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2019年全国硕士研究生招生考试试题
一 、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有 一 项符合题目
要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
k 、丿
(I)当X----+ 0时，若x - tan x与x 是同阶无穷小，则k =(
(A)l. (B)2. (C)3. (D)4.
(2)设函数f(x) = {
X I X I ' X 冬 O
＇则X = 0 是f(x)的（ ）
xln x, x > 0,
(
(
A
C
)
)
可
可
导
导
点
点
，
，
极
非
值
极 值
点
点
(
(
B
D
)
)
不
不
可
可
导
导
点
点
，
，
极
非
值
极
点
值 点
(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
C B )
I c - 1
尸 —
1
" " ' u ; ( C ) � ( i - 2:; ) · ( D ) � ( u ! . , 一 式 ） ．
00
u
(4)设函数Q(x,y) =今．如果对上半平面( y > O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有
乎P(x,y)dx + Q(x,y)d y = 0,那 么函数P(X,y)可取为（ ）
1 x 2 1 1 - —1 .
(A) y -子 (B) — y - — y (C) — - —. (D)x
2 T
(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A + A =2 E,且 IA I =4 , 则二次型x Ax的
规范形为（ ）
( A )
In
= l 二 n
(A) Yi + y; + y; · (B) Yi + y; - y; ·
(C) Yi - y; - Yi· (D) - Yi - y; - y; ·
(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
a il x + a i2 y + a i3 z = d;(i =l , 2 , 3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A, 则（
(
(
(
(
A
B
C
D
)
)
)
)
r
r
r
r
(
(
(
(
A
A
A
A
)
)
)
)
=
=
=
=
2
2
1
1
,
,
,
,
r
r
r
r
(
(
(
(
A
A
A
A
)
)
)
)
=
=
=
=
3
2
2
1
.
.
.
.
(7)设A,B为随机事件， 则P(A) =P (B)的充分必要条件 是（ ）
(A)P ( A U B) =P (A) + P( B). (B)P (AB) =P (A)P ( B).
B) A) .
(C) p (A = p (B (D) p (AB) = p (A B).
(8)设随机变豐X与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿）， 则Pl IX - YI < 1 f ( )
(
(
A
C
)
)
与
与
µ
µ ,
无
矿
关 ，
都
而
有
与
关
矿 有 关 . (
(
B
D
)
)
与
与
µ
µ ,
有
矿
关 ，
都
而
无
与
关
矿 无 关
— —
1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）
1加1加
(9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x) +x y, 则一—- . -+ . 一
COS X 彻 cosy切
2
(10)微分方程2yy'- r - 2 = 0满足条件y(O) = 1的特解 y =
2 (- 1)"
(11)幕级数 x"在(0, +oo)内的和函数S(x) =
几=O (2n) !
ff
2 2 2 2 2
(12)设凶设为曲面x + y + 4z = 4 (z�0)的上侧，则 J4 - x - 4z dxdy =
(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵．若a 1 a 2 线性无关，且a 3 = - a 1 + 2a 2 , 则线性方程组
'
Ax =0的通解为
O x 2
(14)设随机变掀X的概率密度为八x) = (f' < < 'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的
0, —其他，,•
l
>
数学期望，则Pj F(X) E(X) - 1
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(15) (本题满分10分）
= =
设函数y(x)是微分方程y'+xy e寻满足条件y(O) 0的特解
(I)求y(x);
(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．
(16) (本题满分10分）
= 2 2 = -
设 a, b为实数，函数z 2 + ax + by 在点(3, 4)处的 方向导数中，沿方向l 3i - 4j的
方向导数最大， 最大值为10.
(I)求a, b;
2 2
(II)求曲面z = 2 + ax + by (z ;;,: 0)的面积．
— 2 —(17) (本题满分10分）
求曲线y = e一允sin x(x�0)与x轴之间图形的面积
(18) (本题满分10分）
L
1
= =
设a ,. x"Jl了五x(n 0, 1 , 2,… ）．
n—一－ -1
(I)证明数列｛叮单调递减且， a
,.
= a几一2(n = 2, 3,-·· );
n + 2
. a
(II)求 hm n .
n----+oo a 几一1
(19) (本题满分10分）
2 2
设0是由锥面忒+ (y-z) = (l -z) (0�z�1)与平面z =0 围成的锥体，求0的形心
坐标
(20) (本题满分11分）
＝ T 3 一 T
设向量组a (1 2 ， 1 ）平=(1, 3 , 2) ,a 3 =( 1, a , 3尸为R 的 个基/J， =(l,1,l)
在这个基下的坐标为( b, c, 1)飞
(I)求a,b,c;
3 一
(II)证明生立3 '/J为R 的 个基并， 求生立3 '/J到叮生立3 的过渡矩阵．
— 3 —(21) (本题满分11分厂）
- 2
。
已知矩阵A= l = 一�]
�]相似．
J与B
� = � [�
(I)求x,y;
(II)求可逆矩阵P使得p-1AP=
B
.
(22) (本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PjY=-If=p,
PjY= If= 1-p(O
0是未知参数，A是常数.X 1 , 凡，…，x n 是来自总体X的简单随机 样本． (I)求A; (I[)求矿的最大似然估计量 — 4 —
