文档内容
2015 年小学奥数计数专题——加法原理
1．如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对．问这样的
数对共有多少个?
2．一本书从第l页开始编排页码，共用数字2355个．那么这本书共有多少页?
3．上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页．问上册书有多少页?
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个
数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积?
5．将所有自然数，自1开始依次写下去得到：
123456789101112……
试确定在第206788个位置上出现的数字．
6．用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有多少种不同的凑法?
7．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个?
8．用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种
方法？
9．各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
10．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条若干，从中选取适当
的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？
11． 一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验
多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？
12．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有 4班，
汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种
不同走法？
13．旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用
挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？
14．用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种
方法？
15．各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
16． 小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有
多少种不同的登法？
17．按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?
试卷第1页，总3页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1．79
【解析】
被减数最小可为1000，最大可为9999－8921=1078，且从1000到1078中任何一个数都可
以作为被减数．
共有79个被减数，从而这样的数对共有79个．
2．821
【解析】
从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；
从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；
从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字；
显然这本书的页数在100～999之间，有2355－9－180＝2166，而2166÷3＝722，所以这
本书有100+722－1＝821页．
3．153
【解析】
两本书页码所用的数字大致相当，
从1～9页，每页使用1个数字，共需9个数字；
从10～99页，每页使用2个数字，共需90×2＝180个数字；
从100～999页，每页使用3个数字，共需900×3＝2700个数字．
显然，两本书的页码均在100～999之间，而前99页两本书共用去(9+180)×2＝378个数字，
还剩下687－378＝309个数字．
上册书比下册书多的5页，每页均需3个数字作为页码，所以上册比下册多用5×3＝15个
数字．
于是在剩下的 309个数字种，上册用了(309+15)÷2＝162个数字，即 3位数的页码有
162÷3＝54页，所以上册有100+54－1＝153页．
4．13
【解析】
题中的5个数相加最小为1+2+3+4+5＝15，最大为6+7+8+9+10＝40，即题中5个数相加的
和有40－15+1＝26种可能．
而10个数的和为1+2+3+4+…+10＝55．
如果我们假定被乘数不超过乘数，那么被乘数有26÷2＝13种可能，而当被乘数确定，乘
数也就是确定为“55－被乘数”，并且这些的乘积没有重复．(如果被乘数大于乘数，都可
将上面的被乘数、乘数互换而得)．
所以共有13种不同的乘积．
5．7
【解析】
有1～9为1位数，所以占有9×1＝9个数字；
10～99为2位数，所有占有90×2＝180个数字；
100～999为3位数，所以占有900×3＝2700个数字；
1000～9999为4位数，所有占有9000×4＝36000个数字；
10000～99999为5位数，所有占有90000×5＝450000个数字．
现在第206788个位置对应的5位数在10000～99999之间，有206788－9－180－2700－
36000＝167899，167899÷5＝33579……4，所以对应的数字为10000+33579＝43579的从左
至右的第4个数字，即7．
答案第1页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
6．541
【解析】
5分的硬币最多可以有100÷5＝20枚；
当5分的硬币有20枚，那么只有这1种凑法；
当5分的硬币有 19枚，则剩下的 5分由1分和2分的硬币凑成，有 2+2+1＝2+1+1+1＝
1+1+1+1+1＝5，所以共有3种凑法；
当5分的硬币有18枚，则剩下的10分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2，2分的可
以替换为1分的，于是有5+1＝6种凑法；
当5分的硬币有17枚时，则剩下的15分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+1，
2分的可以替换为1分的，于是有7+1＝8种凑法；
当 5 分 的 硬 币 有 16 枚 时 ， 则 剩 下 的 20 分 由 1 分 和 2 分 的 硬 币 凑 成 ， 有
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有10+1＝11种凑法；
当 5 分 的 硬 币 有 15 枚 时 ， 则 剩 下 的 20 分 由 1 分 和 2 分 的 硬 币 凑 成 ， 有
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有12+1＝13种凑法；
于是，我们把两种情况作为一组，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，…，
即每组数内两个数字相差2，从第2组开始，每组数的第一个数字比前一组的第一个数字
大5，
5分的硬币可以取20～0枚，即有21种情况，分成10组还剩下一种情况，
有(1，3)，(6，8)，(11，13)，(16，18)，(21，23)，(26，28)，(31，33)，(36，38)，
(41，43)，(46，48)，51
所 以 共 有 (1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+38+43+48) ＝
(1+51)×11÷2+(3+48)×10÷2＝286+255＝541种．
即用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有541种不同的凑法．
7．45
【解析】
我们将符合条件的两位数列出
十位数字 个位数字
1 0
2 0，1
3 0，1，2
… …
9 0，1，2，…，8
因此，符合要求的两位数有1+2+3+4+…+9＝(1+9)×9÷2＝45个．
8．10
【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2
角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张
2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。
9．10
【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9+8+7；
答案第2页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
①由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；
②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；
③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。
所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。
10．70
【解析】围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。
要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。
这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。
根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：
第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。
由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰
长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是：
①腰长为1的三角形1个：1、1、1。
②腰长为2的三角形3个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。
③腰长为3的三角形5个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。
④腰长为4的三角形7个：4、4、1；4、4、2；……4、4、7。
⑤腰长为5的三角形8个：5、5、1；5、5、2；……5、5、8。
同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。
第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（个）。
第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。
根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能为是 3厘
米、2厘米、1厘米）：
①最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、
3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。
②最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、
2；7、5、4；7、5、3。
③最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、
3。
④最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。
⑤最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。
第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。
所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70（个）。
11．45
【解析】要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第 1把钥匙
要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；
同理，第2把钥匙最多要试8次；……第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
所以，最多试验次数为：9+8+7……+2+1=45（次）。
12．9
【解析】一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以
一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
13．9
【解析】根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、
蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6种。所以一
答案第3页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
共可以表示出不同的信号
3＋6=9（种）。
14．10
【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2
角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张
2角和1张1角的。
所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。
15．10
【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+6； 24=9+8+7；
24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：
9、9、7三个数字可组成3个三位数：997、979、799；
②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；
③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。
所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。
16．89
【解析】登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平
地跨2级上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级
台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的
方法数之和，共有1+2＝3（种）„„一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨
一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n—1）级
和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道
登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。由登
上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数
的第10个，即89。
17．55
【解析】
如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母，
A B A A B
按箭头所示，走 1有一条路，到 1有2种办法；再往下到 2有从 1走和 2走两种方法，
A B A B B A A B
这样到 2有3条路线；到 2可从 2、 1走，有5种方法到 2．过 3可从 2、 2走，
B A B A A B
共有8条路线；到 3可走 3、 2，这样共有13种走法；经过 4可从 3、 3两条路走，
A B A B B
有21种方法都到 4；到达 4可以走 4和 3，因而有34种路线到达 4．
答案第4页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
A B
这样由A到B，可经过 4和 4两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如下图所示．
因此，从A点到B点的不同路线共有55条．
答案第5页，总2页
