文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求直线与双曲线的交点坐标
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列
向量夹角的坐标表示
等比数列前n项和的基本量计算
2023年新Ⅱ卷，第8题,5分 无
等比数列前n和的性质及应用
等差数列通项公式的基本量计算
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分 等比数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新Ⅱ卷，第12题,5分 求等比数列前n项和 数列新定义
等比数列通项公式的基本量计算
2020年新I卷，第18题,12分 无
求等比数列前n项和
等比数列通项公式的基本量计算
2020年新Ⅱ卷，第18题,12分 无
求等比数列前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等比数列的概念
2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题
4.熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通
项公式及前n项和。需综合复习知识讲解
1. 等比数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，
用 表示
2. 数学表达式
3. 通项公式
， ， ，
4.
等比数列通项公式与函数关系
等比数列 为指数型函数
5. 等比中项若 ， ， 三个数成等比数列，则 ,其中 叫做 ， 的等比中项
6. 等比数列通项公式的性质
（1）若 或
（2）若 ， 为等比数列，则 ， 仍为等比数列
7. 等比数列前n项和
8. 等比数列前n项和与函数关系
等比数列 前 项和公式是指数型函数
9. 等比数列前n项和的性质
（1） ， ， ……仍成等比数列
（2）
10. 证明数列为等比数列的方法
（1） （ 为常数） 为等比数列
（2）若 ,则 ， ， 三个数成等比数列
考点一、 等比数列项、公比及通项公式的求解
1．（2024·山东青岛·一模）等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．32 B．24 C．20 D．16
2．（2022·全国·高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
1．（2023·全国·高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
2．（2024·四川遂宁·三模）等比数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式：
(2)记 为 的前n项和，若 ，求m．
3．（2024·上海·三模）已知等比数列 的公比 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，且 是严格增数列，求实数 的取值范围．
考点二、 等比中项的应用
1．（2024·湖北荆州·三模）若实数 成等差数列， 成等比数列，则 = .
2．（2024·江西九江·三模）已知等差数列 的公差为 ， 是 与 的等比中项，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东茂名·模拟预测）在公差为正数的等差数列 中，若 ， ， ， 成等比数列，
则数列 的前10项和为 .1．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 ＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列 是公差为2的等差数列，若 成等比数列，则
（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列 中， ，且 成等差数列，则
（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
考点三、 等比数列的性质
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 是等比数列，若 ， 是 的两个根，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（广东·高考真题）若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
.
3．（全国·高考真题）设 是由正数组成的等比数列，公比 ，且 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
4．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =
A． B．7 C．6 D．
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．12 B．10 C．5 D．2．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
3．（2024·四川成都·模拟预测）设数列 是等比数列，且 ，则
.
考点 四 、 等比数列前项和的求解
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B．3 C．1 D．
3．（全国·高考真题）等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
1．（2023·全国·高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
2．（2024·江西南昌·三模）已知 是单调递减的等比数列，若 ，前3项和 ，则下列说法中正
确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（全国·高考真题）已知数列 为等比数列， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 是数列 的前n项和，证明 ．
考点 五 、 等比数列前项和的性质1．（2023·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
2．（2021·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记 为公比小于1的等比数列 的前 项和， ， ，则
（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ， ，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
1．（2024·四川内江·三模）在等比数列 中， 为其前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则
（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，
则 的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
考点 六 、 等比数列通项公式与前项和的关系
1．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， 为实数，则
.2．（2024·宁夏银川·三模）设数列 的前n项和为 ，已知 ，
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求使得 成立的n的最小值.
3．（23-24高三上·广东潮州·期末）公比为 的等比数列 的前 项和 ．
(1)求 与 的值；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
1．（2024·全国·模拟预测）记 为数列 的前n项和，则“ 为等比数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（浙江·高考真题）设数列{ }的前 项和为 .已知 =4， =2 +1， .
（Ⅰ）求通项公式 ；
（Ⅱ）求数列{| |}的前 项和.
3．（山东·高考真题）设数列 的前n项和为 .已知 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求 的前n项和 .
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在不同
三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
考点 七 、 等比数列的函数特性与最值
1．（北京·高考真题）设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列 的前 项和为 ，设甲： ，乙： 是严格增数
列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要
条件
3．（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则 取最大值时 的值
为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列 的首项为 公比为q，下列条件能使 既有最大值，
又有最小值的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（23-24高三上·江西·期中）（多选）在等比数列 中， ， ， ，若 为
的前 项和， 为 的前 项积，则（ ）
A． 为单调递增数列 B．
C． 为 的最大项 D． 无最大项
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列 的公比为 ，则“ 且 ”是“ 是递减
数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知正项等比数列 的前 项的积为 ，且公比 ，若对于任意
正整数 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 取
最大值时， 的值为 ．
4．（2023·广东佛山·一模）等比数列 公比为 ， ，若 （ ），则“
”是“数列 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 八 、 等比数列中的数学文化
1．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里
关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一
个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.
则此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
2．（北京·高考真题）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，
为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第
二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f，则第八
个单音的频率为
A． B．
C． D．
3．（2023·江苏·模拟预测）（多选）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一
项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形
都有关系．记佩尔数列为 ，且 ， ， ．则（ ）
A． B．数列 是等比数列C． D．白银比为
1．（2023·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不
为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为 里，第一天健步行走，
从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后 天共走的
里程数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，
从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到
的玉米总量为（ ）
A． 斗 B． 斗
C． 斗 D． 斗
3．（2023·全国·模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：
假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14
只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为 ，
每个月老鼠的总数量为 ，数列 ， 的前 项和分别为 ， ，可知 ， ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点 九 、 等比数列的证明
1．（全国·高考真题）数列 的前n项和记为 ，已知 ， （ ），求证：
（1）数列 是等比数列；
（2） ．
2．（四川·高考真题）设数列 的前n项和为 ，已知 ．(1)证明：当 时， 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)证明 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在正整数 ，使得对任意的正整数 ， 总成立？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由.
4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 ，若 是递增数列，求实数 的范围.
5．（22-23高三上·浙江宁波·期末）已知正项数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，证明： .
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对于任意 恒成立，求实数
的取值范围.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知 为等比数列 的前 项积，若 ，且
（ ）A． B． C． D．
2．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，
则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．
C． D．
三、填空题
4．（2024·上海浦东新·三模）已知数列 为等比数列， ， ，则 .
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 为各项均不相等的等比数列，其前 项和为 ，且
成等差数列，则 .
四、解答题
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 为等比数列 的前 项和，若 成等差数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
7．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
8．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ，
， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；(2)若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
9．（2024·新疆喀什·三模）已知数列 的首项 ，且满足 （ ）．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列 的前 项和为 ，满足 ，数列
也为等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）设 是公比为 的无穷等比数列， 为其前 项和．若 ，则“
”是“数列 存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），
例如：从蜂房 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用 表示
蜜蜂爬到 号蜂房的方法数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
3．（2024·江西·模拟预测）已知 是等比数列 的前5项中的其中3项，且 ，则 的前7项
和可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（2024·北京·三模）已知等比数列 满足： （ ），请写出符合上述条件的一个等比数列 的通项公式： ．
5．（2024·上海·三模）无穷等比数列 满足： ， ，则 的各项和为 ．
四、解答题
6．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，且满足 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 .
7．（2024·山东烟台·三模）在数列 中，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前n项和，证明： .
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
9．（2024·浙江·三模）已知等比数列 和等差数列 ，满足 ， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
10．（2024·江西赣州·二模）已知数列 满足 ， ， ， 成等差数列.
(1)求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，证明： .
1．（2024·天津·高考真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
2．（2023·天津·高考真题）已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
4．（2021·全国·高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成
等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
5．（2020·全国·高考真题）设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
6．（2020·海南·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
7．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
8．（2020·山东·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．6．9．（2020·天津·高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
10．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
