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定义新运算（一）
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本
的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的
运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课
本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后
的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”： a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根据以上的规定，求10△6
的值。
3，x>=2，求x的值。
分析与解：按照定义的运算，
<1，2，3，x>=2，
x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，
×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的
四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新
运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运
算。按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“ ”表示几个数相加，每个加数各数
位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其
中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得
3 5=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运
算。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？
分析与解：1！=1，
2！=1×2=2，
3！=1×2×3=6，
4！=1×2×3×4=24，
5！=1×2×3×4×5=120，
6！=1×2×3×4×5×6=720，
……
由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0。
所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数
字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。
例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。解：3¤（4¤6）¤12
=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12
=3¤19¤12
=[4×19-（3+19）÷2]¤12
=65¤12
=4×12-（65+12）÷2
=9.5。
练习3
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知a b表示a除以3的余数再乘以b，求13 4的值。
3.已知a b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（5 3） （10 6）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。
已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，a b=4a-b/a。计算：（4△3）△（2 b）。
9.已知： 2 3=2×3×4，
4 5=4×5×6×7×8，……
求（4 4）÷（3 3）的值。
定义新运算（二）
例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。
但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a※b=（a+b）-（a-b）
=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混
合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又
提高运算的准确度。
例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，
即新运算“⊙”符合交换律？
分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为
5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k，
所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：
a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，
5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，
3a+kb-3b-ka=0，
3×(a-b)-k(a-b)=0，
(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。
例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为
a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；
（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入
表达式求x，只能用推理的方法。
因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，
6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30
是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为
a×b=[a，b]×（a，b），
所以6×x=30×3，由此求得x=15。
例4 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转
90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。
分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转
270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以
b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如
c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合
交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
解：（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；
（2）f（g（2））+g（f（2））
=f（2×2）+g（2×2+1）
=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；
（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，
由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。
练习4 2.定义两种运算“※”和“△”如下：
a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，
a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。
比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。
计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，
并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运
动：
a表示顺时针旋转240°，
b表示顺时针旋转120°，
c表示不旋转。运算“∨”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b
比如7 3=1，5 29=4，4 20=0。
（1）计算：1998 2000，（5 19） 19，5 （1 95）；
（2）已知11 x=4，x小于20，求x的值。
7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
练习3
1.2。2.4。
3.0。
提示：（2）x◇（4◇1）= 7，
x◇（4×3-1×2）= 7，
x◇10=7，
3x-10×2=7，
x=9。
（2）相当于由1×2×3× …×x=40320，求x。
40320÷2＝20160，
20160÷3= 6720，
6720÷4=1680，
1680÷5=336，
……
8÷8=1，
即1/40320=1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8。所以x=8。
7.4。
解：x☆（8☆5）= x☆（8×5÷4）= x☆10= x×10÷4，由x×10÷4=10，求得x=4。
8.0。
解： （4△3）△（2△6）
= (4×3-3×3)△(4×2-6/2)
= 3△5=3×5-3×5=0。
9.14。
提示：新运算“ ”是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是第二个
数字。（4 4）÷（3 3）= （4×5×6×7）÷（3×4×5）=14。练习4
2.7。
解：原式=（0.5×3+0.8×2.5）÷(0.7×3-0.64×2.5)=7。
3.33。
提示：从已知的四式发现，第一个数的4倍加上第二个数等于结果，所
提示：由 2⊙3= （A×2-3）÷4=0.75，推知A=3。定义的运算是： m⊙n=（3m-n）÷4。
（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）
=[（3×5-7）÷4]×[(3×2- 2)÷4]÷[（3×3-2）÷4]
=2×1÷7/4=8/7。
5.
6.（1）2，3，1；（2）7或14。
提示：（1）（5 9） 19= 4 19=3，5 （19 5）= 5 4= 1。
（2）当x＜11时，x是7；当x＞11时，x是14。
7.（1）10；（2）4。解：（1）f（g（6））- g（f（3））
= f(6÷2+1)- g（3×3-1）= f( 4)- g（8）
= （4×4-1）-（8÷2+1）= 10；。
（2）由f( g（x）)= 8=3×3-1，推知g（x）= 3；再由x÷2+1=3，得x=4。
