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第八讲 操作问题
暋
一个有趣的数学游戏 任取一个正整数 如果它是偶数 就除以 如果它是奇
: , , 2;
数 就乘 再加 将所得到的结果不断地重复上述运算 最后的结果总是
, 3 1。 , 1。
所谓操作问题 实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换 这种变换
, ,
可以具体执行 比如上述游戏中 操作对象是偶数的话 就除以 是奇数的话 就
。 , , 2; ,
乘 再加 这就是一次操作 操作是可以具体执行的 操作问题往往是求连续
3 1。 , 。
进行某种操作后可能得到的结果
。
操作问题一般是有规律的 我们只要多尝试几次 就能找出规律 解题时 要
, , , ,
注意运用逆推 整体把握等思想方法
、 。
经 典 范 例
例1 对于一个自然数 如果它是偶数 就把它除以 如果它是奇数 就
暋 , , 2; ,
把它加上 这样称为一次操作 请问 对 操作 次之后 得到的结果是多
3, 。 :(1) 100 5 ,
少 如果一个数操作 次之后 得到的结果是 那么这个数可能是多少
? (2) 4 , 27, ?
点 拨 是偶数 那么第 次操作后的结果是 还是偶
暋(1)100 , 1 100暵2=50,50
数 那么第 次操作后的结果是 如此操作下去 从 出发
, 2 50暵2=25, ……(2) 27 ,27
是奇数 那么第 次操作就应是除以 是偶数 第 次操作就有两
, 4 2,27暳2=54;54 , 3
种可能
……
详 解
暋(1)100暵2=50,50暵2=25,25+3=28,28暵2=14,14暵2=7。
从 出发 反向推理
(2) 27 , :
ì ì {
ï ï
ï 432
ï
í216曽
ï
ï108曽ï 213
ï
í î
27曽54曽ï 105曽210
ï {
ï 204
ï
î51曽102曽
99
那么这个数可能是
432,213,210,204,99。
答 得到的结果为 这个数可能是
:(1) 7;(2) 432,213,210,204,99。
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暋暋暋暋暋 暋暋暋暋暋暋" #
$
!
小 结 解操作问题,先要理解每次操作的具体内容,然后寻找规律。一般给
暋
出初始状态求结果的问题,都是直接根据操作步骤操作下去,在操作过程中要善
士
别
于发现规律。像()中给出结果求初始数据的问题,一般采用逆推的方法。
三
2
日
氋
当
刮
例2 如图 一个长方形被分成了 个小长方形 称如下操作为一次操 目
暋 , 7 , 相
看
氌
作 任选几个小长方形 将每个小长方形再分成 个小长方形 请问 能否经过有
氭
: , 7 。 : 三
限次操作 将正方形恰好分成 个小长方形 如果能 请写出一种操作方法 如 国
, 2012 ? , ; 志
果不能 说明理由 ·
, 。 吴
志
·
吕
蒙
传
氱
点 拨 假设某一次从m块中选了n块 操作后的个数为m n n n
暋 , - +7 =6 +
m 即增加了 n块 增加的个数是 的整数倍 于是从除以 的余数看 每次操作
, 6 , 6 , 6 ,
后 长方形的个数除以 的余数都不变
, 6 。
详 解 不能分成 个长方形 因为每次操作后 长方形的个数都比上一
暋 2012 , ,
次操作增加了 的整数倍 所以不管怎么操作 长方形的总个数都是除以 余 的
6 , , 6 1
整数
。
而
2012暵6=335……2,
所以不能分成 个小长方形
2012 。
小 结 本例中操作的特点是每次操作后,总个数除以 的余数不变。抓住
暋 6
不变量是解决很多操作问题的突破口,比如和不变、差不变、奇偶性不变、余数不
变等等。在解题时需多加观察和总结。
例3 盒子里装有分别写着 的黄色卡片各一张 称如下
暋 1,2,3,…,100 。
操作为一次操作 从盒子里取出m m 张卡片 算出这m张卡片上各数之
: (7曑 曑10) ,
和减去 的差 将差写在一张红色卡片上 不放回 若干次操作后 盒子里的卡
27 , ( )。 ,
片全部被取出 记所有红色卡片上各数之和为n那么n的最大可能值与最小可能
, ,
值的差是多少
?
点 拨 每操作一次 所有 黄色和红色 卡片上各数之和减少 那么n的值
暋 , ( ) 27,
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就取决于操作的次数 次数最多时n最小 次数最少时n最大
, ; 。
详 解 因为每次操作最少取 张 最多取 张
暋 7 , 10 ,
é ù
所以操作的次数最多是ê ê100 ú ú 次
ë û=14( ),
7
次数最少是100 次
=10( ),
10
n的最大值与最小值相差
27暳(14-10)=108。
答n的最大可能值与最小可能值的差是
: 108。
小 结 这是一类操作问题中的最值问题,解决这类问题的关键在于:找准哪
暋
些量影响所求的问题,操作方式还是操作次数。当操作次数一定时,就要考虑操
作方式;当操作方式相同(或产生的结果相同)时,就要考虑操作次数。
例4 将 十个数随意排成一排 如果相邻两个数中 左边的大于
暋 1~10 。 ,
右边的 那么就交换它们的位置 如此操作下去 直到左边的数都小于右边的数
, 。 ,
为止 当这十个数按如下顺序排列时 共需要进行多少次交换
。 , ?
8,5,2,7,4,3,1,10,6,9
点 拨 最后交换的结果就是将这十个数按从小到大的顺序排列 先从最小
暋 ,
的数 开始交换 将 交换到它应在的位置后 再依次对 进行交换 直至
1 , 1 , 2,3,4,… ,
按从小到大排列为止
。
详 解 因为 左边有 个比它大的数 所以需对 进行 次交换 交换后
暋 1 6 , 1 6 , 1
到了最左边 而其它各数的顺序没有改变
, ;
再看 左边有 个比它大的数 需交换 次 交换后 到了左边第二位 而
2,2 2 , 2 , 2 ,
其它各数的顺序没有改变
;
同样的 分别需要进行 次交换
,3、4、5、6、7、8、9、10 4、3、1、3、1、0、1、0 。
交换的总次数为 次
6+2+4+3+1+3+1+0+1+0=21( )。
答 共需要进行 次交换
: 21 。
小 结 要求写出操作过程或者求操作次数的问题,通常采用逐步操作法,即
暋
先操作其中一个对象,使之满足要求,再操作另一个对象,且在操作这个对象时,
对前面已经满足要求的对象不会产生影响。这样逐步操作,最终使所有对象都满
足要求,即完成整个操作。
例5 现将编号 的 张卡片堆成一摞 从最上面一张开始
暋 1,2,3,…,40 40 ,
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暋暋暋暋暋 暋暋暋暋暋暋" #
$
!
按如下的顺序进行操作 把最上面的一张拿掉 把下一张放在这摞卡片的最下面
: , ,
再把原来的第三张卡片拿掉 把下一张卡片放在最下面 如此反复操作 直到
, …… , 水
只剩下一张卡片 那么这张卡片的编号是多少 则
, ? 载
舟
点 拨 如果直接考虑 张 思路难以打开 我们先从少数卡片寻找规律 当
暋 40 , , , 氋 水
卡片数是 的幂时 剩下的卡片都是刚开始最下面的一张 再将卡片数变成 的 则
2 , 。 2 覆
幂 利用结论解题 舟
, 。 氌
详 解 如果是 张卡片 第一轮拿掉编号为 的卡片 留下编号为 氭 荀
暋栙 4 , 1、3 , 2、4 子
的卡片 第二轮拿掉编号为 的卡片 留下编号为 的卡片 如图 ·
, 2 , 4 , 1, 王
制
氱
如果是 张卡片 第一轮拿掉编号为 的卡片 留下编号为
栚 8 , 1、3、5、7 , 2、4、6、8
的卡片共四张 剩下的情况与 相同 最后剩下编号为 的卡片 如图
, 栙 , 8 , 2,
由此可知 当卡片数是 张时 最后剩下的卡片都是刚开始最下面
栛 , 16,32,64 ,
的一张
。
对于 张卡片 我们可以这样考虑 想办法拿掉 张 使卡片数变为 张 此
40 , : 8 , 32 ,
时拿掉了编号为 的 张卡片 最下面的一张卡片编号为
1,3,5,…,15 8 , 16。
由 可知 最后剩下的一张卡片的编号是
栛 , 16。
答 这张卡片的编号是
: 16。
小 结 当问题的数据较大或者题目的条件较复杂时,可先从数据小或简单
暋
的情况入手寻找规律,找出规律或者得到结论之后,再将所求的问题转化成已解
决的问题。
例6 如图 圆周上写有 三个数 称如下操作为一次操作 在所
暋 1, 3、1、8 , :
有相邻的两个数之间写上这两个相邻的数的和 图 到图 为第 次操作 那么
。 1 2 1 。
第 次操作后 圆周上所有数的和是多少
5 , ?
(第八届“新希望杯暠全国数学大赛六年级试题)
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点 拨 原来圆周上所有的数的和是 第 次操作后 新增的数
暋 3+8+1=12, 1 ,
的和是 是原来圆周上所有数的和的 倍 即第一次操作后 圆周上
11+4+9=24, 2 , ,
所有数的和是原来的 倍
3 。
详 解 每次操作后 在计算新增的数的和时 操作前的圆周上每个数都加了
暋 , ,
次
2 ,
那么新增的数的和是操作前的圆周上所有数的和的 倍
2 ,
即每次操作后 圆周上所有数的和是操作前所有数的和的 倍
, 3 ,
第 次操作后 圆周上所有数的总和为
5
5 , (1+3+8)暳3=12暳243=2916。
小 结 像这类操作问题,每次操作都是在前一次操作的基础上进行的,那么
暋
寻找相邻两次操作的关系就成了解题的关键。
例7 把分别写有 的 张卡片按顺序叠成一摞 从上往下依次是
暋 1~20 20 (
按如下步骤进行操作
1~20), :
第一步 把这摞卡片分成上 下数量相同的两部分 上半摞称为A 下
: 、 , (1~10),
半摞称为B
(11~20);
第二步 把B中从上往下数第一张卡片拿出来 放在桌子上 然后把A中从上
: , ;
往下数第一张卡片拿出来 放在拿出来的第一张卡片上 接着是B中从上往下数
, ;
第二张卡片 A中从上往下数第二张 如此叠成一摞
, …… 。
完成以上两步是一次操作 如下图
, 。
请问 第 次操作后 最上面一张卡片上的数是多少
: 2012 , ?
点 拨 题目所求的操作次数很大 难以具体操作出结果 所以操作过程应该
暋 , ,
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暋暋暋暋暋 暋暋暋暋暋暋" #
$
!
是有规律的 或者呈周期性变化 可用列表的方法找规律
, 。 。
详 解 将这摞卡片从上到下依次编号 将前两次操作的结果列表如
暋 1~20, 由
俭
下
入
:
奢
易
氋
由
奢
入
俭
难
氌
氭
资
治
根据最上面一张卡片上的数的变化规律 作图如下 通
暋暋 , : 鉴
氱
由上图可发现 第 次操作后 最上面一张卡片与操作前的是相同的 那么操
, 6 , ,
作过程以 为周期 所以第 次操作后 最上面一张卡片
5 ,2012暵6=335……2, 2012 ,
与第 次操作后是一样的 都是
2 , 16。
答 第 次操作后 最上面一张卡片上的数是
: 2012 , 16。
小 结 操作问题常常跟奇偶性问题、周期问题、染色问题等结合在一起,知
暋
识面广,解题方法灵活,是竞赛考试中的难点。解这类问题时,通常需分析前几次
操作的过程和结果,发现和总结规律,最终解决问题。
挑 战 自 我
.对于任意一个自然数n 当n为奇数时 加上 当n为偶数时 除以
1 , , 121; , 2。
这算一次操作 现在对 连续进行这种操作 在操作过程中是否可能出现
。 231 , 100?
为什么
?
.对任意两个不同的自然数 将其中较大的数换成这两数之差 如此连续变
2 , ,
换 直到两个数相同为止 如对 和 进行的连续变换为
, 。 28 49 :(28,49)曻(28,21)曻
问 对 和 进行这样的连续变换 最后得到的
(7,21)曻(7,14)曻(7,7)。 : 2012 2605 ,
两个相同的数是几
?
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.现有一列数 对这列数进行如下变换 从左边第一个数开
暋暋3 1,2,3,…,2013, :
始 划掉连续的两个数 并将这两个数的和写在这列数的后面 如此连续变换 直
, , 。 ,
到剩下一个数 这个数是多少
, ?
.口袋里装有 张小纸片 上面分别写着 每次从袋中任意摸出
4 318 , 1~318。
不放回 张 少于 张则全部摸出 小纸片 然后算出这 张小纸片上各数的和
( )8 ( 8 ) , 8 ,
再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中 经过若干次这样的操作后
。 ,
袋中还剩下一张纸片 这张纸片上的数是几
, ?
.现有两个大小相同的容器A和B 其中容器A注入了 升水 容器B是
5 , 2012 ,
空的 按如下过程进行操作 第一次将A的1倒入B中 第二次将B的1倒入A
。 : ;
2 3
中 第三次将A的1倒入B中 第四次将B的1倒入A中 第 次将B
; ; ,……, 2012
4 5
的 1 倒入A中 请问 最后A中的水是多少升
。 : ?
2013
.右图是一个圆盘 中心轴固定在黑板上 开始时 圆盘上每个数字所对应
6 , 。 ,
的黑板处均写着 然后转动圆盘 每次可以转动 的任意整数倍 圆盘上的四
0。 , 90曘 ,
个数将分别正对着黑板上写数的位置 将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数
,
上 问 经过若干次后 黑板上的四个数是否可能都是
。 : , 2012?
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$
!
.口袋里装着分别写有 的红色卡片各一张 从口袋里任意摸
暋暋7 1,2,3,…,135 。
出若干张卡片 并算出这若干张卡片上各数之和除以 的余数 再把这个余数写
, 17 , 天
在另一张黄色卡片上放回口袋里 经过若干次操作后 口袋里还剩下两张红色卡 生
。 , 我
片和一张黄色卡片 已知这两张红色卡片上写的数分别是 和 那么这张黄 材
。 19 97, 必
色卡片上写的数是多少 有
? 用
氋
千
金
散
尽
还
复
来
.一副扑克牌的排列顺序为 第一张是大王 第二张是小王 然后按 氌
8 : , , 燆、燏, 氞
李
四种花色排列 每种花色的牌又按 的顺序排列 将这
燊、燐 , A,2,3,…,J,Q,K 。 54 白
氠
张牌按 编号 称如下操作为一次操作 取走所有编号为奇数的牌 将剩下
1~54 。 : ,
的 如果有 牌从 开始重新编号 若干次操作后 全部的牌都被取走 请问 取走
( ) 1 。 , 。 :
最后一张牌的是第几次操作 最后一张牌是什么
? ?
.在圆周上标数 第一次先把圆周二等分 在两个分点分别标上 和 第二
9 : , 1 3。
次把两段半圆弧分别二等分 在分点标上相邻两个分点上两个数的平均数 如图
, 2,
所示 如此下去 当第 次标完后 圆周上所有数的总和是多少
。 , 8 , ?
.将 十个数随意排成一排 如果相邻两个数中 前面的大于后面的
10 1~10 。 , ,
那么就交换它们的位置 如此操作下去 直到前面的数都小于后面的数为止 已
。 , 。
知 在这列数的第 位 那么最少要交换多少次 最多要交换多少次
10 4 , ? ?
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.把分别写有 的 张卡片按从小到大的顺序叠成一摞 按如下步骤
暋暋11 1~12 12 ,
进行操作
:
第一步 把这摞卡片分成上 下数量相同的两部分 上半摞称为A 下半
: 、 , (1~6),
摞称为B
(1~12);
第二步 把B中从上往下数第一张卡片拿出来 放在桌子上 然后把A中从上
: , ;
往下数第一张卡片拿出来 放在拿出来的第一张卡片上 接着是B中从上往下数
, ;
第二张卡片 A中从上往下数第二张 如此叠成一摞
, …… 。
完成以上两步是一次操作 请问 第 次操作后 最上面一张卡片上的数是多
, : 8 ,
少
?
.图 为 的方格表 在方格表中填写 按如下过程进行操作 先
12 1 4暳4 , 1~16, :
选择一个小方格 然后把这个方格所在的行和列上的其它方格划掉 如此操作直
, 。
到剩下 个数
4 。
求证 按图 的填写方式 不论如何操作 最后剩下的 个数之和必定是
(1) : 2 , , 4
34;
除图 外 剩下的 个数之和必定是 的填写方法有多少种
(2) 2 , 4 34 ?
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暋暋暋暋暋 暋暋暋暋暋暋
