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2019年数学（三）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（C）.
【解】方法一由lim三二竽三=lim上二萼£ =—寺得Z—tan工〜一£川（工—0）,
—0 x … 3工' 3 3
故工一tan x为3阶无穷小，即k = 3,应选（C）.
方法二 由 tan x =x + 3 + o （j: 3 ）得 z - tan x x3 （ j: 0）,
故怡=3,应选（C）.
（2） 【答案】（D）.
【解】令 /（j： ） = J? 5 — + b,
则 f'（J7 ） = 4 一 5 = 5（x2 + 1）（J72 一 1 ）,
当工 <一 1 时,f'Q） > 0；当 一 1 <工 < 1 时,f\x） < 0；当工 > 1 时，/■'（#）> 0,
极大值/■（一 1） = 4 +茶极小值/（I） = —4 + &,
又 lim f O = 一 00 , lim /（） = + 00 ,
工一►—
―► — OO j—OO
故方程工5—5工+怡=0有3个实根的充分必要条件是/（-1）>0,/（1）<0,即一4 Vb <4,
应选（D）.
⑶【答案】（D）.
【解】 微分方程y" + ayr by =ce的特征方程为A 2 + aA + 6 = 0,
由夕=（G +。2工）亍+eJ为方程的通解可知，其特征根入i =心=一 1，
则 a = 2、b = 1 ；
再由y * = eJ为微分方程j/' + ay' + by =*ce 的特解得c = 4,应选（D）.
（4） 【答案】（E）.
【解】 因为级数空 匕条件收敛，所以lim —=0,
n
” =]n
7）
则存在M>0,对一切的"，有 — O9故点(兀9 — 2)为拐点.
当 X 6
1 — 2
(11)［答案】
18
【解】
J J )d(+ 1 3 ______________
j：2 f Cjc )dx — b ) a/1 + jc4 dx
0
=一巨 i L ri V*d ,_ ( _ ll _ + ___ +')=—辽 1 x§ 9 (l +*)? 1 11 1 — 2 42
Io = -18~
(12)【答案】0.4.
dQA/d/?A ____________ Pa
【解】可AA (2pA + pB)
Qa /Pa 500 — p\ — PaPb + 2/>b
_________400_________
当 pA =10,pB =20 时,r]AA =0. 4.
500 - 100 - 200 + 800
(13)【答案】1.
【解】 因为AX^b有无穷多个解，所以|A | = 0,1 0 -1
而 |a | = 1 1 -1 =a2 — 1,则 a= —1 或 a=l.
0 1 a2 -1
当a = — 1时，
I1 I1
0 -1 0 \ 0 _ 1 0 \
】 1 -1 1 -A 0 1 0
'o -J 'o —2/
1 0 0 0
因为r(A) ^r(A),所以当a =一1时，方程组A X=b无解
当a = 1时，
0 -1 卩 0 _ 1 °\
1 -1 0 1 0 】
、0 ］丿 0)
1 0 0 0
因为r(A) =r(A) =2 < 3,所以当a =1时，方程组AX =b有无穷多个解，故a =1.
2
(14)【答案】 y.
4
【解】 • — jc dj;=—
2 3
分布函数 F(z)=J /(j: )dj?,
当夂V 0时,FQ) = 0；
rx 2
当 0 WzV2 时,F(z)=| 手 dz=?；
J o 2 4
当攵N 2时，F (攵)=1,即
0, •z V 0,
FQ)=」?，
0 W rr V 2,
4
.1, ■r $ 2,
故 P{F(X) >E(X)-1} =P(F(X) = < 1
后2
JC . n X
2
后
2
=
2
=1 —djc = 1-----------— I
2 4
0 0
三、解答题
(15)【解】 当工 > 0 时 )=(工加)'=(e2^lnx =x2x • (21n j? + 2)；
当工 V 0 时 J，(无)=(z + l)e"，
f(T} — f(o) e2xlnx — 1
由 lim -------------------= lim --------------= lim 21n x = — 00 得
H-o+ x —Q H-o+ 3C —+
)在z = 0处不可导9于是有
\x2x (21n z + 2) 9 h〉0，
/(^)= I 、
【(•z + l)e” 9 h V 0,f'G）= 0或）的不可导点为工=—1,夂=0,工=右
当工 <一1 时，/（^） < 0；当一1 V# <0 时,f\x） > 0；当 OVh <右时，尸（工）vo；
当工〉丄时> 0,
e
故工=-1为极小值点，极小值为/
•Z =0为极大值点，极大值为/（0）=1
72
■r =丄为极小值点，极小值为
7
e
字 —幷+咒,
（16）【解】 =_z
9jc
d2e
—2- = — f ；\一2代一曲、
dx2 J
32
8 =1 一冗+冗一打+必=1—九1+冗,
3x dy
n2
= - /u + /；2 + fL - f 22 = - fn + 2/u - fz2,
3y2
故*n2 + 带n2 g + p2 =—仟；—2冗—冗 + 1 — /„ + f：2 -fn+ 2允—f；2
dj： dxdy 3y6
=1 — 3f ：\ 一 f £・
・ e卜心 ck+C)e+2=(Vr + C)$,
（17）【解】（I）y
2后 >
2
由)(1) =Ve 得 C = 0,即 y (工)=e 2 ・
(II )V = J Tty2 Ajc =兀 2 加 cLz
Z
i
(18)【解】所求面积为
A = f e~x | sin z | dr = lim 工(—1)"[ ■1)K
e~x sin x dx
J o ”f°°& = o J kn
-”. 「 -i （屮）兀
=lim 艺(—1)"----e_J (sin x + cos x )
Z
°° k — Q
= £lim£ (- 1)屮[「"+5( - 1)屮 _e“(一 1)"]
2 ”~°°怡=
0
=£血空[严》+*e- "]=£li m[：l + 2袞-"+「"+5]
2 ”f°° 走 2 ”f°° & = i
=o
= l(l + 2Se-) = l(l +
=丄+丄
2 en-l"(19) ( I )【证明】 因为当0 < 1时，工”+1 丿1—川 W\_芒,
”+1
所以 xJ\ — jc2 djc V 乂”丿1 —力 2 dr 9 即 Q 卄 1 V 5 9 故｛孙｝单调递减.
0 < 0
S — x = sin = t 2 sin"t • cos2/dz = 2 (sinl — sin"+S)d£
o 0
$ sin"tck— [2 sinr,+2Zdz — In —
—y—
J n + 2
o o
x = sin t 2 sin"—S • cosLck = 2 (sinn_2Z — sin"/)d£
an-2 =
0 0
n 一 * n
因为/ 所以
”_2, L-2
n n — 1
工曰 n 1
十是 Q 7 /
n-2 = n — 1 n n — 1
故 a„ —|a„_2 (n =2,3,…).
n + Z
(n)［解】
因为仏”｝单调递减，所以a” =J^a” 一
n L 2 72 十 2
从而有— <1,
"十 Z a ”一
i
由夹逼定理得lim旦-=1.
(2
”fOO
I1 1 1 \ /I 1 1
(20)[解】(a! ,a2 ,a3) = 1 0 2 — 0 — 1 1
/+3/ 'o 0 a2 -1
4
当a = — 1时，向量组Cl 1 9 a 2 ,a3的秩为2,
/I 0 I1 0
由(01 902 903)= 1 1 2 3 -A 0 1 1得4，02，卩3的秩为2,
'2 4/ '0 o'
2 0
1 1 1 0 i\ I1 1 1 1 0 1
(Cfi 9 (Z 2 9 a 3 901 9 fl 2 903)= I 1 0 2 1 2 3 -»0 _ 1 1 0 2 2
4/ '0
4 4 2 2 0 0 -2 2 0
因为r(a｝ ,«2 ,a3) # r｛ax ,a2,a3 ,p2,03)，所以两个向量组不等价;
I1 1 1 1 0 I1 1 1 1 0
当 Q = 1 时 9(5，°2』3901 902903)= 1 1 0 2 1 2 3 -A 0 -1 1 0 2 2
'4 4/ '0 o'
4 4 4 0 0 0 0 0
因为厂(5』 2 心 3)= r(0i ,02,03)= r(ai ‘a?』 3 ,心，鳧，03)=2,所以两个向量组等价,
令工。
1 +
T2a2
+^3«3
=03，
I1 1 1 I1 1 1 I1 0 2 3 \
再由(a】?(x2 9(X3 903)= 11 0 2 3 -A O _ 1 1 2 -A O 1 -1 _2得
'4 J '0 q ' '0 o'
4 4 0 0 0 0方程组厂
—2& + 3
k-2 Ck为任意常数），
k
故 03 =（—2怡 +3）«! + （k -2）a2+ka3（k 为任意常数）.
当a工±1时，向量组a】 a 的秩为3,
9 2 9^3
1 0 1 1 0 1 1 0 1
由 1 2 3 0 1 1 0 1 1 得
（01,02,03）=
匕+ 3 1 — a a2 + 3 0 1 - a a2 —a 0 0 a2-1
向量组庆，02，03的秩为3,故两个向量组等价,
令工+ +Z 3<«3 =03，
/I 1 1 1 \ 1 1 1 \
3卜
由（Ct 1 , U 2 , （X 3 ,03）= 1 0 2 ,° -1 1 2
6? +3/
4 4 a2 +3 'o 0 a2 _ 1 a2 - 1'
/] 1 1 1\ I1 1 0 °\ I1 0 0 1 \
0 -1 1 2 - A O -1 0 1 -M° 1 0 T 得
'o J 'o J 'o 1 /
0 1 0 1 0 1
03 】一a2 + a3•
= a
（21）【解】（I ）因为A〜所以 tr A = tr B ,即 z — 4=y + l,或夕=工—5,
再由 | A | = |b| 得一2（— 2x +4） = — 2y,即 y= — 2工 + 4,
解得
jc
=3,夕=一2.
/-2 -2 1 \ F 1 0
（n）a = 2 3 ~2 B = 0 _ 1 0
—2丿 ♦ 一2/
' 0 0 0
显然矩阵A,B 的特征值都为4 =一2,入2 =—1 ,A 3 = 2,
1 0
-0 -2 1 I
由 2E +A 2 1 0 1 得A的属于特征值小=-2的特征向量为
0 1
0 0 0 2
0 0 0
/I 2 _ Z1 2 °\
由 E +A — 0 0 1 -A O 0 1得A的属于特征值入2= —1的特征向量为
'o 0 / 'o
0 0 O'丄
2 1 -2 1 0
2
由 2E-A 0 0 1 得A的属于特征值心=2的特征向量为
0 0 1
0 0 0
10 0 0
-2 -2 0 0
1 2 ，则 PJAP] 0 -1 0
0 '
0 0 0 2
[4 1 °\ /I 0 °\ /°\
b
由 2E+B = 1 0 -A O 1 0得B的属于特征值入1=—2的特征向量为01 ==0
'0 q ' '0 J
0 0
丄
1 0 1 0
0 0 得B的属于特征值A2=-l的特征向量为
0 0 1
'0 0 -1
0 0 0
/° -1 °\ /° 1 0\ /!\
由 2E-B = 0 3 0 -* 0 0 1 得B的属于特征值入2 =2的特征向量为03 = °
'o 'o 0
0 0，
0 -1 1\ / -2 0 °\
令P2 = 0 3 ° ，贝 1 」 P7 BP2 = 0 - 1 o
2/
1 0 o' 0 0
由 P"P1 = P21 BP2 得(PiPF)tA(P】P『)=B,
I-1 - 1 - 1\
故P=P】P『=2 1 2 .
' 0 0 4 '
(22)【解】(I )因为X〜E(l),所以X的分布函数为
(1 - e~x ,工 $ 0,
FQ)=
'0 x < 0,
9
Fz(z)= P{XY^z}= P{Y= -l}P{XY^z I Y = -1}+P{Y= l}P{XY^z I Y= 1}
= pP{-X ^z} (1- p)P{X ^z} =pP{X z} + (1 — p)P{X w z}
=/> 口 一 P {X W— z} 3 + (1 一 p) P {X Wz} = _p[l — F (— z)] + (l — p) F (z),
当 z VO 时,FZ (z) = pez ；
当 z N 0 时 ，Fz(z) = p +(1 — p)(l — J"),
pez, z V 0,
故 7"z(z)=
(1一/0亍，z 0.(n )Cov(X,Z) =Cov(X,XY) =E(X2y)-E(X)・ E(XY)
= E(X2)E(y)- [E(X)]2E(Y) =D(X) • E(Y),
因为 X 〜E(l),所以 E(X) =1,D(X) =1,
又因为 Y 〜)，所以 E(Y) =(-l)p + (1 - p) = l-2p,
\ f> p'
X与Z不相关的充分必要条件是Cov(X,Z) =0,
故当/> = -|-时，X与Z不相关.
(HI)设FQ,z)为(X,Z)的联合分布函数，
F(l,l) = P{X £ 1,Z W 1} = P{X £ 1,XY W 1}
= P{Y = — 1}P{X < l,xy < 1 | Y = -l} +
P{Y = 1}P{X £ 1,XY £ 1 | y = l}
= pP{X < 1, - X < 1} + (l-p)P{X 1}
= PP{—1WXW1} + (1 — /OP{XW1}
= P{X < 1} =F(1) =1 ——，
e
Fx(l) =P{X < 1} =1 ——,
e
Fz(l)=p + (1-P)(l----),
\ e >
因为F(l,l) H Fx(l) • Fz(l),所以X与Z不相互独立.
(23)【解】(I )由归一性得
+°° A - ，+8 2 工—p ・+oo _d
1 = —e / dr =A e 2 d =A e 2 dt
o
+8
1 -4, 州人「+ 1 -T, 州人
_e 2dt=--A\ 8 —e 2dz =—-A,
0 a/2tT 2 J-°° 2
2
解得A =
7t
(A川”
(U)似然函数为L(<72)
取对数 In L (a2) =nln A — -yin a2 — 》(x,—汀，
/ 2(7 ：=]
由其4n L/)=—善• g + S — = 0 得
da 厶 (5 乙 o
t = i
/的最大似然估计值为异=2 — ")2,
n
, = i
故“2的最大似然估计量为产=2£(X, — Gt
