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分解质因数
自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑
因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做
分解质因数。
例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？
分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积
是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我
们先将13824分解质因数：
把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×
（23×3），
于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米
2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要
求每队人数在100至200之间，共有几种分法？
分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所
以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解
质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余
的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；
2×5×13=130，11；
11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成
10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？
分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。
因为3（3 =27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整
除。
例4 求72有多少个不同的约数。
分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个
数，可将72的约数列表如下：
上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五
列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个
约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数
的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种
情况。
根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。
从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的
自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积
例如，2352=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，
所以2352的不同约数有
（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；
又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有
（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。
例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。
分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相
反。
因为这个数有六个约数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质
因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。因为这
个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；对于a2×b，经试算得到，
22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。
所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。
练习11
1.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的长、宽、
高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？
2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人
今年的年龄各是多少岁？
3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那
么有多少种分法？
4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次
乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？
5.举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？
（2）两个质数的积能是质数吗？
（3）两个合数的和仍是合数吗？
（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？
（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？
6.求不大于100的约数最多的自然数。
7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超
过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，
但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。
练习11
1.374分米3
提示：长方体正面和上面的面积和是：
长×高+长×宽=长×（高+宽）
=209=11×19=11×（2+7），
所求体积为11×2×17=374（分米3）。
2.9岁，77岁。
提示：693=32×7×11，因为爷孙的岁数都大于4岁，693分解成两个大于4的约数的乘积，有693=7×99=9×77=11×63=21×33，
相乘的两个约数减4都是质数的有9×77和21×33，但爷孙的年龄不可能是21岁和33岁，所以是9岁
和77岁。
3.5种。
提示：216=23×33，216的介于5与20之间的约数有6，8，9，12和18五个。
4.11岁，87分，第四名。
提示：3916=22×11×89，小英的年龄应在7～12岁。
5.（1）不一定；（2）不能；（3）不一定；
（4）不一定；（5）不一定。
6.72，60，84，90。
提示：只有一个质因数时，约数最多的是26=64，有7个约数；有两个质因数时，约数最多的是
23×32=72，有12个约数；有三个质因数时，约数最多的是22×3×5=60，22×3×7=84，2×32×5=90，各有12
个约数。
7.甲24环，乙28环。
解：因为环数之积都是1764，说明他们的环数中没有0环和10环，环数都是1764的大于0小于10的约
数。
1764=2×2×3×3×7×7。
五箭的环数可能的情况有：
（1）1，2×2，3×3，7，7即1，4，9，7，7环，和是28；
（2）1，2×3，2×3，7，7即1，6，6，7，7环，和是27；
（3）2，2，3×3，7，7即2，2，9，9，7环，和是27；
（4）2，3，2×3，7，7即2，3，6，7，7环，和是25；
（5）2×2，3，3，7，7即4，3，3，7，7环，和是24。
已知甲比乙的总环数少4环，所以甲总环数是24，乙总环数是28。
