文档内容
第 03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：比较大小基本方法......................................................................................................................................4
知识点2：不等式的性质..............................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：不等式性质的应用........................................................................................................................................6
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式................................................................................................8
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围..............................................................................................11
题型四：不等式的综合问题......................................................................................................................................13
题型五：糖水不等式..................................................................................................................................................15
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................18
05课本典例·高考素材........................................................................................................................19
06易错分析·答题模板........................................................................................................................21
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围..............................................................................................21
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围......................................................................................................21考点要求 考题统计 考情分析
高考对不等式的性质的考查相对较少，
（1）掌握等式性质． 考查内容、频率、题型难度均变化不大，单
（2）会比较两个数的 独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几
大小． 2022年II卷第12题，5分 乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不
（3）理解不等式的性 等式变形、证明以及解不等式的依据，所以
质，并能简单应用． 它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高
考考查的一个重点内容．
复习目标：
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.知识点1：比较大小基本方法
方法
关系
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b 或b
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0) >1(a，b<0)
b 或b
【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于 ，取 ， ， ，无法得到 ， ，
故AB错误，
取 ,则 ，无法得到 ，C错误，
由于 ，则 ，所以 ，
故选：D
知识点2：不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘性
可乘方性
【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知 ，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
对于A， ， , ,
综上可得 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，当 时， ，故D错误；
故选：D.
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取 ，则 ，故A错误，
对于B， ，则 ，故B错误，
对于C，由于 ，故 在 单调递减，故 ，因此
，
由于 ，所以 ，故 ，C正确，
对于D, ,则 ，故D错误，
故选：C
【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB【解析】∵ ，∴ 即 ，∴ ，A正确；
由基本不等式知： ，当且仅当 时等号成立
又 ，∴
∴ 即 ,当且仅当 时等号成立；
已知 ,故 ，B正确;
令 ， ，C错误；
令 ， ，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．
3、小题可以利用特殊值排除法．
【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知 ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，所以 ，故A结论正确；
对于B，当 时，因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，故B结论正确；
对于C，因为 ，所以 ，
而函数 为减函数，所以 ，故C结论正确；
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D结论错误.
故选：D.【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，故 ，故 ，
由对勾函数性质可得 ，
，且 ，
综上所述，有 .
故选：C.
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【典例2-1】已知 且 ， ， ，则 与 的大小关系为 ．
【答案】
【解析】 ．
当 时， ，所以 ，则 ；
当 时， ，所以 ，则 ．
综上可知，当 且 时， ，即 ．
【典例2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知： ，则
大小关系是 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，因此 ，
显然 ，则 ，
所以 大小关系是 .
故答案为：
【方法技巧】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．【变式2-1】已知 为正实数．求证： .
【解析】证明：因为 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
【变式2-2】（1）比较 与 的大小；
（2）已知 ，比较 与 大小
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以①当 时， ，
所以 ，
②当 时， ，
即 ，
所以 ，
③当 时， ，
即 ，
所以 ，
综上所述：当 ， .
（2）
，
因为 ，所以 ，
所以 ，由
，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故 .
【变式2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若 ， 是两个非负实数，则
它们的希罗平均数 .记 ， ，则 从小到大的关系为 .（用“≤”连
接）
【答案】
【解析】由基本不等式可知， ，当且仅当 时等号成立；
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ；
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ；
综上所述， ，当且仅当 时等号成立.
故答案为：
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【典例3-1】已知 ， ，则ab的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】 ，
由不等式的性质 ， ，所以所以 ，所以 ，
当且仅当 时，且已知 ，解得 ，
即 的最大值为 .
故选：A.
【典例3-2】已知 的三边长分别为 ， ， ，且满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知及三角形三边关系得 ，
所以 ，则 ，两式相加得 ，
所以 .
故选：C
【方法技巧】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．
【变式3-1】（多选题）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依题意 ， ，
所以 ，所以 ，所以A选项错误，B选项正确.
所以 ，所以 ，所以C选项正确，D选项错误.
故选：BC【变式3-2】（多选题）已知实数x，y满足 则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.因为 ，所以 .因为 ，所以
，则 ，故A正确；
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，则 ，故C错
误；
因为 ，所以 ，则 ，故D
正确.
故选：ABD.
【变式3-3】已知实数a，b满足 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得： ，记 ， ，则 ．
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：A
题型四：不等式的综合问题
【典例4-1】记 表示 这3个数中最大的数．已知 ， ， 都是正实数，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
故选：A
【典例4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数 ， ， 满足， 则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得：
，
当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
【方法技巧】
综合利用等式与不等式的性质
【变式4-1】（多选题）若实数x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于AB，因为 ，所以 ，当且仅当 时
取等号，
所以 ，所以 ，所以A正确，B错误，
对于C，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以D正确，故选：AD
【变式4-2】（多选题）已知 ， ，且满足 ， ．则 的取值可以为
（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20
【答案】CD
【解析】因为 ， ，
所以 ， ，
故 ，
当 ， 且 ，而 时 ，即等号不能同时成立，
所以 ，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
题型五：糖水不等式
【典例5-1】（多选题）生活经验告诉我们： 克糖水中有 克糖（ ， ，且 ），若再添
加 克糖（ ）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶
水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．
C．若 ， ， 为 三条边长，则
D．若 ， ， 为 三条边长，则
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得： ， 时， ，故A错误.
B. ，故B正确.
C. ，故C正确.D. ，
，故D正确.
故选：BCD
【典例5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，
这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽
象出不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
(用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【答案】
【解析】空1：因为 ，所以可得：
；
空2：由空1可得： ，即 .
故答案为： ；
【方法技巧】
b+m b a+m a
> <
糖水不等式：若 a>b>0 ， m>0 ，则a+m a，或者b+m b．
【变式5-1】（1）已知 糖水中含有 糖（ ），若再添加 糖完全溶解在其中，则
糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之
一）.
（2） ， ，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
【答案】
【解析】（1）∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，即 ；
（2）因为 ， ，故 .
故答案为： ； .
【变式5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖
（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角 中，根据（1）中的结论，证明： .
【解析】（1）若 ，则 .
证明： .
因为 ，所以 ，又 ，故 ，
因此 .
（2）在锐角三角形中 ，由（1）得 ，
同理 ，
.
以上式子相加得 .1．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当
时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除
B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以
，故选C．
3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知 为等比数列，下面结论中正
确的是
A． B．C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【解析】设{a }的首项为a，公比为q，当a<0，q<0时，可知a<0，a<0，a>0，所以A不正确；
n 1 1 1 3 2
当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a>a⇒aqb>0，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2
C．若ab，但a2ab>b2，所以C不是真命题；
对于D，若a
