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第19讲 重叠问题
一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发
一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，
因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，
我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部
分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助
图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方
法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数
起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数
起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所
以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共
有多少人？
2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一
行座位有多少个？
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3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共
有多少个同学？
[来源:学,科,网]
【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数
起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
【思路导航】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从
前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60
人。
练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数
还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？
[来源:Z,xx,k.Com]
2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，
从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6
个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一
起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠
的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋
16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘
米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木
板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间
重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？
【例题4】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪
明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？
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【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和 做
对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数 36
多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过， 也
在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
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练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的
有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几 人？
2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长 130
厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？
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3.三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不
会的有10名。两种棋都会下的有多少名？
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【例题5】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有
10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从上图可以看出，中间重叠部分表 示两份报纸都订的10人，
这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人
数应是62－10=52人。
练习5：
1.三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有
31人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？
2.两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块
钉在一起的木板总长多少厘米？
3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少
带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？三、课后作业
1、同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一
排共有多少个同学？
2、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋
都不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？
3、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人
至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
[来源:学科网]
4、三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第
6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
[来源:学§科§网]
[来源:学科网]5、两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重
叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？
