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2016年数学（三）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（B）.
【解】 如图所示』'（#）的零点从左到右依次为工】（＜ 1）口2,工3.
) >O,z V 厂，
由(. 得= g为/"(攵)的极大值点;
<0,^! <2 < 1
(T"'(_r ) V 0 i 0,乞2 V 2 V 03，
得z =為不是fa）的极值点,
7"'(2)> 0,工 > 2 3
故/（J?）有两个极值点.
厂（鼻）在2 =1处不存在，又/7x）切线水平对应的点为乂。及工3，
即 /^（aro） =0,/z/（x3）=0.
tf'O V0,h ＜ 1,
由（〃 得（1 ,/（D）为曲线y =/（x ）的拐点；
”〃（工）＞ 0,1 ＜工 ＜工。
〈工）〉0,1＜2＜乂0，
由（” 得Q°，/"（広。））为曲线夕=yQ）的拐点；
（f（JT）＜o,^0 ＜ ^ ＜ g
） V 0 ,a：o ＜C x V g，
由（ 得（工3‘/'（工3））为曲线y ）的拐点,
|厂（工）＞ 0,工 ＞工3
即夕=/（^）有3个拐点，应选（E）.
（2）【答案】（D）.
【解】
则夕］1)+(于)-2=」^=于，应选⑴).
(j： — y) (x — y) Jc — y
(3)【答案】(B).
【解】 因为D1区域关于夕=x对称，
所以人=jj R工 一 y djr dy =jj y — jc dx dj> = —JJ x — y cLz dj/,于是丿 i = 0 ；
Di D. D.
令Do={(z,y) |0€工€1,工2£夕€ }，显然Do关于y =jc 对称，
J 2 =JJ \/x — y dz Ay =JJ \/x — y dx dj/ + JJ r — y dr dy = JJ \/jc — y dz dy > 0 ；
D2 D0 D2^D0 D2^D0丿
\/x — y dg dy = \/x — y dj? dy + ^/x — y dj? dy = \/x — y dj? djz < 0 ,
3
、 。
D3 do d3\°o D3 D
故J3 < Jj V丿2,应选(E).
]_ ]
4n a/tz + 1
1 =1L_
H--------F + 1
\/ n + 1
a//?
1
由 limS„ = 1 收敛,
w-*°o
2 i
由正项级数比较审敛法得〉 sin(n + & )收敛,
n = l + 1
1
sin（n +&）绝对收敛，应选（A）.
\/« + 1
（5） 【答案】（C）.
【解】 由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P AP=B.
对 P~lAP =B 两边取转置得PtAt（P_1）t =Bt,或[（pT）T]TAT[（pT）T] =bt,
即人丁与M相似,（A）正确；
由 P_1AP =B 得P^ATp =B 1，即 A-1 与 B 1 相似，（B）正确；
由 P }AP 及P A P 1，得 p i （A +A_1）P =B+B 1,
即与B+B 1相似，（D）正确，应选（C）.
（6） 【答案】（C）.
'a 1 1\
【解】方法一 二次型的矩阵为A = 1 a 1
1 1 a
A — a —1 -1 1 1 1
由 \XE-A\ = -1 A — a —1 =(A 一 a --2) -1 A — a 一 1
-1 -1 A — a -1 一 1 A 一 a
1 1 1
=(A — a -2) 0 A — a + 1 0 =(A — a 一 2) (A 一 a + l)2 = 0,
0 0 A — q + 1
得小 a + 2 2 = A 3 =a 一 1.
a 二::解得-2S<1,应选（C）.
因为正、负惯性指数分别为1,2,所以
a
方法二 取 a = 0,二次型 /'（工1，工2，工3）=2n + 3 +2n，
二次型的矩阵为冷 1 ；L
0
'1
1 0A - 1 - 1
由 I AE — A | = — 1 A — 1 = (A —2)(入 +1严=0 得入 i=2,入 2=入3= — 1,此时二次
-1 - 1 A
型的正惯性指数为1,负惯性指数为2,满足题设的条件,a =0时成立，应选(C).
(7)【答案】(A).
【解】 方法一 由P(A | B) = 1得P(B) =P(AB),
_P(AB)_P(A+B)_1-P(A+B)
于是 P(B | A)
P(A) =1-P(A)= l-P(A)
_1 - P(A) - P(B) +P(AB)、
= 1 -P(A) =1,
应选(A).
方法二 由 P(A | B) =1 得 P(E) =P(AB),从而 P(AB) =0,于是 P(B | A) =0.
因为 P(B | A) +P(B | A) =1,所以 P(B | A) =1,应选(A).
(8) 【答案】(C).
【解】 由 X 〜N (1,2),Y 〜N(l,4)得 E(X) =1,D(X) =2,E(Y) = 1 ,D(Y) =4.
D(XY) =E(XY)2 一 [E(XY)]2 =E(X2Y2) — (EX)2(EY)2,
因为X,Y相互独立，所以E(X2Y2) =E(X2)E(Y2),
又因为 E(X?) =D(X)+ (EX)? =3,E(W)=d(y)+ (EY)? =5,所以 E(X2Y2)=15,
故 D(XY) =15 — 1=14,应选(C).
二、填空题
(9) 【答案】6.
【解】 由 a/1 + /(a: )sin — 1 〜)sin 2r 〜jcfCx ) (z f 0 时)得
yi+/(.)sm 2. -l = lim 芈2 = +応心)=2,
lim
X—0 e3x - 1 x—o 3;c 3 x->0
故lim/Xz )=6.
x*0-
(10)【答案】sin 1 — cos 1.
【解】 -----h 2sin …+ nsin —
n------------n--------------------n
— sin — = \ x sin x dx
n n J o
o x d(cos j? ) = —x cos x I 0 + cos jc dj?
J o
=—cos 1 + sin 1 = sin 1 一 cos 1.
(ID【答案】 一d工+2dy・
【解】将x =0 9y = 1代入得z =1.
(工+ l)z — j/2 =x2f(y,x <
2
0} =P{X > Y}
0
丄
'77 逅_丄
F X < 2 ck 2 3旳 T _ T
0
因为 ，所以U与X不独立.
(皿)当 z < 0 时，F(z) =0；
当0 < z < 1时，
F(z)=P{Zy,X 2 时，F(z) =1,0, z < 0,
yz2 -Z3, OKI,
故F(z)=」 2
—+ 2(Z-1)2 (z-1)2, 1< z < 2,
Li Lt
、1, z 2.
(23)【解】(I)总体X的分布函数为FQ)=J]_f(/)d/.
当 h VO 时，F(h)=O；
当 时,FQ)=1；
「工3工2 3
当 < 9 时，F(z)= —= 779 艮卩
J 0 & (/
0, ■z V 0,
F(»
乔，
0 £
攵
V 0 ,
1, •Z $ 0.
设丁的分布函数为Ft&),则
Fr(r) = P{T W/} = P {max{Xi ,X2 ^X3} £ t}
= P{X1 W/,X2 W/,X3 Wt} =P{X] ^t}P{X2^t}P{X3
0, t <0,
t 9
=p3 {x w/} =fb(/)=』肋，oWtve,
o
1, t >e.
o v y e,
随机变量t的概率密度为
其他.
9/8 aa 10
(n)EUT) ^aE(T) ="/ ・歹山=-6,^E(aT) =& 得 q =§.
