文档内容
数的整除性（一）
三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也
学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些
性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个
自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几
个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两
个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数
整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整
除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，
所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填
4。这个七位数是4735800。
例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？
分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和
271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节
因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整
除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271
整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使
它们的乘积能被12整除？
分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：
12=12×1=6×2=3×4。
要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都
能被12整除；
（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12
整除；
（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整
除。
容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。
对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶
数，所以可以选76554和76550，76554和76552。对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被
3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。
综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数
76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。
例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较
少，所以应选择①为突破口。有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。
上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11
整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是
11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。
例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能
被3整除？
分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反
证法。
假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每
组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的
和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。
练习5
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是
多少？
3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得
到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字
之和是多少？
班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3
整除？
数的整除性（二）
我们先看一个特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡是1001的
整数倍的数都能被7，11和13整除。能被7，11和13整除的数的特征：
如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差
（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数
A就不能被7或11或13整除。
例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？
解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13
整除，不能被7整除。
例3 已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知
□中的数是8。
2位数进行改写。根据十进制数的意义，有
因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能
被3整除。
根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要
么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7
（或13）整除。
因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7
和13整除。
分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7
因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边
第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征，
□99-55=□44也应能被7整除。由□44能被7整除，易知□内应是6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。
判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将
每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27
（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。
例6 判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；（2）8990615496。
解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被
37整除。
（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。
2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。
因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27
整除，进一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。
由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连
续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，
这个数就不能被k9整除。
例7 （1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
解：（1）上述变换可以表示为：
由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除
。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数
变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。
练习6
1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？
88205， 167128， 250894， 396500，
675696， 796842， 805532， 75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437，
11159126，131313555，266117778。
9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？
55119， 55537， 62899， 71258，
186637，872231，5381717。
练习5
1.是。提示：7018和1392分别是4205与2813的和与差。
2.14。
提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因数。4875= 3×5×5×5×13，用这
些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这两个数是3×13=39和5×5=25。它们的差是39-25=14。
3.19。提示：先后填入的三个数依次是7，8，4。
4.123654和321654。
提示：由题意知，b，d，f是偶数，e= 5，所以a，c只能是1和3。
6，进而知f=4，所求数为123654和321654。
5.55人。
提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=9×10，所以总
（人）。
6.不能。
提示：假设能。因为前两个数的和能被3整除，第2、第3个数的和也能被3整除，所以第1、第3两个数
除以3的余数相同。类似可知，排在第1，3，5，7，9位的数除以3的余数都相同。在1～9中，除以3的余数相
同的数只有3个，不可能有5个。这个矛盾说明假设不成立。
练习6
1.能被7整除的有250894，675696，805532；
能被13整除的有88205，167128，805532，75778885。
2.1。
提示：175-62=113，只要□内填1，就有175-162=13。
4.能
5.能。提示：仿例5。
6.4。提示：仿例6。7.0。
解：因为8765□4321能被21整除，所以能被7和3整除。
由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：
8765□4-321=876504+□0-321=876183+□0，
876-（183+□0）=693+□0。
由（693+□0）能被7整除，可求出□=0或7。
再由能被3整除的数的特征，□内的数只能是0。
8.能被27整除的数有：1884924，2560437，131313555，266117778。
能被37整除的数有：1861026，2560437，11159126，131313555。
9.能被19整除的数有：55119，55537，186637；
能被79整除的数有：55537，71258，5381717。
