2020年考研数学一真题公众号：考研小舟_27考研真题_考研数学一、二、三历年真题+考研数学资料（1994-2026）_考研数学真题（1987-2026）_考研数学真题（1987-2026）_数学一

2020 年数一真题 一、选择题 (1) 当 x→0+ 时，下列无穷小量中阶最高的是 ( ) (cid:1) (cid:1) √ (cid:1) (cid:1) √ (A) x (et2 −1)dt. (B) x ln(1+ t3)dt. (C) sinx sint2dt. (D) 1−cosx sin3tdt. 0 0 0 0 (2) 设函数 f(x) 在区间 (−1,1) 内有定义，且 limf(x)=0，则 ( ) x→0 (A) 当 lim √f(x) =0 时，f(x) 在 x=0 处可导. x→0 |x| (B) 当 lim f√(x) =0 时，f(x) 在 x=0 处可导. x→0 x2 (C) 当 f(x) 在 x=0 处可导时，lim √f(x) =0. x→0 |x| (D) 当 f(x) 在 x=0 处可导时，lim f√(x) =0. x→0 x2 ( )(cid:12) (cid:12) (3) 设函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处可微，f(0,0) = 0，n = @f,@f,−1 (cid:12) ，非零向量 (cid:11) 与 n 垂直， @x @y (0;0) 则 ( ) (A) lim |n·(√x;y;f(x;y))| 存在. (B) lim |n×√(x;y;f(x;y))| 存在. (x;y)→(0;0) x2+y2 (x;y)→(0;0) x2+y2 (C) lim |(cid:11)·(√x;y;f(x;y))| 存在. (D) lim |(cid:11)×√(x;y;f(x;y))| 存在. (x;y)→(0;0) x2+y2 (x;y)→(0;0) x2+y2 ∑∞ (4) 设 R 为幂级数 a xn 的收敛半径，r 是实数，则 ( ) n n=1 ∑∞ ∑∞ (A) 当 a r2n 发散时，|r|≥R. (B) 当 a r2n 收敛时，|r|≤R. 2n 2n n=1 n=1 ∑∞ ∑∞ (C) 当 |r|≥R 时， a r2n 发散. (D) 当 |r|≤R 时， a r2n 收敛. 2n 2n n=1 n=1 (5) 若矩阵 A 经过初等列变换化成 B，则 ( ) (A) 存在矩阵 P，使得 PA=B. (B) 存在矩阵 P，使得 BP =A. (C) 存在矩阵 P，使得 PB =A. (D) 方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解. (6)  已知  直线 l 1 : x− a1 a2 = y− b1 b2 = z− c1 c2 与直线 l 2 : x− a2 a3 = y− b2 b3 = z− c2 c3 相交于一点，记向量 a  i   (cid:11) i =b i，i=1,2,3，则 ( ) c i (A)(cid:11) 可由 (cid:11) ，(cid:11) 线性表示. (B)(cid:11) 可由 (cid:11) ，(cid:11) 线性表示. 1 2 3 2 1 3 (C)(cid:11) 可由 (cid:11) ，(cid:11) 线性表示. (D)(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) 线性无关. 3 1 2 1 2 3 (7) 设A，B，C 为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)= 1，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= 1 ， 4 12 则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为 ( ) 12020 年数一真题 (A)3. (B)2. (C)1. (D) 5 . 4 3 2 12 (8) 设 X ，X ，···，X 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P{X =0}=P{X =1}= 1，Φ(x) 1 2 100 { } 2 1∑00 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P X ≤55 的近似值为 ( ) i i=1 (A)1−Φ(1). (B)Φ(1). (C)1−Φ(0.2). (D)Φ(0.2). 二、填空题 [ ] (9) lim 1 − 1 = . x→0ex−1 √ ln(1+x)  (cid:12) x= t2+1, (cid:12) (10) 设 √ 则 d2y(cid:12) = .  dx2 y =ln(t+ t2+1), t=1 (cid:1) (11) 设 f(x) 满足 f′′(x)+af′(x)+f(x)=0(a>0)，f(0)=m，f′(0)=n，则 +∞ f(x)dx= . (cid:12) 0 (cid:1) (cid:12) (12) 设 f(x,y)= xy ext2dt，则 @2f (cid:12) = . 0 @x@y (cid:12) (cid:12) (1;1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a 0 −1 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 a 1 −1 (cid:12) (cid:12) (13) 行列式 (cid:12) (cid:12)= . (cid:12)−1 1 a 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 −1 0 a (cid:12) ( ) (14) 设 X 服从 −(cid:25),(cid:25) 上的均匀分布，Y =sinX，则 Cov(X,Y)= . 2 2 三、解答题 (15) 求函数 f(x, y) = x3 + 8y3 − xy 的极值. (cid:11) (16) 计算 I = 4x−y dx+ x+y dy，其中 L 为 x2+y2 =2，方向为逆时针方向. L 4x2+y2 4x2+y2 ( ) ∑∞ (17) 设数列 {a } 满足 a =1，(n+1)a = n+ 1 a . 证明：当 |x|<1 时，幂级数 a xn 收敛， n 1 n+1 2 n n n=1 并求其和函数. √ (18) 设 Σ 为曲面 z = x2+y2(1≤x2+y2 ≤4) 的下侧，f(x) 为连续函数. 计算 (cid:4) I = [xf(xy)+2x−y]dydz+[yf(xy)+2y+x]dzdx+[zf(xy)+z]dxdy. (cid:6) (19) 设函数 f(x) 在区间 [0,2] 上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，M = max |f(x)|. 证明： x∈[0;2] (I) 存在 ξ ∈(0,2)，使 |f′(ξ)|≥M. (II) 若对任意的 x∈(0,2)，|f′(x)|≤M，则 M =0. ( ) ( ) x y (20) 设二次型 f(x ,x ) = x2−4x x +4x2 经过正交变换 1 = Q 1 化为二次型 g(y ,y ) = 1 2 1 1 2 2 1 2 x y 2 2 ay2+4y y +by2，其中 a≥b. 1 1 2 2 (I) 求 a，b 的值. (II) 求正交矩阵 Q. (21) 设 A 为 2 阶矩阵，P =((cid:11),A(cid:11))，其中 (cid:11) 是非零向量且不是 A 的特征向量. (I) 证明 P 为可逆矩阵. (II) 若 A2(cid:11)+A(cid:11)−6(cid:11)=0，求 P−1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵. (22) 设随机变量 X ，X ，X 相互独立，其中 X 与 X 均服从标准正态分布，X 的概率分布为 1 2 3 1 2 3 P{X =0}=P{X =1}= 1，Y =X X +(1−X )X . 3 3 2 3 1 3 2(I) 求二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数，结果用标准正态分布函数 Φ(x) 表示. 1 (II) 证明随机变量 Y 服从标准正态分布. (23) 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为   1−e −( (cid:18) t)m , t≥0, F(t)=  0, 其他. 其中 θ，m 为参数且均大于零. (I) 求概率 P{T >t} 与 P{T >s+t|T >s}，其中 s>0，t>0. (II) 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t ，t ，···，t ，若 m 已知，求 θ 的 1 2 n 最大似然估计值 θˆ.