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2015年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】方法一
f+8 J 丁 J 丁
由 | — = 2 I 4-°° = +°° 得 f| +°° 丁3 发散；
由「肛dr =+亦工「= +丙得「肛山 发散；
J 2 X Z I 2 J 2 X
f+°° 1 1 +8 f 4-00 1
由 | - ---- dj; = In In j? = + oo 得 | —---- dz 发散，故应选（D）.
J 2
j; In
I 2 J 2
jc[x\
x
r方法二
C+8 丁 C+8 「2 丁 『+8 丁
由 一dx = x €~x dj? = r（2） = 1且 一dr为正常积分得 一djr收敛，故应选（D）.
Joe， Jo Joe" J 2 ex
（2）【答案】（B）.
厶沁.£
/ Sin
【解】/（x ） = lim 1+ -----t ）\ s>n -I • I =e"（_zH0）,
显然fCx）在尤=0处没有定义，
因为Iim/（J7 ）=1,所以x —Q为可去间断点，应选（B）.
T*0-
方法点评：本题综合考查重要极限及函数间断点的分类.
先根据重要极限的计算方法求出/（工），再求出函数的间断点，最后判断间断点所属的
类型.
⑶【答案】（A）.
【解】lim '⑹=lim^^'cos-^y,
x 工卩
工->0 才—o
当 a > 1 时,/（0）存在，且 /（0） =0；
x H 0 时，ff （jc ） =axa~x cos 厶 + • sin 当 9
工卩 JC-
若 在 _z=0 处连续，则 a >l,a — B 一 l>0,即 a — 0>1,应选（A）.
（4）【答案】（C）.
【解】 设f"〈工）=0左边的零点为x =a ,右边的零点为x =b ,
又= 0处f"O 不存在.
因为x =a的左右两侧f\x ）都大于零，所以（a ,/（a ））不是拐点；
因为x = 0左右两侧）异号，所以（0 ,/（0））为拐点；
因为攵=b左右两侧）异号，所以Cb ,/（6））为拐点，
故y ）有两个拐点，应选（C）.
・ 141 •
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及
二阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲
线上对应的点为拐点.
（5）【答案】（D）.
+ y -
=U 9
U
【解】 令V 解得工 二号，则
Q +1Q
u十1
“2 M2 ( 1 一 V )
5 + 1)2 (u + 1 )2 1 + u
Of 2w (1 一 v) af 2 —2
3u 1 + V dv U (1 +v)2 '
=0,l? 1
，应选（D）.
v □ = 1 : u v = = \ 1 n 乙
（6）【答案】（B）.
=rcos (9 , 7T e 7C 1 *希） 侧
【解】 T
=rsin 6 3 /sin 20
1___
jjfdy
=］；〃 f Geos 9 ,rsin (9 )rdr，应选(E).
D 7
（7）【答案】（D）.
【解】 因为AX=b有无数个解，所以r（A） =r（A） < 3,
由 | A | = （a — 1） （a 一 2） = 0 得 a =1 ,a — 2,
当a =1 时,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 2 1 d 0 1 0 d _ ]— 0 1 0 d 一 1
'1 4 1 d2 0 3 0 d2 - F 0 0 0 d2 —3d 十 2
因为方程组有无数个解，所以d 1 或 d —2；
当 a = 2 时，
1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1
A = 1 2 2 d 0 1 1 d — 1 0 1 1 d — 1
'14 4 d2 0 3 3 d2 一 1 0 0 0 d2 —3d + 2
因为方程组有无数个解，所以〃 =1或〃 =2,应选（D）.
方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线性方程组有无数个
解的两个关键点为：厂（A） V 3及r（A） = r（A）.
（8）【答案】（A）.
【解】 因为/•（,,工2，1）经过正交变换X=QY化为标准形2式+工一式，
所以A的特征值为入i =2,入2 =1，入3 = — 1，其对应的特征向量为S ”2山3，
因为S，—es，e2为特征值2, — 1,1对应的特征向量，
所以在X=QY下二次型的标准形为2式一疋+北，应选（A）.
• 142 •
淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.
二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩
阵的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征
值的次序要保持一致.
二、填空题
(9)【答案】48.
dy dy/dt 3 + 3
厂 , 2.2
【解】 d7 = d77dF = ~T- = 3(1 + ^
八
1 +
厂
d
dS d7 12心+几⑵（1 +心,
djr2 djr 1
dT 1 +厂
故兴
=48.
i
(10)【答案】(In 2)" 0(/? — 1).
【解】方法一
广)(工) =(3 廿• 2 乂 .(In 2)" +C； • 2 工• -(In 2)”t +C： • 2 • ・(ln 2) 宀，
则 / (n)(0) ="""「° • 2 -(In 2)"_2 (In 2)n_27z (t?
一
1).
2
方法二
由 y(jr) = x2 21 = j?2eJ,n2 = x2 1+ Jn2 (”
1
n _
n—
2
2
)! n""+o("-2)
十…十
•X $ + z" In 2 x ” + 0 (
十…+ . |- 工")]得
0)_ In" -
广＞(
n ! (?7 2) !
一
故 f(n) (0) =n(n — l)lnn_22.
方法点评：本题考查高阶导数的计算.高阶导数的计算方法通常有:
方法一归纳法
如：y = e" sin x ,
由 yf — ( sin x + cos x) — \[2 e" sin (.
+ cos(h+¥ =(^2)Zsin( j: +
2tc
' 4 T
由归纳法得 y(n) = (a/F)" sin(z +
晋■).
1 \n —(-1)5! a"
需要记住的结论:
ax + b / (ax + b)n+x '
方法二 公式法
即利用公式：(uv)(n) =C加0%+ ---- C：uv (n)
• 143 •
淘宝店铺：光速考研工作室(11) 【答案】2.
p 2 p 2
【解】 由 0 (x ) = J? f (t)dt 得卩'(z)=| f(t)dt +2je2/(je2),
J 0 Jo
再由卩(1) =1,卩'(1) =5 得曲=1,于是 5 = l + 2f(l),解得 /(I) =2.
J 0
(12) 【答案】e~2x +2e\
【解】 特征方程为疋+入-2=0,特征根为心=—2,入2 =1，
则原方程通解为y =C】e七+C2e",
IC1 +C2 =3,
由 y(0) =3,y'(0) = 0得( 解得 C[ = 1 ,C2 = 2,
|一 2C\ + C2 =0,
故》=+ 2e".
方法点评：本题综合考查二阶齐次线性微分方程与函数极值.
先求出微分方程的通解,再由初始条件y(0)= 3,y(0)= 0求出待定常数，从而求出特解.
1 2
(13) 【答案】-- djr------dy.
【解】工=0,夕=0代入于+昭"+ zw = 1得z =0.
=1两边分别对X ,y求偏导得
e’+2y+3z _j_ x^z
e*+" ・(i + 3||) + w+q ||=0,
”+八•(2 + 3 ||) +工z + 目 ||=0,
将 h = 0,夕=0= 0代入上式得f | =— — I =— ,
dx dy
I (0,0) 3 | (o,o) o
故 dz | = — £cLr----djz.
I (0,0) o o
(14) 【答案】21.
【解】B的特征值为⑵一2十1=3, (—2尸-(-2) + 1=7』一1十1=1,
故|於| = 21.
三、解答题
2 3 3
(15) 【解】 方法一 由 ln(l+z)=«z—*~ + ? + o(«z3)，sin x =x —? + o(h3)得
2 3 o
2 3
f {x) = x ax —号-- p 进-- bx2 + o (jc 3 )
= (1+q)2 + (b 一 专)sc? + 3 + o(23 )，
因为f O〜g(«r)，
所以1+q = 0』一守=0,扌=S解得a = — l,b=----,k =----夕.
「V fQx ) v x a ln( 1 + ^ ) + sm x
方法二 由 1 = lim —-~~- = lim--------------------7-----------------
H-o gvx) x-*o kx
• 144 •
淘宝店铺：光速考研工作室a
1 + ------F b sin x bx cos x
lim------------------------7------------------------ ，得 a = — 1,
lo
3kx
1 — -~----\- b sin x bx cos x -—:-----H b sin x bx cos x
1 + jc . l ~r x
再由 1 lim------------------------------------------- = lim
lo
3kx
工-*0
3kx2
----------r + 2b cos x bx sin x
一
(II)----------------------------------，得〃
lim
^kx I
j-—*-0
1 , 1 1
---------------7 一 cos x 十 —X sin x ---------------7 一 COS X
(1+" 2 (1+"_______
再由 1 lim lim
J*07- 6kx x -*0 ^kx
2
Q + sin x
lim (1+工 6 ) k 一1 1 T Z 心 曰 Z 丄 I
■r-► 0
0 e v 守） TT
（16）【解】 由题意，D由曲线y =Asin x 及直线夕=0,工=㊁所围成的区域,
区域d绕乂轴旋转所成的旋转体的体积为v1，则
•A 2
Vi = 7T 2 f2 {x ）d:r = TiA2 sin咯 djc = ~—A z
4
0 0
D绕了轴旋转所成的旋转体的体积为卩2，则
,n_
V2 =2 兀 x f {x )djr = 2tcA x sin x dx = 2nA 9
0 0
O
V x = V2
由 得人=—
7t
(17)【解】 由 f 打(D)=2(j/ + l)e°9 得 = Cy + l)2er +卩(工)9
则 /(工，，)=(』+ 1)2e'+ 申 ( e)(1z+C・
J
0
由 f(0= y2 +2』，得(y + l)2 C = y2 +2^9
解得 C = — 1,即 f〈X= (y + 1)2 er + 卩(无)dz —1，
J o
又由 fx ^O) = (jc + 1)『，得 e" + )=(无 + l)e" 9 解得卩(工)=xe
故 f(j? ,y) = (y + 1)2e" + x djr — 1 = (jy + 1)它 + (jc 一 1)『・
0
怡 7 + 1 )L—e「=0,
H = 0 9
由』 得
恰=2(y + l冶 J = —1・
0,
由空=(y + 1)鼻’十(工 +l)e’， 丄・=2(夕 + l)e" , |-y=2eJ 得
dx 3x- Sy
A 1,B 0,C 2,
0
乂 一
因为AC-B2=2> 0且A〉0,所以 '为极小值点，极小值为/（o,-l）=-l.
了 =—]
• 145 •
淘宝店铺：光速考研工作室八八2— X = 】 一 1， = 1 9
(18)r解】由
y = 1,
jjjr (+ 3/) dx d_y =jjjr 2 dx dj/,
因为区域D关于》轴对称，所以
D D
故j = x (x +』)dx djy = 2JJ jr2 djr dy
D]
2 x 2 a/2 — x2 djr 一 2
0 -
2
施cos t •施cos tdt------
5
4 sin21 • cos21 ck----= 2 I 4 s'Tin2 2tdt-------2f-
8
o 5 0 5
=[4 sin22zd(2^)----
2 sinLck----
J o 5 0
1 7t 2 7t 2
一 x_________=_________
2 2 5 4 5
(19)[解】 由 /z(j? ) = — Vl + x2 + 2jc Vl + 2 = (2j? — 1) \/l + j?2 =0 得 x =y
当< y时，于'(工)< 0；当工> *时，厂(工)> 0,
则工=* 为极小值点,极小值/*)( = ]；丿1 +八山-J； yiTTdf <0,
lim f (工)> 0 9 lim f O〉0 9
J-—00 J._>_|_oo
所以于(工)有两个零点，一个在(*,*)一 之间，另一个为工=1.
方法点评：本题考查函数零点的讨论.
讨论函数零点个数或方程的根的个数一般分如下三个步骤：
第一步，求出函数的定义域；
第二步，求出函数的驻点及不可导点，从而求出函数的极值及单调性；
第三步，求函数在极值点两侧的变化趋势，根据函数的图像求出函数零点个数.
(20)【解】 设/时刻物体的温度为T(t),由题意得
1T
—=-k[T(t) —20]以 > 0),
dr
整理得^ + kT=20k，解得 7(0 = (*2]0& 」"山 +C)「皿=Ce" +20.
(C + 20 = 120， In 10
由 T(0) =120,T(30) =30 得 观 解得 C=lQQ,k
IC 叫+ 20 =30, 30
In 10 in 10
即 T(t) =100』冇'+20,当 T =21 时，由 21 =100』祈'+ 20 得 t =60,
故还需要冷却30分钟，物体的温度才可降到21°C.
• 146 •
淘宝店铺：光速考研工作室（21）【证明】 切线方程为夕=y'（b）（工—b）+f（b）,
切线与工轴的交点为心―£需,0），即工。=5 —£需
5）
因为 /'(J7) > 0 ,所以 f (b) > f (a) =0 ,故 b — a 等价于 6/(6) -/(6) > af ⑹,
f、b)
令(p(x') =xf\x ) 一 /(rr ) — af' (.x ) = (x 一 a) f' l工)—fCx ),
因为 f(a) = 0,
所以 cp (工)= (_z — a )/z(j; ) — \_f (.jc ) 一 /(a )]
=(z — a)y'(_z) — (x 一 a)y'(w)
=(工 一 a ) \_fr Cx ) 一 _/'(€)] (a V g V z ),
因为f'\x ) > 0,所以fQ)单调增加，
从而 /■'(.)> /'(£),于是卩(工)> 0(a Vz Vb),
5）
取工=庆则 bf\b)~f(b) >af\b),即〃一 a ,
〉
故 a < b _ V b.
f(〃)
(22)【解】(I)由川=0得|A | = 0,
/° 1 0
由 | A | =a3 — 0 得 a =0,故 A = |l 0 -1
'o 1
0
(U )由 X -XA2 -AX+AXA2 =E 得(E -A)X — (E -A)XA2 =E,
进一步整理得(E -A)X(E - A2) =E,则 X = (E - A )_1 (E - A2 )_1.
-1 °\ / 0 0 1
1 】 E -A2 = 0 1 0
9
\_
-1 -1 0 2
/1 -1 0 1 0 0\ /I -1 0 : 1 0 °\
由(E-A ： E) = - 1 1 1 0 1 0 —► 0 0 1 1 1 。丿
' 0
-1 1 0 0 F -1 0 0
I1 一 1 0 1 0 0 \ I1 0 0 2 1 -1
b
—A 1 一 1 0 0 -1 -» 0 1 0 1 1 -1
0 / 'o
'0 0 1 :1 1 0 1 1 1 0
/2 1
得(E -AT1 = 1 1 -1 ；
h 1 0 '
/ 0 0 1 1 0 °\ /! 0 -2 0 0 -1
再由(E-A2 > E) = 0 1 0 0 1 0 -» 0 1 0 0 1 0
1 0 2 0 0 0 1 1 0 0
I1 0 0 2 0
0 1 0 0 1 0
、0 0 /
0 1 1 0
• 147 •
淘宝店铺：光速考研工作室/2 0 -1
得(E - A2)-1 = 0 1 0
'10 0
/2 1 — 1 \ /2 0
故 X= 1 1 -10 1
'1 1 0 八1 0
方法点评：本题考查未知矩阵的求法.
求未知矩阵一般分如下情形：
情形一：将矩阵关系式化简为AX =B,且A可逆，则X
情形二：将矩阵关系式化简为AX^B,其中A不可逆或A不是方阵，此时利用方程组求
解的方式求出未知矩阵X；
情形三：用特征值与特征向量及矩阵对角化的方法求未知矩阵.
(23)【解】(I)因为A〜B,所以
l|A|= |B| ,
..工［a +3=6+2,
从而L 解得a =4,6 =5.
\2a —3=6,
(U)因为A〜所以的特征值相同，
A — 1 2 0
由 |AE - B |= 0 A - 5 0 = (A - 1)2(A -5) =0,得
0 - 3 A - 1
A ,B的特征值为入i =入2 =1，入3 = 5.
将人=1 代入QE — A)X = 0,即(E — A)X = 0,
/1 -2 3 \ Z1 -2 3\
由 E-A = \ 1 -2 3 -» 0 0 0，得A的属于特征值入=1的线性无关的特
—3/ 'o
1 2 0
征向量为a]=[lj,a2 = t °
将 A =5 代入QE — A）X = 0,即（5E —A）X = 0,
I 5 -2 3\ /! -2 _1\ Z1 -2 /I 0
由 5E - A = 1 2 3 "» 1 2 3 r» 0 4 4 r» 0 1 1 ,得
1 3 / 'o 8 / 'o
1 2 -2 8 0 Q'
A的属于特征值入
/2 — 3 — 1\ /I 0 0
令 P = 1 0 - 1 ,则 PTap= o 1 0
'o 1 1 ' 'o 0 5
148 •
淘宝店铺：光速考研工作室
