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2015年数学（三）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】 由数列极限的定义容易知道，命题Timz” = a的充分必要条件是= a + e”，
Zff 8
lime„ =0"是正确的.由 limz” =a 可知 z” =a + e„ , lime„ =0,从而有
fl —► oo n —► oo /J —*-oo
•Z 2” = a + £ 2”， lime 2” = 0 , jc3„ =a +e3„ » lime 3“ = 0，
fl―► OO JJ—A 00
力 2卄i = a + e 2卄 1 9 lime 2卄 1 = 0 9 x 3„+i = a + e 3卄】，lim£ 3卄i = 0・
n*°°-
00
再由上述重要条件可知lims” = limj?2n+i =a和limj;3n = limx3n+1 =a，所以选项（A）和选
n—► oo n~a 00 fj—► oo fi―► oo
项（C）中的叙述都是正确的.
另外，若limg =limj；2n+i = a ,由上述充分必要条件知工2” = a+a” , lima” = 0,工2”+1 = a+0”，
jj—► OO jj―► OO fl—► OO
{ak , n —2k ,
lim/?„ = 0,设e” = （ 从而有Jcn —a +e„ , lime„ =0,再由上述的重要条件
必， n —2,k + 1, ”一 8
得limz” =a.所以选项（E）中的叙述也是正确的.下面举反例来说明（D）中的叙述是不正
确的.
”+2
设s = （—1）” •（一1）丁.由于
（—1严・（一1）呻=（—1严=1, 口”+
1 （―］）3”+1 .（—］）
宁=
（_］）4”+2=］,
'3n
所以有limg” = lim#3”+i = 1.但是工3”+2 =（—1）3"+? •（—1）3 = （— l）4n+3 = — 1,
nf8 ”一>
8
于是limj；3”+2 = — 1，因此不可能有lim_z”存在，应选（D）.
” > oo n ~ a 00
（2）【答案】（C）.
【解】 设/""（工）=0左边的零点为
jc
=a，右边的零点为
jc
=b ,又久=0处）不存在.
因为工=a的左右两侧厂（工）都大于零，所以（a ,/Xa））不是拐点.
因为工=0左右两侧严Q）异号，所以（0,/（0））为拐点.
因为x =b左右两侧厂（2）异号，所以（6 »/（6））为拐点.
故y = f d 有两个拐点，应选（C）.
方法点评：本题考查拐点的判别法.
判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二阶不可导的点，其次判断该点两侧
二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上对应的点为拐点.
（3）【答案】（B）.
【解】 区域D如图所示，将D划分为：
D] = 1（厂,0）|0三0€中，0£厂€ 2sin 9 J
D2 = （（r ,（9） J 于 W 0 W 守,0 W 厂 W 2cos 0
— （3）题图7 de *2 sin 0 rf (rcos 9 9 厂 sin ^)dr + , 0 n 2cos 0 厂/(厂cos 0 ,厂sin 0)d厂9应选(E).
0 0
D 0 <
（4）【答案】 (C).
【解】丫（T"+亠，由莱布尼茨审敛法得工T收敛，
U In n In n n==2 In n In n
” = 2 “ = 2
OO OQ ] OO
对工亠，因为亠》丄且 Y丄发散，所以由正项级数的比较审敛法得 工 发
山 n In n n „ = 2 n In n
”=2 ”=2
散，
00 （— 1
I 1
故s : 发散，应选（C）.
5 n
” =2
（5）【答案】（D）.
【解】 因为AX = b有无数个解，所以r (A)= r (A)<3,
-
由 |A| = (a■—l)(a—2)= 0 得 a=l,a=2,
当a = 1时，
I1 1 1 1、 i1 1 1 1 、 1 : 1
2 1 d 0 1 0 d-i 0 i d —1
-
1
4 1 d2' '0 3 0 d2-Y 0 : d2 —3d +2
因为方程组有无数个解，所以d =1或〃 =2；
当a = 2时，
/I 1 1 1 \ /I 1 1 1 \ I1 1 1 1 \
1 2 2 d —A () 1 1 d~l - 1 1 d~\
屛 '0
h 4 4 '0 3 3 d2~V 0 0 d2~3d+2'
因为方程组有无数个解，所以d =1或力=2,应选（D）.
方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.
本题中非齐次线性方程组有无数个解的两个关键点为：r（A） < 3及r（A） =r（A）.
（6）【答案】（A）.
【解】 因为/'（厂，s，工
3）
经过正交变换X = PY化为标准形2砒+龙一矚，
所以A的特征值为A = 2,入 =1，入 — 1，其对应的特征向量为,e2 »e3,
j 2 3 =
因为&i，一e3虫 为特征值2 , — 1,1对应的特征向量，
2
所以/'在正交变换X = QY下的标准形为2yl-yl +式，应选（A）.
方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.
二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩
阵的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征
值的次序要保持一致.
（7）【答案】（C）.
【解】 P(A +B) =P(A) + P(B) - P(AB),
因为 P(A+B) ^P(AB)，所以 P(A) +P(B) - P(AB) P CAB),
PC A) +P(B)
故 P(AB)< ，应选（C）.
2(8)【答案】(B).
【解】S2 -X)2,
"一
1 , = i
因为 E(S?) =D(X)=加0(1 —0),
即 E -^―y(X, -X)2 =加0(1—&),
」
L” 一 1 !=i
m
故 E [工(X, —乂)*= 加(” 一1)0(1—0)，应选(E).
i=l
二、填空题
(9)【答案】一*.
【解】方法一 l H* i - m 0 - I - n - - X - c - o 2 s --- -- x --- =l L im 0 - l - n -- [ - l - - + --- - ( - c X -- o - s g- --- j -- c -- --- — ------ -- 1 ---- ) --- ] -- = [ l X*O . i - m - C - O -- S - X - X - . -- — --- - 1 I
sin jc
[. In cos X [. COS X 1 [. sin x 1 1
方法二 lim------
L o JCg--------- COS JC 2
(10)【答案】2.
p 2 p 2
【解】 由卩(工)=攵| f(t)dt 得卩'(工)=| + 2j72/(je2),
J o J 0
再由卩(1)=1,卩'(1)=5 得[f(t)di = 1,
J 0
于是 5 = 1 + 2/(1)，解得 f(l)=2.
1 9
(11)【答案】 dz — ydj;.
【解】方法一2=0,》=0代入ej+2y+3z + xyz = 1得z =0.
e±+2y+3z +*工 — 1分别对x ,y求偏导得
ex+2y+3z . (] + 3|^) + yz+zy|^=0,
卜*・ (2 + 3韵+ “ +碍=0,
将2=0,夕=0,2= 0代入上式得字| =— ，'| =一£，
djc I (0,0) 3 dy |(o,o) 3
故 dz |(o,o)= — ydjc — —dy .
方法二 将z=0,y= 0代入方程得z =0 ,
+*工 =]两边求全微分得
e’+2y+3z
e^+2y+3z • (d工 + 2dy + 3dz) + yzclr + xzdy + xydz = 0,
1 9
将 z = 0,y=0,z=0 代入并计算得 dz | (o,o)= — —dx — ydj/.
(12)【答案】 「加+2e".
【解】 特征方程为F十入_ 2=0,特征根为入i = —2,入2 =1，
原方程通解为y =C1e_2j; + C2ex ,由 y (0) = 3,3/ (0) = 0 得 解得 Ci = 1 ,C2 = 2,故》=e_2j 十 2ex .
,—2C] H- C2 =0,
先求出微分方程的通解•再由初始条件j/(0)= 3,j/(0)= 0求出待定常数，从而求出特解.
(13) 【答案】21.
【解】B 的特征值为：22—2 + 1=3, (—2)2 — (—2)+ 1=7, 〃一l + l=l,
故"1=21.
(14) 【答案】 j.
【解】 因为p =0,所以X,Y独立且不相关，且X〜N(1,1),Y〜N(0,l),
P{XY-Y< 0} = P{(X - 1)Y< 0}
= p{x < i}p{y > 0} + p{x > i}p{y < 0}
方法点评：本题考查二维正态分布的性质.
注意使用如下性质：
若(X,Y)〜N(知，“2；话，乳；卩)，则X〜N(幻，话)，Y〜N5,0
(15)【解】 方法一 由 ln(l+j;)=x—^- + ^- + o(j;3) ,sinj;=j;—+ o(z3)得
2 3 o
/(j:) = x ax -後—H 2 + o (a-3) = (1 +a)z + (b - 守)工? +才z3 +o(h3),
因为/"(z)〜g(x ),
所以 1+a = 0,b_ 守=0,詈=&，解得 a = — 1 = — ,k =----.
方法二
/(J； ) _ + <2 ln( 1 + jc ) -bx sin x
------------+ 2b cos x — bx sin x1 , 1 . 1
-----------r ——COS X 十—x sm X — COS T
------------------7
审由r V (1+工严 2 (1+工)
2
再由］=11H1-----------------------------------------= lim-------------------------
blzjc bkx
x—o x—o
2
,+ sin x
(1+工) 1侣厶 1
3
=hm------------------------------= _??，侍&=_石
x—o
o6kk ok 3
—得 "7或 H = 1 9
(16)【解】由
y =工 y = 1， 9 =1.
令
£)1={(°,
夕)IOWhWI’h'Wj/W a/2 — j：2 },
因为区域D关于夕轴对称，所以 jjz (jc + y ) dz dy =JJh 2 d_z djy ,
D D
故［= x (j: + jy ) dr dy = 2 j; 2 dj? dj/
1
* dz
o
2
f4 sin21 • cos2 tdt----= 2 | 4 s ,_ i n_ n2 2tdt-------f2-
=8
J o 5 0 5
4 sin22zd(2z)----= P sin2tdt-------
5 5
o Jo
1 7T 2 7t 2
—- 乂 -- ----=-- —--
2 2 5 4 5 *
(17)( I )【证明】 总收益为R=PQ ,
收益对价格的弹性为
ER dP R dR 1 / 器 升器T-乃，
， -----------------^=2 --------- • ---------- ■— ------- I | T +
EP K_ P dP Q \Q + p
P
收益对需求的弹性为
dR
ER E(PQ) dQ =1 —丄
EQ EQ R 7
Q
口 ER Q dR Q 1
EQ R dQ PQ 7
dR
而边际成本为
dQ
故P十
1------
V
厂」・(_］)=亠
(U)【解】 MC=2Q,
7 Q 40-PP =2(40 —P)得 P =30.
（18）【解】y = y（_z）在（j?0 ,点处的切线方程为 y — /（^0）—Zo）
■7~(Zo)
令y = 0 ,则工=JE o
/■'(■To)
切线、直线工=工。及工轴所围成区域的面积为
即4/ =43/，变量分离得竽=在，积分得-彳F + C ,
因为夕（0） = 2,所以C = — 4,故所求的曲线为y =--------
(19)( I )[证明】 令 /(^)=
U ( J；)V(JE ),
A/ = " (z +
Aj?
)u
(工
+ A J： )
一
U (J7 )v(J7 )
+“(工)讥工 一
=“(z + Ajf)Q(_Z + Ajf ) — M (JC )f (j： + △•Z ) + Ajc ) ZZ (J： ) 77 (J：)
一 一 讥工)]
=\_U {x + △■Z ) W(X ) (J； + △•Z ) + M(X ) (JE + A J?)
=(_Z +
Ajc
) + " (g ) ,
则[“ Q )©(z )]' = lim
Ax
Az—o
=lim —A—v (jc + △•z ) + lim “ (jc ) — △j； -
zXz->0 JC ^*0z-
=Uf+ U(J7)77,(J7 )・
(U)【解】
f') =“'1(Z)"2(Z)“ （工）•••％〃 （工 （工）•••况 〃（
•Un（JC ） + Wj（J72 （2 ） + ••• + ）％2 H）・
(20)【解】(I)由 A3 = O 得 |A|=0,
1° 1 0
由 |A |=a3 0 得 a =0,故 A = 1 0 -1
'o
1 0
(II )由 X -XA2 - AX +AXA2 =E 得(E-A)X — (E -A)XA2 =E ,
进一步整理得(E — A)X(E — A?) =E，则X = (E -A)_1(E -A2)-1.
1 0 -1 1 _ 1 0 0 0 1
A2 0 0 0 ,E — A = _ 1 1 1 ,E-A2 0 1 0
1 0 -1 0 _ 1 lz 1 0 2
/1 -1 0 1 0 °\ I1 _ 1 0 1 0 °\
由(E-A i E)= r1 1 1 0 1 0 -» 0 0 1 1 1 0
' 0 J 'o J
-1 1 0 0 -1 1 0 0
I1 —1 0 1 0 0 \ I1 0 0 2 1
[0 1 -1 0 0 -1 - 1 0 1 1 -1
'o 0 / 0 /
0 1 1 1 '0 0 1 1 1
2 1 -1
得(E — A)^ 1 1 -1
1 1 00 -
1 0 0 1 1 0 °\ /! 0 -2 0 0 —
再由(E — Ah E) = 0 1 0 0 1 » 0 1 0 0 1 0
1 0 2 0 0 '0 0 1 1 0 0
I1 0 0 2 0
[0 1 0 0 1 °
♦ 0 /
0 1 1 0
/2 0 -1
得(E-A2)^ = 0 1 0
'10 0
故":
'1 1
方法点评：本题考查未知矩阵的求法.
求未知矩阵一般分如下情形：
情形一：将矩阵关系式化简为AX=B,且A可逆，则X=A _1B；
情形二：将矩阵关系式化简为AX=B,其中A不可逆或A不是方阵，此时利用方程组
求解的方式求出未知矩阵X；
情形三：用特征值与特征向量及矩阵对角化的方法求未知矩阵.
(tr A = tr JB 9
(21)【解】(I)因为A ，所以....
\\A\=\B\,
从而『+ 3—b + 2,解得a =4』=5.
\2a 一 3 = b 9
(U)因为A-B,所以的特征值相同,
A — 1 2 0
由 I XE-B |= 0 A -5 0 = (A - 1)2(A - 5) -0 得
0 - 3 A - 1
A ,B的特征值为A i =A 2 =1,入3 = 5.
将 A =1 代入(AE -A)X =0,即(E — A)X =0,
/ 1 —2 3 \ /I —2 3\
由E-A= 1 -2 3— 0 0 0 得
' —1 2 —3' 、0 0 J
2
A的属于特征值入=1的线性无关的特征向量为S 1
0
将 A =5 代入(AE -A)X =0,即(5E — A)X = 0,
/ 5 —2 3\ /I -2 » ；2
由 5E - A = 1 2 3 -* 1 2
1 2 U 、5 3 ' 'o 8
-2A的属于特征值入=5的线性无关的特征向量为a3
/2 _3 T\ 1(1 0 0\
令 P= 1 0 -1 ,则 P_gP = 0 1 0 •
'o 1 J 5/
0
(22)【解】(I )令 p =P{X > 3} =］「 -叫 1 +°° 1
2一" In 2djc =
Y的可能取值为2,3,- , Y的分布律为
-ph
P {Y =k} = p • C；_i • p • (1 — =Ck -- l)/>2 (1 --pyk~2 ( k = 2,3,•••).
Em = ^kP{Y = k} =p2^kCk-lKl- pY~2
k = 2 k = 22
〃| u2
= p*) 2(£ 7 =P .2 厂16.
7
k=2 1x=7~8
(23)【解】(I)E(X) 2 dH
1十0
9
Je 1-9 2
令E(X) =X，则9的矩估计量为6 =2X — 1.
(H)似然函数为
L ((9 ) =y(_Z 1 )于(22)…/"(Z”)= —-----T~7 £1,0=1,2,…，72 ),
( & W H i
(1 — u )
因为会(0)=宀 ：、”+i >0,所以L(0)关于0为增函数，
C1C7 ( 1 — 7 )
故0的最大似然估计量为0 = min
{Xi}.
1
