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数字谜（一）
数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如
用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能
锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除
法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立
（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数
所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号
内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：
□□□×□□=□□×□□=5568。
解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道，将 5568分解为
两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的
乘积有六种：
12×464， 16×348， 24×232，
29×192， 32×174， 48×116。
显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。
例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。
由
443000÷573=773……71
推知， 443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。
先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十
位相减后的差是1，所以商的十位是9。这时，虽然89×96=8544，但不能认为六位
数中间的两个□内是85，因为还没有考虑前面两位数。
再从左边做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。
由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896。由3796×89=337844，
3896×89=346744
知，商是3796，所求六位数是337844。
例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表
相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是
5。如果N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两
边的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。
此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，所以
E=5。
竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加
法都要向上进位。因为N=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。
再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且
X≠0或1，所以R+T+T+1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。
若T=7，则R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F
不可能是2，4，6中的数，矛盾。
若T=8，则R只能取6或7。R=6时，X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现
矛盾；R=7时，X=4，剩下数字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。
所求竖式见上页右式。
解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。
这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40，
10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧极了！
例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同
的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。
分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运
算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。
因为百位加法只能向千位进1，所以E=9，A=1，B=0。
如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，与E=9矛盾，所
以个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7。余下的数字有2，3，4，5，
6，由个位加法知，G比D大2，所以G，D分别可取4，2或5，3或6，4。
所求竖式是
解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、
定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解
的情况，是否有多个解。
练习1
1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是
621819，求原来的四位数。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字
请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。
5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：
□□×□□=□□×□□□=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
练习1
1.6281。解：621819÷（100-1）= 6281。
2.（1）由百位加法知，A=B+1；再由十位加法A+ C=B+10，推知C=9，进而得到A=5，B=4（见左下式）。
（2）由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=9。因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百
位减法是（10+B-1）-A=A，
化简为9+B=2A，将B=A-1代入，得A=8， B=7（ 见右上式）。
3.1÷（2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9）=90720。
4.1÷（2÷3）÷4÷（5÷6÷7÷8）÷9=2.8。
5. 46×79= 23×158= 3634。
提示：3634=2×23×79。
6.391344。提示：仿照例3。
7.774888。
提示：仿例4，商的后3位是336，商的第一位是8或9。
数字谜（二）
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相
分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）×3=10x+1，
300000+3x=10x+1，
7x=299999，
x=42857。
这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。
例2 在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
求竖式。
例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖
式成立。
解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位
数，所以x=112，被除数为989×112=110768。右上式为所求竖式。
代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方
法。
例4 在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上
方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23×53的倍数，即除数
和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位
数，所以除数是8的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96
的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。因为，c=5，5与除数的
乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知b=6。因为商的后三位数是125的
奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。至此，已求出除数
为16，商为6.375，故被除数为6.375×16=102。右式即为所求竖式。
求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾
出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2（n 不含因子5），另一个含有因子5n
（不含因子2），以此为突破口即可求解。
例5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个
一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。
分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10**0（见竖式（1）'），竖式（1）的除
数为3或9。在竖式（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2
或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4，6或8。
当竖式（1）的除数为3时，由竖式（1）'知， a=1或2，所以被除数为100*0或
101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖
式（2）的除数为4，被除数为10020；当竖式（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位
数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位
数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式
（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整
除，可得竖式（2）的除数为8，被除数为10440。
所以这个五位数是10020或10440。
练习2
1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的
2.用代数方法求解下列竖式：
3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
练习2
1.（1）4285；（2）461538。
7×(1000A+ B)= 6×(1000B＋A)，
化简后得538A=461B，由于538与461互质，且A，B均为三位数，所以A=461，B= 538。所求六位数是
461538。
2.（1）124×81=10044；（2）117684÷12= 9807。
提示：（1）设被乘数为a，由8a≤999，81a≥10000，推知
所以a=124。
（2）根据竖式特点知，商是9807。设除数是a，根据竖式特点由8a＜100，9a≥100，推知
所以a=12。
3.（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：易知f=2，g=0；由g=0知b，d中有一个是5，另一个是偶数而f= 2，所以b= 5，进而推知d= 6；再由d=
6，f= 2知a= 2或7，而e=3或4，所以a=7；最后求出c=5。见上页右下式。
（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：
由竖式特点知b=c=0；因为除数与d的乘积是1000的倍数，d与e都不为0，所以d与除数中必分别含有因子
23和52，故d=8，除数是125的奇数倍，因此e=5；又f≠0，e= 5，所以f=g=5；由g=5，d=8得到除数为
5000÷8=625，再由625×a是三位数知a=1，所以被除数为625×1008=630000，所求竖式见右上式。
