，
再利用菱形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点O，𝐴𝐵=5cm，𝐴𝐶=6cm，
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑂𝐴=𝑂𝐶= 1 𝐴𝐶=3cm，𝑂𝐵=𝑂𝐷，
2
∴∠𝐴𝑂𝐵=90°，
∴𝑂𝐵= 𝐴𝐵2―𝑂𝐴2 = 52―32 =4(cm)，
∴𝐵𝐷=2𝑂𝐵=8cm，
∴𝑆 = 1 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷= 1 ×6×8=24(cm2)，
菱形𝐴𝐵𝐶𝐷
2 2
故答案为：24．
19．创新社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施
情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天）若该社区共有1200户
居民，请估计社区每天进行垃圾分类的住户约有__________户．
【答案】240
【难度】0.84
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】先根据A类的户数和所占的百分比求出抽查的总户数，再用该社区总户数乘以D类所占的百分比
得出答案．
【详解】解：9÷15％=60（户），则1200× 12 =240，
60
所以社区每天进行垃圾分类的住户有240户．
三、解答题：本题共 8小题，共 62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
―2
20．计算： 12+(3.14―π)0―3tan60°+|1― 3|+(― 2) ．
1
【答案】
2【难度】0.65
【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算
2
【详解】解：原式=2 3+1―3× 3+ 3―1+ 1
― 2
1
=2 3+1―3 3+ 3―1+
2
1
= ．
2
21．如图，线段𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点E，𝐴𝐸=𝐵𝐸，𝐴𝐶=𝐵𝐷．求证：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐶𝐸．
【答案】见解析
【难度】0.73
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】先证明𝐷𝐸=𝐶𝐸，再利用SAS即可证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐶𝐸．
【详解】证明：∵𝐴𝐸=𝐵𝐸，𝐴𝐶=𝐵𝐷，
∴𝐴𝐶―𝐴𝐸=𝐵𝐷―𝐵𝐸，
∴𝐷𝐸=𝐶𝐸．
在△𝐴𝐷𝐸和△𝐵𝐶𝐸中，
𝐴𝐸=𝐵𝐸
∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐶
𝐷𝐸=𝐶𝐸
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐶𝐸(SAS)．
22．云南省是我国的农业大省，随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术在我省得到了
广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台
无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时
间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时．求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个
人打药的面积．
【答案】一个人每小时打药的面积为5亩，则一台无人机每小时对玉米地喷洒农药的面积为40亩．
【难度】0.75
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题是分式方程的实际应用问题，解题关键是根据“时间差”建立等量关系，通过设未知数表示出
人工和无人机的作业效率，再根据“无人机用时比人工用时少25小时”列方程求解．【详解】解：设一个人每小时打药的面积为x亩，则一台无人机每小时对玉米地喷洒农药的面积为8x亩，
由题意得： 600 = 200 ―25，解得：𝑥=5，
8𝑥 𝑥
经检验：𝑥=5是原方程的解，且符合题意．
∴8𝑥=40．
答：一个人每小时打药的面积为5亩，则一台无人机每小时对玉米地喷洒农药的面积为40亩．
23．昆明是一座四季如春的城市，有许多美丽的景点．在“五一”小长假即将来临之际，某校甲、乙两位同
学准备去昆明旅游，他们收集了四个感兴趣的景点名片，这些名片除正面外，大小、形状均相同，分别为
A西山，B滇池、C翠湖、D金殿．他们将四张名片洗匀后背面朝上放在桌面上，甲同学先从中抽取一张卡
片记下结果，并放回，洗匀后乙同学再从中随机抽取一张，记下结果．
(1)甲同学抽到去A西山旅游的概率为________；
(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率．
【答案】(1) 1
4
1
(2)
4
【难度】0.85
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的结果数，然
后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：四张卡片中，写有字母A的名片只有1张，
1
∴甲同学抽到去A西山旅游的概率= ；
4
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的结果数为4，
所以甲、乙两位同学抽到去同一个景点游玩的概率= 4 = 1 ．
16 4
24．已知四边形𝐴𝐵𝐷𝐸为矩形，点F为𝐴𝐸上一点，过点E作𝐸𝐶∥𝐵𝐹，连接𝐵𝐸，且𝐵𝐸平分∠𝐹𝐵𝐷，(1)求证：四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为菱形；
(2)已知矩形𝐴𝐵𝐷𝐸的周长为22，四边形𝐵𝐶𝐸𝐹的周长为20，求△𝐶𝐷𝐸的面积．
【答案】(1)见解析
11
(2)
4
【难度】0.57
【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形
【分析】（1）先证明四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为平行四边形，再证明四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为菱形即可；
（2）根据菱形的性质得出𝐵𝐶=𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐵𝐹=5，根据矩形𝐴𝐵𝐷𝐸的周长为22，得出𝐵𝐷+𝐷𝐸=11，从
而求出𝐶𝐷+𝐷𝐸=11―5=6，根据勾股定理得出𝐶𝐷2+𝐷𝐸2 =𝐶𝐸2 =25，根据完全平方公式变形求出𝐶𝐷
⋅𝐷𝐸= 1 (36―25)= 11 ，最后根据三角形面积公式得出答案即可．
2 2
【详解】（1）证明：∵四边形𝐴𝐵𝐷𝐸为矩形，
∴𝐴𝐸=𝐵𝐷，𝐴𝐵=𝐷𝐸，∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷=∠𝐴𝐸𝐷=90°，𝐴𝐸∥𝐵𝐷，
∵𝐸𝐶∥𝐵𝐹，
∴四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为平行四边形，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐶𝐵𝐸，
∵𝐵𝐸平分∠𝐹𝐵𝐷，
∴∠𝐹𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸，
∴∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐹𝐵𝐸，
∴𝐵𝐹=𝐸𝐹，
∴平行四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为菱形；
（2）解：∵四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为菱形，
∴𝐵𝐶=𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐵𝐹，
∵四边形𝐵𝐶𝐸𝐹的周长为20，
∴𝐵𝐶=𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐵𝐹=5，
∵矩形𝐴𝐵𝐷𝐸的周长为22，
∴𝐵𝐷+𝐷𝐸=11，
∴𝐶𝐷+𝐷𝐸=11―5=6，
∴(𝐶𝐷+𝐷𝐸)2 =36，即𝐶𝐷2+2𝐶𝐷⋅𝐷𝐸+𝐷𝐸2 =36，
在Rt△𝐶𝐷𝐸中，根据勾股定理得：𝐶𝐷2+𝐷𝐸2 =𝐶𝐸2 =25，
∴𝐶𝐷⋅𝐷𝐸= 1 (36―25)= 11 ，
2 2
∴𝑆 = 1 𝐶𝐷⋅𝐷𝐸= 1 × 11 = 11 ．
△𝐶𝐷𝐸 2 2 2 4
25．根据如下素材，完成探索任务．
某电子配件商店采购方案
为备战双十一购物节，该电子商店分两次购进A、B两种型号的充电
器，同型号充电器两次的进价不变．
采购总费用
采购批次 A数量（件） B数量（件）
素材一 （元）
第一次 15 20 1625
第二次 45 30 2775
素材二 售价：A型号：30元/件，B型号：100元/件．
由于前两次销售情况乐观，商店决定再次购进两种型号充电器共100
素材三
件，且A型号充电器数量不低于B型号充电器数量的4倍．
问题解决
(1)求A、B型号充电器每件进价；
(2)求第三次采购中获利最大的进货方案及最大利润．
【答案】(1)A型号充电器每件进价为15元，B型号充电器每件进价为70元
(2)购进A型号80件，购进B型号20件，最大利润是1800元
【难度】0.65
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）先设A，B型号充电器每件进价为x，y元，根据题意列出方程组，求出解即可；
（2）先设再次购进A型号充电器a件，则购进B型号充电器(100―𝑎)件，利润为w元，根据题意列出一
次函数，再根据一次函数图象的性质，并结合a的取值范围讨论最大利润即可．
【详解】（1）解：设A，B型号充电器每件进价为x，y元，根据题意，得
15𝑥+20𝑦=1625
45𝑥+30𝑦=2775
𝑥=15
解得
𝑦=70
所以A型号充电器每件进价为15元，B型号充电器每件进价为70元；（2）解：设再次购进A型号充电器a件，则购进B型号充电器(100―𝑎)件，利润为w元，根据题意，得
𝑤=(30―15)𝑎+(100―70)(100―𝑎)，且𝑎≥4(100―𝑎)，
解得𝑤=―15𝑎+3000,80≤𝑎≤100，
∵一次函数中―15<0，
∴w随着a的增大而减小，
∴当𝑎=80时，100―80=20，
则𝑤 =―15×80+3000=1800（元），
最大
所以进货方案是购进A型号充电器80件，B型号充电器20件，最大利润为1800元．
26．已知a是常数，函数𝑦=(𝑥+4)(𝑥2+𝑎2―14)+ 3 ，记𝑇=𝑎2― 8 .（其中𝑎2―3≠0）
2 𝑎2―3
(1)当𝑥=―4，𝑎=2时，求y的值；
3
(2)当𝑥=𝑎―2时，𝑦= ，试证明：𝑇<12．
2
【答案】(1) 3
2
(2)见解析
【难度】0.5
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值
【分析】（1）将𝑥=―4、𝑎=2直接代入函数表达式，利用0乘任何数得0简化计算，求出𝑦的值。
3
（2）将𝑥=𝑎―2、𝑦= 代入函数表达式，整理得到关于𝑎的方程，分情况解方程求出𝑎或𝑎2的表达式，再
2
代入𝑇的表达式计算并比较大小，证明𝑇<12。
【详解】（1）解：当𝑥=―4，𝑎=2时，
𝑦=(―4+4)× (―4)2+22―14 + 3 = 3 ；
2 2
3 3
（2）证明：把𝑥=𝑎―2，𝑦= 代入𝑦=(𝑥+4)(𝑥2+𝑎2―14)+ ，得
2 2
3 =(𝑎―2+4) (𝑎―2)2+𝑎2―14 + 3 ，
2 2
∴(𝑎+2)(𝑎2―2𝑎―5)=0，
∴𝑎+2=0或𝑎2―2𝑎―5=0，
当𝑎+2=0，即𝑎=―2时，𝑇=(―2)2― 8 =―4<12，
(―2)2―3
当𝑎2―2𝑎―5=0时，𝑎2 =2𝑎+5，
𝑇=2𝑎+5― 8 =2𝑎2+7𝑎+1= 11𝑎+11 =11<12，
2𝑎+2 𝑎+1 𝑎+1
综上：可得𝑇<12．
27．如图，已知△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，且𝐶𝐴=𝐶𝐵，点N为边𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝑁，过点
C作𝐶𝐹⊥𝐴𝑁于点F，交直径𝐴𝐵于点E，连接𝐵𝐹，且∠𝐵𝐹𝑁=45°，过点A作𝐴𝐷，使得∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶，且
𝐴𝐵2 =𝐴𝐶⋅𝐴𝐷，连接𝐵𝐷．(1)求∠𝐶𝐵𝐴的度数；
(2)证明：𝐵𝐷与⊙𝑂相切；
𝐴𝑁―1𝐶𝐹
(3)试探索： 2 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是定值，请说明理由．
𝐵𝐹
【答案】(1)∠𝐶𝐵𝐴=45°
(2)见解析
(3)是，定值为 2
【难度】0.15
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、
求角的正弦值
【分析】（1）求出∠𝐴𝐶𝐵=90°，结合𝐶𝐴=𝐶𝐵可求出∠𝐶𝐵𝐴的度数；
（2）先证明∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐵，再证明△𝐵𝐴𝐷∽△𝐶𝐴𝐵，得出∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°，可证𝐵𝐷与⊙𝑂相切；
（3）证明△𝐵𝑁𝐹∽△𝐴𝑁𝐵得𝐵𝑁2 =𝐴𝑁⋅𝑁𝐹，证明△𝐶𝑁𝐹∽△𝐴𝑁𝐶得𝐶𝑁2 =𝐴𝑁⋅𝑁𝐹，从而𝐵𝑁=𝐶𝑁，证
1
明∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐶𝐴𝐹，求出tan∠𝐵𝐶𝐹=tan∠𝐶𝐴𝐹= ，设𝑁𝐹=𝑚，则𝐶𝐹=2𝑚,𝐴𝐹=4𝑚，𝐴𝑁=𝐴𝐹+𝑁𝐹=5
2
𝐴𝑁―1𝐶𝐹
𝑚．证明△𝐵𝐶𝐹∽△𝐴𝐵𝐹得𝐵𝐹2 =𝐶𝐹⋅𝐴𝐹=8𝑚2，然后代入 2 化简即可．
𝐵𝐹
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，
∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝐴=∠𝐶𝐴𝐵=45°；
（2）证明：∵𝐴𝐵2 =𝐴𝐶⋅𝐴𝐷，
∴ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ，
𝐴𝐶 𝐴𝐵
∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐵．
∴△𝐵𝐴𝐷∽△𝐶𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，
∴𝐵𝐷与⊙𝑂相切；
𝐴𝑁―1𝐶𝐹
（3）解： 2 为定值 2，理由：
𝐵𝐹
∵𝐶𝐹⊥𝐴𝑁，∴∠𝐸𝐹𝑁=∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐶𝐹𝑁=90°．
由（1）知，∠𝐶𝐵𝐴=45°
∵∠𝐵𝐹𝑁=45°，
∴∠𝐶𝐵𝐴=∠𝐵𝐹𝑁．
∵∠𝐵𝑁𝐹=∠𝐴𝑁𝐵，
∴△𝐵𝑁𝐹∽△𝐴𝑁𝐵，
∴ 𝐵𝑁 = 𝑁𝐹 ，∠𝑁𝐵𝐹=∠𝑁𝐴𝐵，
𝐴𝑁 𝐵𝑁
∴𝐵𝑁2 =𝐴𝑁⋅𝑁𝐹．
∵∠𝐴𝐶𝑁=∠𝐶𝐹𝑁=90°,∠𝐶𝑁𝐹=∠𝐴𝑁𝐶
∴△𝐶𝑁𝐹∽△𝐴𝑁𝐶，
∴ 𝐶𝑁 = 𝑁𝐹 ，
𝐴𝑁 𝐶𝑁
∴𝐶𝑁2 =𝐴𝑁⋅𝑁𝐹，
∴𝐵𝑁=𝐶𝑁．
∵∠𝐴𝐶𝐹+∠𝐵𝐶𝐹=90°=∠𝐶𝐴𝐹+∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐶𝐴𝐹，
∴tan∠𝐵𝐶𝐹=tan∠𝐶𝐴𝐹= 𝐶𝑁 = 𝐶𝑁 = 1 ，
𝐴𝐶 𝐵𝐶 2
∴设𝑁𝐹=𝑚，
∵tan∠𝐵𝐶𝐹= 𝑁𝐹 = 1 ，
𝐶𝐹 2
∴𝐶𝐹=2𝑁𝐹=2𝑚，
∵tan∠𝐶𝐴𝐹= 𝐶𝐹 = 1 ，
𝐴𝐹 2
∴𝐴𝐹=2𝐶𝐹=4𝑚
∴𝐴𝑁=𝐴𝐹+𝑁𝐹=5𝑚．
∵∠𝐵𝐹𝑁=45°，
∴∠𝐴𝐹𝐵=135°,∠𝐵𝐹𝐸=45°，
∴∠𝐵𝐹𝐶=135°
∴∠𝐵𝐹𝐶=∠𝐴𝐹𝐵，
又∵∠𝑁𝐵𝐹=∠𝑁𝐴𝐵，
∴△𝐵𝐶𝐹∽△𝐴𝐵𝐹，
∴ 𝐵𝐹 = 𝐶𝐹 ，
𝐴𝐹 𝐵𝐹
∴𝐵𝐹2 =𝐶𝐹⋅𝐴𝐹=8𝑚2，
∴𝐵𝐹=2 2𝑚（负值舍去），
∴ 𝐴𝑁―1 2 𝐶𝐹 = 5𝑚―𝑚 = 2．
𝐵𝐹 2 2𝑚
