2026年中考数学模拟猜题卷（解析版）_中考押题2026《中考押题》系列（9科全套实时更新中）_2026年中考数学模拟猜题卷（陕西专用）

2026 年中考数学模拟猜题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．若2+ =0，则（ ）里的数为（ ）
1
A． B．-2 C．0 D．2
2
【答案】B
【难度】0.95
【分析】根据互为相反数的两个数和为0即可求出括号内的数．
【详解】解：∵2+ =0，
∴（ ）里的数为-2．
2．数学活动课上，小明绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.95
【详解】解：该几何体由扇形和圆组成，是圆锥的侧面展开图，故选C．
3．如图，AB^BC，AD
P
BE，若ÐBAD=26°，则ÐCBE的大小为（ ）
A．60° B．62° C．64° D．66°
【答案】C
【难度】0.9
【分析】先利用平行线的性质可得ÐBAD=ÐABE=26°，再根据垂直定义可得ÐABC =90°，然后利用角
的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】 AD BE，
Q P\ÐBAD=ÐABE=26°，
AB^BC，
Q
\ÐABC =90°，
\ÐCBE=ÐABC-ÐABE=64°，
4．计算3x2×  -2xy2 的结果是（ ）
A．-6x3y2 B．6x3y4 C．-6x2y D．6x3y2
【答案】A
【难度】0.95
【分析】按照单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数乘积、同底数幂的乘积，即可得到结果．
【详解】解：3x2×  -2xy2
=é3´-2ù×  x2×x  ×y2
ë û
=-6x2+1y2
=-6x3y2．
5．如图，在Rt△ABC中，ÐABC =90°，BD是AC边上的中线，过点C作CE^BD于点E．若ÐA=38°，
则ÐDCE的度数是（ ）
A．14° B．19° C．52° D．7°
【答案】A
【难度】0.85
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质．关键
是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再结合垂直的性质逐步计算角度．
【详解】解：∵在Rt ABC中，ÐABC =90°，ÐA=38°，
V
∴ÐACB=90°-ÐA=90°-38°=52°；
∵BD是AC边上的中线，
∴BD=CD，
∴ÐDBC =ÐACB=52°；
∵CE^BD，
∴ÐBEC =90°，
∴在Rt BCE中，ÐBCE=90°-ÐDBC =90°-52°=38°；
V∴ÐDCE=ÐACB-ÐBCE=52°-38°=14°；
故选：A．
6．将一次函数y=2x+b的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点-1,3，则b的
值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【难度】0.85
【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求出b的值．
【详解】解：将一次函数y=2x+b的图象向下平移2个单位长度，平移后的解析式为y=2x+b-2，
∵平移后的一次函数图象经过点-1,3．
∴3=2´-1+b-2，
解得：b=7．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是AB边上靠近点B的三等分点，点F是BC边上靠近点C的三等分点，
连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB=6，BC =9，则MN的长为（ ）
A．2 13 B．2 10 C．3 D． 13
【答案】D
【难度】0.69
【分析】连接CN 并延长交AD于点G，连接EG，根据中点定义，矩形的性质得到ÐA=90°，
AD∥BC，再证△GND≌△CNF，得到GN =CN，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接CN 并延长交AD于点G，连接EG
．
∵M，N分别是EC，FD的中点，
∴DN = FN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，BC=AD，ÐA=ÐABC =ÐBCD=ÐADC =90°，
∴ÐGDN =ÐCFN，ÐGND=ÐCNF，
Q
∴V GND≌ V CNFASA，
\GN =CN，即N是CG的中点．
∴MN是 CEG的中位线．
V
1
\MN = EG．
2
∵点E是AB边上靠近点B的三等分点，点F是BC边上靠近点C的三等分点，AB=6，BC =9，
2 1
∴AE= AB=4，CF =GD= BC =3，AG=AD-DG=6．
3 3
在Rt△AEG中，AE2+AG2 =EG2
\EG= AE2+AG2 = 42+62 =2 13．
\MN = 13．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c(a¹0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
7 7 15
y … -5 - - -5 - …
2 2 2
关于它的图象，下列判断不正确的是（）
A．a<0 B．对称轴是直线x=2
C．一定经过点(-1,-6) D．在对称轴右侧部分的图象是下降的
【答案】C
【难度】0.65
【分析】利用表格中纵坐标相等的点确定对称轴，再用待定系数法求出二次函数解析式，再逐一判断选项
即可．
æ 7ö æ 7ö
【详解】解：∵点ç1,- ÷和点ç3,- ÷纵坐标相等，
è 2ø è 2ø
1 3
+
∴抛物线的对称轴为直线x
= =
2，故B选项正确，不符合题意．
2
ì4a+k =-5
æ 7ö ï
设抛物线解析式为y=ax-22 +k ，将0,-5和ç1,- ÷代入得í 7
è 2ø ï a+k =-
î 2
ì 1
ïa=-
解得í 2，
ï îk =-3
1
∴抛物线解析式为y=- x-22-3．
21
∵a=- <0，故A选项正确，不符合题意．
2
∵a<0，抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧部分的图象是下降的，故D选项正确，不符合题意．
1 15
将x=-1代入解析式，得y=- ´-1-22-3=- ¹-6，
2 2
∴抛物线不经过点-1,-6，故C选项错误，符合题意．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．比较大小： 5______2.2（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】>
【难度】0.9
【分析】利用平方法比较两个正数的大小，对两个正数而言，平方更大的原数更大，分别计算两个数的平
方后比较平方大小，即可得到原数的大小关系．
【详解】解：由题意得， 5和2.2均为正数，
 2
则 5 =5，2.22 =4.84，
5>4.84，
Q
\ 5 >2.2．
10．中国结艺是中国特有的民间手工编结艺术，体现了中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，抽离出
其平面图形，若其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中
共有19个小正方形，…；则第8个图形小正方形的个数为______．
【答案】44
【难度】0.85
【分析】观察可知后一个图形比前一个图形多5个小正方形，进行求解即可.
【详解】解：观察可知后一个图形比前一个图形多5个小正方形，
∴第n个图形中小正方形的个数为9+5n-1=5n+4，
∴第8个图形小正方形的个数为5´8+4=44.
11．我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方，每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相
等，如图，将“我爱中国”这四个汉字分别放在九宫格中的方格内，覆盖底下的数字，其中“爱”字覆盖的数
字是___________．-5 我 2
爱 -1 5-m
m-17 中 国
【答案】6
【难度】0.85
【分析】根据三阶幻方的性质，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，选取第一列与从右
上到左下的对角线，令二者之和相等，即可建立方程求解．
【详解】解：设“爱”覆盖的数字为x，
∵每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，
∴2+-1+m-17=-5+x+m-17，
解得：x=6，
∴“爱”字覆盖的数字是6．
12．如图，AB是
e
O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若ÐBAC =26°，则ÐD的度数是
___________．
【答案】64°
【难度】0.85
【分析】根据直角三角形可知ÐB，进而根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：连接BC，
∵AB是
e
O的直径，
∴ÐACB=90°,
∵ÐBAC =26°，
∴ÐABC =180°-90°-26°=64°,
∴ÐD=ÐABC =64°．k
13．正比例函数y=x与反比例函数y= 有一个交点的纵坐标是2，当-3<x<-1时，反比例函数y的取
x
值范围是________________．
4
【答案】-4< y<-
3
【难度】0.85
【分析】本题主要考查了反比例函数图像性质，准确分析判断是解题的关键．
先根据交点纵坐标求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质，结合自变量取值范围求解函数值的
范围．
k
【详解】由题，正比例函数 y=x与反比例函数y= 有一个交点的纵坐标为2，代入y=x得x=2，故交
x
点为2,2，
k 4
代入反比例函数得2= ，解得k =4，故反比例函数为y= ，
2 x
4 4 4
当x=-3时，y= =- ；当x=-1时，y= =-4；
-3 3 -1
Qk =4>0，反比例函数在x<0时，y随x的增大而减小，
4
\当-3<x<-1时，y的取值范围为-4< y<- ；
3
4
故答案为-4< y<- ．
3
14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE^BC于点E，PF ^CD于点F ，
连接AP，EF，则EF的最小值为________________ ．
【答案】2 2
【难度】0.51
【分析】连接CP，结合正方形性质、勾股定理求出BD，证明四边形PECF是矩形即可得EF =CP，再根
据垂线段最短即可得解．
【详解】解：连接CP，如下图：Q
正方形ABCD中，ÐC =90°，BC =CD=4，
\BD= BC2+CD2 =4 2，
又PE^BC，PF ^CD，
\四边形PECF是矩形，
\EF =CP，
则EF的最小值即为CP的最小值，
当CP^DB时，CP最短，
BC´CD BD´CP
此时S = = ，
VBCD 2 2
BC´CD 4´4
\CP= = =2 2，
BD 4 2
即EF的最小值为2 2．
三、解答题（本大题共12小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
æ 1ö -1 12
15．（5分）计算： 3-1-ç- ÷ -
è 2ø 2
【答案】
1
【难度】0.8
【详解】解：原式=  3-1  --2- 2 3 ······（3分）
2
= 3-1+2- 3
=1······（5分）
ìx-1 2-y
ï - =1
16．（5分）解方程组í 6 3 ．
ï2x-1=13-y+2
î
ìx=5
【答案】í
îy=3
【难度】0.85
【分析】先去分母、去括号化简方程组，再用加减消元法求出x，然后代入求y，得到方程组的解．ìx+2y=11①
【详解】解：方程组整理得：í ，······（2分）
î2x+y=13②
②´2-①得：3x=15，解得x=5，
将x=5代入①得：2y=6，解得y=3，······（2分）
ìx=5
故方程组的解为í ．······（5分）
îy=3
2-x 1
17．（5分）解分式方程： =1- ．
x-3 3-x
【答案】x=2
【难度】0.84
【分析】将分式方程转化为整式方程，解整式方程，注意检验是否为原分式方程的解即可．
2-x 1
【详解】解： =1-
x-3 3-x
去分母得2-x=x-3+1，······（2分）
移项得-x-x=-3+1-2
合并同类项得-2x=-4
解得x=2，······（4分）
检验：把x=2代入x-3得：x-3=2-3=-1¹0
因此，x=2是原分式方程的解．······（5分）
18．（5分）如图，已知
V
ABC，请你用尺规作图法作正方形ABDE，且保证点D、E在
V
ABC的右
侧．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【难度】0.85
【分析】本题考查了作垂线，作线段，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先过点B作AB的垂线，再以点B为圆心，AB的长度为半径，画弧交AB的垂线于点D，然后分别以点
A,D为圆心，AB的长度为半径，画弧，这两弧交于点E，此时AB=BD=DE= AE，即四边形ABDE是
菱形，又因为
Ð
ABD
=
90
°
，则四边形ABDE是正方形，即可作答．
【详解】解：如图所示，正方形ABDE即为所求．（作法不唯一）······（5分）
19．（5分）如图，点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上，且CE=CF．求证：AE=AF．
【答案】见解析
【难度】0.85
【分析】根据菱形的性质可得AB= AD=BC =CD，ÐB=ÐD，再证明BE=DF，继而得出
△BAE≌△DAF，即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= AD=BC =CD，ÐB=ÐD，
∵CE=CF，
∴BE=DF，······（2分）
在
V
BAE和△DAF中，
ìBE=DF
ï
íÐB=ÐD，
ï
îAB= AD
∴V BAE≌ V DAFSAS，
∴AE=AF．······（5分）
20．（5分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一
步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件中随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种APP
的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置
在桌面上．
(1)从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为_____；
(2)从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法，求两次抽取到相同卡片的概率．
1
【答案】(1)
4
1
(2)
4
【难度】0.87
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B卡片的结果有1种，
1
抽到B卡片的概率为 ；······（1分）
4
（2）列表如下：
A B C D
A,A A,B A,C A,D
A
B
B,A B,B B,C B,D
C
C,A C,B C,C C,D
D
D,A D,B D,C D,D
······（4分）
共有16种等可能的结果，其中两次抽取到相同卡片的结果有4种，
4 1
∴P两次抽取到相同卡片= = ．······（5分）
16 4
21．（6分）飞机客梯车是供旅客上下飞机的机场专用设备，由汽车底盘，转动梯和升降梯构架等组成（如
图1）．如图2是该客梯车的简化示意图，其中转动梯CD=2m，升降梯BC =4m，转动梯与汽车底盘的夹
角ÐCDE=62°，与升降梯BC的夹角ÐBCD=102°，矩形DEGF为汽车底盘，且高度DF =0.9m，F ，G
为水平面上两点，求机舱门下沿AB距离地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin40°»0.64，
cos40°»0.77，tan40°»0.84，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°»1.88）
【答案】机舱门下沿AB距离地面的高度约为5.2m【难度】0.65
【详解】解：如图，过点B作BN ^FG于点N ，延长DE交BN 于点M ，过点C作CQ^PN 于点Q，延
长FD交CQ于点P，
依题意，MN =DF =0.9，CQ∥DE，MQ=PD，
∴ÐPCD=ÐCDE=62°，
在Rt PDC中，CD=2，
V
∴PD=CD×sinPCD=2´sin62°»2´0.88=1.76，······（2分）
∵ÐBCD=102°，ÐPCD=62°，
∴ÐBCQ=ÐBCD-ÐPCD=102°-62°=40°，
在Rt△BCQ中，BC =4，
∴PQ=BC×sinÐBCQ=4´sin40°»4´0.64=2.56．······（5分）
∴BN =BQ+QM +MN =2.56+1.76+0.9»5.2．
答：机舱门下沿AB距离地面的高度约为5.2m．······（6分）
22．（7分）冰箱的冷循环系统是由制冷机通过做功吸收物质的热量Q （单位：千焦），再将一部分热量Q
1 2
（单位：千焦）释放到空气中，从而使冰箱内的物质保持在较低的温度．小明发现某品牌冰箱Q 和Q 的关
2 1
系如图所示．
(1)求Q 关于Q 的函数解析式；
2 1
(2)已知物体释放的热量Q=mcT -T （其中m为物体的质量，c为比热容，T为初始温度，T 为最终温
1 2 1 2
度）． 小明把常温25℃的质量为340克的牛奶放入该冰箱，并调节冰箱制冷温度为5℃，求制冷机向空气中
释放的热量．（参考数据：2.5千焦/（千克×摄氏度）为牛奶的比热容）27
【答案】(1)Q = Q Q >0
2 17 1 1
(2)27千焦
【难度】0.65
【分析】（1）观察图象，判断其函数关系为正比例函数，用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）根据公式计算出Q =17，代入函数表达式，得出结果即可．
1
【详解】（1）解：由图可知，Q 是关于Q 的正比例函数，
2 1
设Q =kQ （k ¹0），······（1分）
2 1
当Q =17，Q =27时，
1 2
∴17k =27，
27
得k = ，
17
27
∴Q = Q Q >0．······（3分）
2 17 1 1
（2）解：Q=0.34´2.5´20=17，······（5分）
当Q =17时，
1
27
Q = ´17=27（千焦），
2 17
答：制冷机向空气中释放出27千焦的热量.······（7分）
23．（7分）启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分
制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】
小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
平均数 中位数 众数
甲组 8 8 n
乙组 7.5 m 9
【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)填空：m=_____，n=_____．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____
（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由；
(3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点
比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
【答案】(1)7.5；8
(2)乙，理由见解析
(3)见解析
【难度】0.65
【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可解答；
（2）根据中位数的定义即可解答；
（3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答．
【详解】（1）解：乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数
7+8
m= =7.5；······（2分）
2
甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数n=8；······（3分）
（2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为7.5分，
由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生；······（5分）
（3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组
优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩
的平均数高，即小华的观点比较片面．······（7分）
24．（8分）如图，AB为
e
O的直径，点D为
e
O上一点，连接AD，点E是AD 的中点，连接AE,BE，
DE，弦BE与弦AD交于点F ，点C在BE的延长线上，连接AC，ÐADE=ÐCAE．
(1)求证：AC是
e
O的切线；
1
(2)若BF =3，tanÐADE= ，求线段EF的长．
2
【答案】(1)见详解
(2)EF =1
【难度】0.55【分析】本题考查圆的切线判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的应用．理解圆
周角定理及相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）根据圆周角定理和弧的中点性质，先得到ÐB=ÐADE，然后结合ÐADE=ÐCAE证明ÐCAE =ÐB，
再利用圆周角定理的推论，最后得出OA^ AC，证明AC是切线．
（2）根据相似三角形的判定定理，先证明△AEF∽△BEA，然后利用相似比建立等量关系，再结合锐角
三角函数和BF =3，最后求解EF的长度．
【详解】（1）解：在
e
O中，
Q
ÐADE、ÐB是AE 所对的圆周角
\ÐADE=ÐB，
QÐADE=ÐCAE，
\ÐCAE=ÐB，······（1分）
Q
AB是
e
O的直径，
\ÐAEB=90°，
\ÐEAB+ÐB=90°，
\ÐCAE+ÐEAB=90°，即ÐCAB=90°，
\OA^ AC，
\AC是
e
O的切线．······（3分）
（2）解：
Q
点E是AD 的中点，
\ÐADE=ÐEAD=ÐB，
1
\tanÐB=tanÐADE= ，······（4分）
2
AE 1
在Rt ABE中，tanÐB= = ，
V
EB 2
\EB=2AE，······（5分）
ÐEAD=ÐB，ÐAEF =ÐBEA
Q
\△AEF∽△BEA，
EF AE
\ = ，即AE2 =EF×BE，
AE BE
\AE2 =EF×2AE，
\AE=2EF，······（7分）
\2EF2 =EF×EF+BF=EF×EF+3，
\EF =1．······（8分）
25．（8分）【问题背景】我国利用“大数据+农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能
温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益．【素材1】如图-1，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线AED和矩形ABCD构成，已知矩形长16米，
宽1米．抛物线最高点到地面的距离为5米．
【素材2】种植某农作物时，每棵农作物高大约1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间
间隔1m，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布．
【解决问题】
(1)如图-2，O为BC中点，以BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线EO为y轴，建立平面直角坐标系
xOy，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式（无需写出自变量x的取值范围）；
(2)为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中PM,GN垂直于地面，PG
平行于地面，且点P,G均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为
最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米．
1
【答案】(1)y=- x2+5
16
(2)24 21-96米
【难度】0.65
【分析】（1）根据题意，求出A,E,D的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意，易得NG=2ON，设Gm,2m，代入函数解析式进行求解，进而得到NG的长，即可得出
结果．
【详解】（1）解：由题意，A-8,1,D8,1,E0,5，
设抛物线的解析式为y=ax2+5，
1
把A-8,1，代入得64a+5=1，解得a=- ，
16
1
∴y=- x2+5；······（3分）
16
（2）解：∵PG平行于地面，且点P,G均在抛物线上，
∴P,G关于y轴对称，
∵PM,GN垂直于地面，
∴M,N关于y轴对称，
∴OM =ON ，
∵“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，∴PM =PG=NG=MN ，
∴NG=2ON，
1
∴设Gm,2m，则- m2+5=2m，······（5分）
16
解得m=4 21-16或m=-4 21-16（舍去），
∴2m=8 21-32，
∴PM =PG=NG=8 21-32，
∴3PM =24 21-96
故最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是24 21-96米．······（8分）
26．（12分）如图，根据题意解决下列问题
(1)问题探究：如图①，点A是线段BC上方的一个动点，连接AC、AB，AC =BC =4，当
V
ABC的面积
为8时，ÐACB的度数是______°；
(2)如图②，在
V
ABC中，BD平分ÐABC交AC于点D，过点C作CE∥AB交BD的延长线于点E，求
AB AD
证： = ；
BC CD
(3)问题解决：如图③，矩形ABCD是一个工业园区示意图，AD=900m，AB=500m．现要在这个矩形工
业园区里规划出一个新材料加工区
V
PBQ，点P计划建成运输站（点P是BC上方的动点），点Q在边BC
上，BQ=600m，点E在线段BQ上，BE=2QE．连接PE，PE计划建成运输轨道，且PE平分
ÐBPQ．为满足加工需求，要求 PBQ的面积尽可能的大．请问 PBQ的面积是否存在最大值，若存在，
V V
请求出 PBQ的最大面积，若不存在，请说明理由．
V
【答案】(1)90
(2)见解析
(3)V PBQ的面积存在最大值， V PBQ的最大面积为120000m2
【难度】0.4
【分析】（1）过点A作AD^BC于点D，可求得AD的值，即可得到AD和AC重合，即ÐACB=90°；
AB AD AB AD
（2）证明△ADB∽△CDE，可得 = ，再利用等腰三角形的判定和性质，可得 = ；
CE CD BC CD
（3）延长BP到点G，使得PG=PQ，作ÐQPG的平分线交BC的延长线于点H，连接GH，证明
GH PG QH 1
△QPH≌△GPHSAS，由（2）可得 = ，推出 = ，即可求得QH，作△PEH 的外接圆
BH BP 600+QH 2e
O，则圆心O是EH 的中点，点P在矩形ABCD内部的
e
O上运动，过点O作半径OF ^BC，连接
BF，QF ，则可得当点P与点F重合时，
V
PBQ的面积最大，计算出即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作AD^BC于点D，
当
V
ABC的面积为8时，
AD×BC
=8，
2
16
\AD= =4，
BC
AC =4，
Q
\AD和AC重合，
即ÐACB=90°；······（2分）
（2）证明：∵CE∥AB，
∴ÐA=ÐACE，ÐABD=ÐE，
∴△ADB∽△CDE，
AB AD
∴ = ，
CE CD
∵BD平分ÐABC，
∴ÐABD=ÐCBD，
∴ÐCBD=ÐE，
∴BC =CE，
AB AD
∴ = ；······（5分）
BC CD
（3）解：∵BQ=600m，BE=2QE，
∴BE=400m，EQ=200m．
延长BP到点G，使得PG=PQ，作ÐQPG的平分线交BC的延长线于点H，连接GH，
则ÐQPH =ÐGPH，
PH =PH，
Q
∴△QPH≌△GPHSAS，
∴ÐPHQ=ÐPHG，QH =GH ．GH PG
由（2）可得 =
BH BP
∵PE平分ÐBPQ，
PQ QE PG QE 1
∴ = ，即 = = ，
PB BE PB BE 2
GH PG 1
∴ = = ，
BH BP 2
QH 1
∴ =
600+QH 2
∴QH =600m
∴EH =800m
∵PE平分ÐBPQ，PH平分ÐQPG，
∴ÐEPH =90°
作△PEH 的外接圆
e
O，则圆心O是EH 的中点，点P在矩形ABCD内部的
e
O上运动，过点O作半径
OF ^BC，连接BF，QF ，
∵OF =400m<AB，OB=BE+OE=800m<BC
∴点F在矩形ABCD内部．
∴当点P与点F重合时，
V
PBQ的面积最大，
1 1
∴S = BQ×OF = ´600´400=120000m2，
△PBQ最大 2 2
∴V PBQ的面积存在最大值， V PBQ的最大面积为120000m2．······（12分）