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巧算24
同学们可能都玩过“数学24”的游戏，它把枯燥的基本数字计算变得趣味盎然，能大大提高计算能力
和速度，使得思维灵活敏捷，是一种寓教于乐的智力竞赛游戏。
游戏规则：给定四个自然数，通过+，-，×，÷四则运算，可以交换数的位置，可以随意地添括号，但规定每
个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算的算式，使最后得数是24。
“数学24”游戏通常是用扑克牌进行的，此时，给定的四个自然数就被限定在1～13范围内了。“数学
24”游戏可以1个人玩，也可以多个人玩，比如四个人玩，把扑克牌中的大、小王拿掉，剩下的52张牌洗好
后，每人分13张，然后每人出一张牌，每张牌的点数代表一个自然数，其中J，Q，K分别代表11，12和13，四
张牌表示四个自然数。谁最先按游戏规则算出24，就把这四张牌赢走。然后继续进行。最后谁的牌最多谁获
胜。
要想算得又快又准，这就要靠平时的基本功了。最重要的有两条：一是熟悉加法口诀和乘法口诀，二是
利用括号。括号既能改变运算顺序，也可以改变运算符号。
请用下面例题中给出的四个数，按规则算出24。
例1 3，3，5，6。
解一：根据3×8=24，3已有，将另三个数凑成8，得3×（5+6-3）=24。
解二：根据6×4=24，6已有，将另三个数凑成4，得6×（5-3÷3）=24或6×（3×3-5）=24。
解三：还是根据3×8=24，把3和8各分成两数，得（6-3）×（3+5）=24。
解四：先把其中两数相乘，积不足24的用另两数补足，得3×5+3+6=24。
解五：先把其中两数相乘，积超过24的用另两数割去，得5×6-3-3=24。
例2 2，2，4，8。
解一：根据8×3=24，得8×[（2+4）÷2]=24或8×（4-2÷2）=24。
解二：根据4×6=24，得4×（2+8÷2）=24。
解三：根据2×12=24，得2×（2×8-4）=24。
解四：根据8+16=24，8已有，将另三个数凑成16，得8+2×2×4=24或8+（2+2）×4=24。
解五：根据8+16=24，把8和16各分成两数，得2×4+2×8=24。
解六：根据4+20=24，4已有，将另三个数凑成20，得4+2×（2+8）=24。
具体玩法很多，在这里特别要注意的是：2×12，3×8，4×6是三个最基本的算式，在玩的过程中，你可
以先固定某数为一个因数，看另三个数能否凑成相应的另一个因数。你也可以把每一个因数分别看成由两
个数凑成。下面，我们借助“乘法分配律”来玩“数学24”游戏。
例3 1，4，4，5。
分析：很明显，我们看到4×（1+5）=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个4没有用过。根据
规则，必须把这个4也用进去，怎么办？怎样把这个多余的4用到算式里面而又不影响得数呢？
解：利用“乘法分配律”：4×（1+5）=4×1+4×5=24。
例4 6，8，8，9。
解：8×（9-6）=8×9-8×6=24。
例5 5，7，12，12。
解：12×（7-5）=12×7-12×5=24。
在例3～例5中，我们利用了：
a×（b+c）=a×b+a×c，
a×（b-c）=a×b-a×c。
例6 2，2，6，9。
分析：很明显，我们看到2×9+6=24，三个数已经能够算出24了，可惜的是还有一个2没有用过。根据规
则，必须把这个2也用进去，怎样把这个多余的2用到算式里面而又不影响得数呢？
解：利用“乘法分配律”：24=2×9+6=2×9+6÷2×2=2×（9+6÷2）。例7 2，6，9，9。
解： 24=2×9+6=2×9+6÷9×9
=9×（2+6÷9）
例8 2，4，10，10。
解： 24=2×10+4=2×10+4÷10×10
=10×（2+4÷10）。
在例6～例8中，我们利用了
a×b+c＝a×（b+c÷a），
a×b-c＝a×（b-c÷a）。
我们知道，符合“数学24”游戏规则的每个具体算式中，一定要出现四个数和三个运算符号。也就是说
一定要进行三次运算，出现三个运算结果。其中前两次结果是运算过程中的中间结果，第三次即最后一次的
运算结果必须是24。
当我们还是小学低年级的学生时，由于知识水平所限，解题总是围绕运算结果是整数展开讨论。当我们
升入小学高年级，接触到分数以后，我们的眼界变得开阔了，就可以打破整数这个框框，允许前两次的运算
结果出现分数，这样，我们将会找到更多的、更好的思考办法。
例9 1，5，5，5。
有效的思考办法。
由上面的算式可以看出，我们以前接触的仅仅是其中的2×12，3×8，4×6三个整数乘法基本算式。现
在我们学了分数以后，乘法基本算式就增加了许多：
在这些分数乘法基本算式中，固定的一个因数只能是5，7，9，10，
至此，应用乘法玩“数学24”游戏的过程才是完整的。下面，我们再来看看用分数除法来玩“数学24”游戏。
例10 3，3，8，8。
8÷（3-8÷3）=24。
例11 1，4，5，6。
在解题过程中，我们先想到基本算式
成。这是基本的思考办法。
一般地，应用分数除法玩“数学24”游戏的思考过程为：
固定的一个自然数只能是被除数，除数恰好由另外三个自然数凑成。
另外，我们还是要强调一下分数除法与分数乘法的相同处与不同处。学了分数以后，除法运算可以转化
成乘法运算。因此，在玩“数学24”游戏的过程中，很多除法算式可以转化到乘法算式中去。但是它们之间
还是有区别握用分数除法这种工具来玩“数学24”游戏是必不可少的。
练习 16
用给出的四个数，按规则算出24。
1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7；
（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；
（5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。
2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；
（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12；
（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；
（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。
3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；
（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；
（5）3，4，6，13； （6）1，8，12，12；
（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。
练习16
以下题目可能有多种解法，仅给出一种解。
1.（1）3×7+3×l=24；（2）2×5+2×7=24；
（3）1+7+4×4=24；（4）1×2×8+8=24；
（5）5×6-1×6=24；（6）8×8-5×8=24。
2.（1）7×（2+10÷7）=24；（2）5×（3+9÷5）=24；
（3）5×（7-11÷5）=24；（4）6×（2+12÷6）=24；
（5）5×（4+4÷5）=24；（6）5×（5-2÷10）=24；
（7）9×（4-12÷9）=24；（8）9×（7-13÷3）=24。
3.（1）6÷（1-3÷4）=24；（2）9÷（2-13÷8）=24；
（3）6÷（1-6÷8）=24；（4）12÷（3-5÷2）=24；
（5）6÷（13÷4-3）=24；（6）12÷（12÷8-1）=24；
（7）8÷（13÷3-4）=24；（8）12÷（7-13÷2）=24。
