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2020 年数三真题
一、选择题
(1) 设 lim
f(x)−a
=b，则 lim
sinf(x)−sina
=( )
x→a x−a x→a x−a
(A)bsina. (B)bcosa. (C)bsinf(a). (D)bcosf(a).
1
(2) 函数 f(x)= ex(cid:0)1 ln|1+x| 的第二类间断点的个数为 ( )
(ex−1)(x−2)
(A)1 个. (B)2 个. (C)3 个. (D)4 个.
(3) 设奇函数 f(x) 在 (−∞,+∞) 上具有连续导数，则 ( )
(cid:1) (cid:1)
(A) x [cosf(t)+f′(t)]dt 是奇函数. (B) x [cosf(t)+f′(t)]dt 是偶函数.
0 0
(cid:1) (cid:1)
(C) x [cosf′(t)+f(t)]dt 是奇函数. (D) x [cosf′(t)+f(t)]dt 是偶函数.
0 0
∑∞ ∑∞
(4) 设幂级数 na (x−2)n 的收敛区间为 (−2,6)，则 a (x+1)2n 的收敛区间为 ( )
n n
n=1 n=1
(A)(−2,6). (B)(−3,1). (C)(−5,3). (D)(−17,15).
(5) 设 4 阶矩阵 A=(a ) 不可逆，a 的代数余子式 A ≠ 0，(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) 为矩阵 A 的列向量
ij 12 12 1 2 3 4
组，A∗ 为 A 的伴随矩阵，则方程组 A∗x=0 的通解为 ( )
(A)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 2 3 3 1 2 3
(B)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 2 3 4 1 2 3
(C)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 3 3 4 1 2 3
(D)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 2 2 3 3 4 1 2 3
(6) 设 A 为 3 阶矩阵，(cid:11)
1
，(cid:11)
2
为A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，(cid:11)
3
为 A 的属于特征值
1 0 0
−1 的特征向量，则满足 P−1AP = 0 −1 0 的可逆矩阵 P 可为 ( )
0 0 1
(A)((cid:11) +(cid:11) ,(cid:11) ,−(cid:11) ). (B)((cid:11) +(cid:11) ,(cid:11) ,−(cid:11) ).
1 3 2 3 1 2 2 3
(C)((cid:11) +(cid:11) ,−(cid:11) ,(cid:11) ). (D)((cid:11) +(cid:11) ,−(cid:11) ,(cid:11) ).
1 3 3 2 1 2 3 2
(7) 设A，B，C 为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)= 1，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= 1 ，
4 12
则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为 ( )
(A)3. (B)2. (C)1. (D) 5 .
4 3 2 12
(8) 设随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布 N(0,0;1,4;−1)，则下列随机变量中服从标准正态分布且与
2
X 独立的是 ( )
√ √ √ √
(A) 5(X+Y). (B) 5(X−Y). (C) 3(X+Y). (D) 3(X−Y).
5 5 3 3
1二、填空题
(9) 设 z =arctan[xy+sin(x+y)]，则 dz| = .
(0;(cid:25))
(10) 曲线 x+y+e2xy =0 在 (0,−1) 处的切线方程为 .
(11) 设某厂家某产品的产量为 Q，成本 C(Q) = 100+13Q，设产品的单价为 P，需求量 Q(P) =
800 −2，则该厂家获得最大利润时的产量为 .
P+3 { (cid:12) }
(cid:12)
(12) 设平面区域 D = (x,y)(cid:12)x ≤y ≤ 1 ,0≤x≤1 ，则 D 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积
2 1+x2
为 . (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a 0 −1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 0 a 1 −1 (cid:12) (cid:12)
(13) 行列式 (cid:12) (cid:12)= .
(cid:12)−1 1 a 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 −1 0 a (cid:12)
(14) 设随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = 1 ,k = 1,2,3,···，Y 表示 X 被 3 除的余数，则
2k
E(Y)= .
三、解答题
( )
(15) 已知 a，b 为常数，若 1+ 1 n−e 与 b 在 n→+∞ 时是等价无穷小，求 a，b.
n na
(16) 求函数 f(x,y)=x3+8y3−xy 的极值.
(17) 设函数 y =f(x) 满足 y′′+2y′+5y =0，f(0)=1，f′(0)=−1.
(I) 求 f(x) 的表达式.
(cid:1) ∑∞
(II) 设 a =
+∞
f(x)dx，求 a .
n n(cid:25) n
n=1 √ (cid:3)
(18) 设 D ={(x,y)|x2+y2 ≤1,y ≥0}，连续函数 f(x,y) 满足 f(x,y)=y 1−x2+x f(x,y)dxdy，
(cid:3) D
求 xf(x,y)dxdy.
D
(19) 设函数 f(x) 在区间 [0,2] 上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，M = max |f(x)|. 证明：
x∈[0;2]
(I) 存在 ξ ∈(0,2)，使 |f′(ξ)|≥M.
(II) 若对任意 x∈(0,2)，|f′(ξ)|≤M，则 M =0. ( ) ( )
x y
(20) 设二次型 f(x ,x ) = x2−4x x +4x2 经过正交变换 1 = Q 1 化为二次型 g(y ,y ) =
1 2 1 1 2 2 1 2
x y
2 2
ay2+4y y +by2，其中 a≥b.
1 1 2 2
(I) 求 a，b 的值.
(II) 求正交矩阵 Q.
(21) 设 A 为 2 阶矩阵，P =((cid:11),A(cid:11))，其中 (cid:11) 是非零向量且不是 A 的特征向量.
(I) 证明 P 为可逆矩阵.
(II) 若 A2(cid:11)+A(cid:11)−6(cid:11)=0，求 P−1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.
√
(22) 设二维随机变量 (X,Y) 在区域 D ={(x,y)|00, 1, X +Y >0,
Z = Z =
1 2
0, X −Y ≤0. 0, X+Y ≤0.
(I) 求二维随机变量 (Z ,Z ) 的概率分布.
1 2(II) 求 Z 与 Z 的相关系数.
1 2
(23) 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为
1−e −( (cid:18) t)m , t≥0,
F(t)=
0, 其他.
其中 θ，m 为参数且均大于零.
(I) 求概率 P{T >t} 与 P{T >s+t|T >s}，其中 s>0，t>0.
(II) 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t ，t ，···，t ，若 m 已知，求 θ 的
1 2 n
最大似然估计值 θ^.
