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第 29 讲 抽屉原理（一）
一、知识要点
如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽
屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱
中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位
同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那
么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞
k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后
按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明
理由，得出结论。
[来源:Zxxk.Com]
本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。
二、精讲精练
【例题1】某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？
为什么？
把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到
366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一
天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把
367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两
个学生的生日是同一天。
[来源:学科网ZXXK]
练习1：
1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？
2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？
【例题2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本
的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相
同的书（每种书最多买一本）？
首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型
看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的
人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买
到相同的书。
买书的类型有：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的
书，至少要去8位学生。
练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：
有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两
位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那
么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三
种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？【例题3】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、
黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？
把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色
的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时
拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2
只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要
摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原
理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有3
副同色的，共摸出的手套有
5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。
练习3：
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四
种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：
最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？
3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子，最
少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？
【例题4】任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这
是为什么？
一个自然数除以4的余数只能是0，1，2，3。如果有2个自然数除以4的余
数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，3，所以，把这4种情况看做时个抽
屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉
中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。所以，
任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。
练习4：
1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什
么？
2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？
3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。
[来
源:学科网]
【例题5】能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3
这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相
同？
由图29-1可知：所有空格中只能填写1或2或3。因此每行、每列、每条对
角线上的5个数的和最小是1×5=5，最大是3×5=15。从5到15共有11个互不
相同的整数值，把这11个值看承11个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各
个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因
为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5，最大是15，从5到15共有
11个互不相同的整数值。而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个，
所以，这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
练习5：
1、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任
一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？
2、证明在8×8的方格表的每个空格中，分别填上3，4，5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。
3、在3×9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝
色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？
答案：
练1
1、 1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽
屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的
2、 2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，
至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同
一天。
3、一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽
屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出
生。
练2
1、买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买4
本的有一种，共有4+6+4+1＝15种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保证
有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。
2、从三周图书种任意借2本，只有6种情况。要保证有两个所借的图书属于
同一种，至少要7个学生。
3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取出4只珠子。
练3
1、思路同例3，最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。
2、把三种颜色看作3个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出4只袜子，这时
拿出1双同色的后，3个抽屉中还剩2只袜子。以后，只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同色的，最少要摸4+2+2＝8只袜子。
3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出8只都是同一
颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少要
拿出8+3＝11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。
练4
[来源:学.科.网]
1、一个自然数除以5的余数可能是0、1、2、3、4，把这5种情况看做5个抽
屉，6个不同的自然数放入这5个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这两数
的余数是相同的，所以它们的差一定是5的倍数。
2、一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7，把这8种情况看做8
个抽屉，要保证至少有两个数的差是8的倍数，就要保证至少有1个抽屉里有两
个数，根据抽屉原理，要取9个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8
的倍数。
3、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n－1，把这n种情况看作
n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，
这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。
练5
1、不可能。因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6，最大是
18。从6到18共有13个不同的整数值，而6行、6列及两条对角线上的各个数的
和共有14个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
2、因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24，最大是40。从24
到40共有17个互不相同的整数值，而8行、8列及两条对角线上的各个数的和
共有18个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
[来源:学科网ZXXK]
3、每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列 3个方格的土色就有
2×2×2＝8种不同情况，把这8种情况看做8个抽屉，根据抽屉原理，9列中至少有两列的土色方式是相同的。
