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第 35 讲 容斥原理
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数
部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如
图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N ＋N －N 。
a b ab
Nab
Na Nb
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：
“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没
有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，
多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算
过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语
文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练 习 一
[来源:学*科*网]
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其
中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，
订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的
有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
【答案】1.65+87-122=30（人）
2.54-45+13=22（人）
3.24-8+17=33（人）
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都
答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对
第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上
答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对
的有36－33=3人。
练 习 二
1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个
小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29
人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
[来源:学科网]
3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有
27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
[来
源:学科网]【答案】1.40-（23+25-19）=11（人）
2.55-（32+29-25）=19（人）
3.（50-27）+3-14=12（人）
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加
的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：
56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
练 习 三
[来源:学科网ZXXK]
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4
人。两样都会的有多少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这
两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加
舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
【答案】1.24+18-（36-4）=10（人）
2.69+52-（103-12）=30（人）
[来源:学科网]
3.40+20-14+10=56（人）
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然
数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数
又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍
数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是 6的倍数的数的个数是：100－
33=67个。
练 习 四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第
5个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生？
【答案】1.140个 2.87个
3.（5+8-1）×4=48（人）
例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24
幅
不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展
的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅
是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、
二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两
个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24
＋22－10）÷2=18幅。
练 习 五
1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是
一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作
品共有多少件？
2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅
画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级
参展的画共有多少幅？3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有
28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二
年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共
有多少幅？
【答案】1.89件 2.18幅
3.[（28+24-20）÷2-4]÷2=6（幅）
