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抽屉原理(一)
我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理
的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。
抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。
理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍
数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉
可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，
但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至
少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60
分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？
分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，
学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，
将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。
44÷21= 2……2，
根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
例2 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参
加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？
分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以
应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项
活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。
2000÷6=333……2，
根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相
同的。
例3把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
分析与解：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是
物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有
几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由 1255÷（4-
1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41
人。
同学们想一想，如果有42个人，还能保证至少有一人分到至少4本书吗？
例4五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。张
老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么，这个班最少有多少人？
分析与解：由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出，应该以各题得分情况为抽屉，学生为物品。
如果用（a，b）表示各题的得分情况，其中a，b分别表示第一、二题的得分，那么有
（2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），
（1，0），（0，2），（0，1），（0，0）
9种情况，即有9个抽屉。本题变为：已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品，求至少有多少件物品。反着用抽屉原理2，
得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。
例3与例4尽管都是求学生人数，但因为问题不同，所以构造的抽屉也不同，例3中将学生作为抽屉，例
4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题，应根据问题灵活构造抽屉。一般地，当问“最少有多少
××”时，应将××作为物品，如例1，2，4；当问“最多有多少××时，应将××作为抽屉，如例3。
例5任意将若干个小朋友分为五组。证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数
分析与解：因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。
将这四种情况作为4个抽屉，五组作为5件物品，由抽屉原理1知，至少有一个抽屉中有两件物品。即这
五组中至少有两组的情况相同，将这两组人数相加，男孩人数与女孩人数都是偶数。
练习29
1.某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一
组至少有几箱？
2.幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
3.有若干堆分币，每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币，才能保证一定有两堆分币的
组成是相同的？
4.图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个同学借
书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？
5.我国人口已超过12亿，如果人均寿命不超过75岁，那么我国至少有两个人出生的时间相差不会超过
2秒钟。这个结论是否正确？
6.红光小学五（2）班选两名班长。投票时，每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多
少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？
7.把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个
小朋友得到的饼干数目相同。为什么？
抽屉原理（二）
例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？
分析与解：将9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。如果涂色方式少
于9种，那么就可以得到肯定的答案。涂色方式共有下面8种：
9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定有两列小方格涂色的方式相同。
例2在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？
分析与解：这道题可以将4个自然数看成4件物品，可是却没有明显的抽屉，这就需要根据题目构造合
适的抽屉。
因为题目要求两个数的差是3的倍数，当两个数除以3的余数相同时，这两个数的差一定是3的倍数，
所以将自然数按除以3的余数分类，可以分为整除、余1、余2三类，将这三类看成3个抽屉。4件物品放入3
个抽屉，必有一个抽屉中至少有2件物品，即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同，它们的差是3
的倍数。所以，任意的四个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。
例3 从1，3，5，7，…，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
分析与解：首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中，两两之和是52的有12种搭配：
｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝，
｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝，
｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。
将这12种搭配看成12个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数1，单独作为一个抽屉。这样就把25
个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽
屉被取出2个数，这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。
例4在下图所示的8行8列的方格表中，每个空格分别填上1，2，3这三个数字中的任一个，使得每行、
每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等，能不能做到？
分析与解：在8行8列的方格表中，8行有8个和，8列也有8个和，2条对角线有2个和，所以一共有
8+8+2=18（个）和。因为题目问的是，这18个和能否互不相等，所以这18个和是物品，而和的不同数值是抽
屉。
按题目要求，每个和都是由1，2，3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的
数相加，和是8；最大的是8个都是3的数相加，和是24。在8至24之间，不同的和只有24-8+1=17(个)。将
这17个不同的和的数值作为抽屉，把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉，至
少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说，这18个和不可能互不相等。
例5用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字，
可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的？
分析与解：猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。因为问题是求相邻的4个数字组成的四位数有多少
个是相同的，所以物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。
在10000位数中，共能截取出相邻的四位数10000-3=9997（个），
即物品数是9997个。
用1，2，3，4这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原理有4×4×4×4=256（种），
这就是说有256个抽屉。
9997÷256=39……13，
所以这些四位数中，至少有40个是相同的。
练习30
1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少要有多少学生报名参加，才能保证其
中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样？
2.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
3.在前10个自然数中，至少取多少个数，才能保证其中有两个数的和是10？
4.右图是一个5行5列的方格表，能否在每个方格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列及两
条对角线上的五个方格中的数字之和互不相同？5.要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至少有几个盒子中放球的数目相同？
6.至少取出多少个真分数，才可以保证其中必有两个真分数之差小于
练习29
1.4箱。提示：92÷（138-110+1）=3……5。
2.28人。提示：200÷（8-1）=28……4。
3.8堆。
提示：每堆只有一枚分币的有1分、2分、5分三种情况，每堆有两枚分币的有1分与2分，1分与5分，2
分与5分三种情况，每堆有三枚分币的只有一种情况。将这3+3+1=7（种）情况作为7个抽屉。
4.11人。
提示：四类书至多借2本的借法有：
甲，乙，丙，丁，甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共10种。将这10种借法看成10个抽屉。
5.正确。
提示：75年约有60×60×24×366×75≈23.72（亿秒），以每2秒为一个抽屉，共有23.72÷2=11.86亿
（个）抽屉，将12亿件物品放入11.86亿个抽屉，至少有一个抽屉有不少于2件物品，即至少有两人的出生时
间在两秒之内。
6.43人。
提示：从4名候选人中选出2名，共有3+2+1=6（种）不同的选法。将这6种选法作为抽屉，全班学生作为
物品，至少应有6×（8-1）+1=43（件）物品。
7.提示：假设16个小朋友每人分到的饼干数目都不相同，则至少有1+2+3+…+16=136（块）饼干，现在只
有135块饼干，所以假设不成立。
练习30
1.31名。
提示：只参加一次活动的有4种选择；
参加两次活动的有下面6种选择：
｛星期一、三｝，｛星期一、五｝，｛星期一、六｝，
｛星期三、五｝，｛星期三、六｝，｛星期五、六｝；
参加三次活动的有下面4种选择，
｛星期一、三、五｝，｛星期一、三、六｝，
｛星期一、五、六｝，｛星期三、五、六｝；
参加四次活动的有1种选择。
共有4+6+4+1=15（种）选择。
2.8。
提示：与例2类似，按除以7的余数将自然数分为7类。
3.7。
提示：与例3类似，分下面6个抽屉：(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5)，(10)。
4.不能。提示：与例4类似。
5.4个。
提示：每盒放1，2，3，4，5，6，7个球，这样的七盒共放球
1+2+3+4+5+6+7=28（个），
85÷28=3……1，
所以至少有4个盒中的球数相同。
6.11个。
