文档内容
专题 5.2 二元一次方程组的解法
1. 理解解二元一次方程组的核心思路是“消元”，能明确“消元”是将二元问题转
化为一元问题的关键桥梁。
2. 熟练掌握代入消元法与加减消元法，能运用这两种方法求解简单的二元一次方程
教学目标
组。
3. 体会“转化”与“消元”的数学思想，提升观察、分析和解决方程组问题的能
力。
1.重点
（1）透彻理解“消元”思想是解二元一次方程组的本质，把握其将复杂问题简化的
核心逻辑。
（2）扎实掌握代入消元法和加减消元法的具体步骤，并能准确运用它们解方程组。
教学重难点 2.难点
（1）分析方程组特点，灵活选择代入法或加减法进行消元，避免方法使用僵化或不
当。
（2）当方程组需先变形（如乘系数）才能消元时，易出现计算错误，难以准确实现
消元求解。
1 / 41
学科网（北京）股份有限公司知识点01 代入消元法解二元一次方程组
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一
个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法.
2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代
数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求
解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解.
【即学即练1】
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法，是解题的关键．
（1）由①得 ③，再把③代入②求出 ，最后把 代入③得出 ，即可得出答案；
（2）由②得 ③，将③代入①求出 ，将 代入②求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
由①得： ③，
将③代入②得： ，
解得： ．
将 代入③得： ，
所以原方程组的解是 ；
（2）解： ，
2 / 41
学科网（北京）股份有限公司由②得： ③，
将③代入①得： ，
解得 ，
将 代入②得： ，
所以原方程组的解是 ．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）先将①式进行适当变形，再利用代入消元法求解即可；
（2）先将①式进行适当变形，再利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解： 由①可得 ，③
把③代入②，得 ，解得 ，
把 代入③，得 ，
所以原方程组的解为 ；
（2）解： 由①可得 ，③
把③代入②，得 ，解得 ，
将 代入③，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 ．
3 / 41
学科网（北京）股份有限公司知识点02 加减消元法解二元一次方程组
1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加
或相减，消去一个未知数的方法.
2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分
别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，
求解出另一个未知数的值.
【即学即练2】
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减法消元，②代入
法消元．当系数成倍数关系时，一般用加减法消元，系数为 时，一般用代入法消元．
（1）通过② ①×3求出 的值，将求出的 的代入①求出 的值即可；
（2）通过②×2 ①求出 的值，将求出的 的代入②求出 的值即可；
（3）通过①+②求出 的值，将求出的 的代入①求出 的值即可．
【详解】（1）解：原方程组为
由②-①×3，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，
4 / 41
学科网（北京）股份有限公司所以原方程组的解为
（2）原方程组为
由②×2-①，得 ．
把 代入②，得 ，解得 ，
所以原方程组的解是
（3）整理，得
由①+②，得 ，解得 ，
把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解是
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将每个方程化简，一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项，再利用加减消元法解二元一
次方程组即可解题．
【详解】（1）解： ，
得： ，
解得 ，
5 / 41
学科网（北京）股份有限公司把 代入①得： ，
解得： ，
则方程组的解为 ；
（2）解： ，
化简方程组，得： ，
，得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
则方程组的解为 ．
题型01 用含一个字母的代数式表示另一字母
【典例1】将 ，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组的步骤，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤
是解本题的关键．通过移项即可将方程变形为用x表示y的式子．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：A．
【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）由 可以得到用含x的式子表示y为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质求解即可．
【详解】解：由 得 ，
6 / 41
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：B．
【变式2】由方程组 ，可得出x与y的关系是 ．
【答案】
【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，利用了消元的思想消去字母m是解本题的关键．把
代入 即可消去m得到关于x，y的关系．
【详解】解： ，
把 代入 得， ，
整理得 ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知 ，且x、y互为相反数，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查解二元一次方程组、相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答的关键．
根据相反数的性质得到 ，然后代入 得到 ，进而解方程求解即可．
【详解】解：∵x、y互为相反数，
∴ ，则 ，
将 代入 中，得 ，
解得 ，
故答案为：2．
题型02 代入消元法解二元一次方程组
【典例2】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程组
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：由①，得 ．
把 代入②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，
7 / 41
学科网（北京）股份有限公司所以原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键.
【变式1】解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法的应用），解题的关键是由第一个方程用含一个
未知数的代数式表示另一个未知数，再代入第二个方程消元求解．
先从第一个方程 变形得到 ，将其代入第二个方程 中，把二元一次方程转化为一
元一次方程，求解出 的值，再将 的值代入 求出 的值，进而得到方程组的解．
【详解】解：由 ，得 ．
将 代入 ，得 ．
化简得 ，即 ．
把 代入 ，得 ．
所以方程组的解为 ．
【变式2】解方程组．
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关
键；在解二元一次方程组时，如果方程组中同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法比较简便；如
果方程组中有一个未知数的系数的绝对值是1或者常数项是0时，用代入消元法比较简便．
（1）根据代入消元法解即可；
（2）根据加减消元法解即可．
8 / 41
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
把 代入 得 ，
解得 ，
把 代入 得 ，
原方程组的解为 ．
（2）解： ，
由 得 ，
由 得 ，
解得 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
原方程组的解为 ．
【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入法解方程组 时，有以下过程：
（1）由①，得 ③．
（2）将③代入②，得 ．
（3）去括号，得 ，解得 ．
（4）将 代入③，得 ．
所以原方程组的解是
其中开始出现错误的一步是 ．（请填写序号）
【答案】（3）
【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．根据代入消元法的运算法则进行
判断即可．
【详解】解： ，
9 / 41
学科网（北京）股份有限公司（1）由①，得 ③．
（2）将③代入②，得 ．
（3）去括号，得 ，解得 ．
（4）将 代入③，得 ．
所以原方程组的解是
则开始出现错误的一步是（3）．
故答案为：（3）．
题型03 加减消元法解二元一次方程组
【典例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法
中，能消元的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．根据题意逐一验证每
个选项即可．
【详解】解：A项： ，得 ，故本选项不符合题意；
B项： ，得 ，故本选项不符合题意；
C项： ，得 ，故本选项不符合题意；
D项： ，得 ，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解： ，
，得： ，解得 ；
把 代入 ，得： ，解得 ；
10 / 41
学科网（北京）股份有限公司∴方程组的解为 ．
【变式2】已知 满足方程组 ，则
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用整体思想成为解答本题的关键．
方程组两方程左右两边相减，再整理即可解答．
【详解】解： ，
① ②得： ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的步骤和消元方式．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
得： ，
得： ，
解得 ，
将 代入①得： ，
所以，原方程组的解为 ；
（2）解：
得： ，
得： ，
得： ，
11 / 41
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
将 代入②得： ，
解得 ，
所以，原方程组的解为 ．
题型04 二元一次方程组的错解复原问题
【典例4】甲、乙两人同求方程 的整数解，甲正确的求出一个解为 ，乙把 看成
，求得一个解为 ，则 、 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由
题意易得 ，然后进行求解即可．
【详解】解：把甲的解 代入方程 可得： ，
把乙的解 代入方程 可得： ，
联立可得： ，
解得： ；
故选C．
【变式1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两人共同解方程组 时，甲看错了方程②
中的a，解得 ；乙看错了方程①中的b，解得 ，求 的值．
【答案】0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组
中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键．
根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出 和 的值，
最后代入所求式子计算．
12 / 41
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：甲看错了方程②中的 ，但方程①中的 是正确的，
所以将甲得到的解 ，
代入方程① 中，可得： ，
移项，得 ．
乙看错了方程①中的 ，但方程②中的 是正确的，
所以将乙得到的解 ，代入方程② 中，
可得： ，解得 ．
所以
．
【变式2】（25-26八年级上·广东中山·开学考试）甲、乙两人同时解关于 ， 的方程组 ，甲
解对了，得 ，乙看错了 ，得 试求出原方程组中的 ， ， 的值．
【答案】 ， ， 的值分别为：
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把甲的结果代入方程组求出 的值，得到关于 与 的方程，将乙结果代入第一个方程得到 与 的方程，
联立求出 与 的值即可．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
解得： ，
把 代入方程组中第二个方程得： ，即 ，
联立得： ，
整理得： 得： ，
把 代入②得： ．
13 / 41
学科网（北京）股份有限公司答： ， ， 的值分别为： ．
【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得
到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试求出 的值及原方程组
的解．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲
得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出
正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解．
【详解】解：将 代入②，得 ．
将 代入①，得 ，
解得 ．
把 代入方程组，得
，得 ，
解得 ．
将 代入③，得 ，
则原方程组的解为 ．
题型05 已知二元一次方程组的解求参数
【典例5】若关于 、 的方程 的一个解是 ，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关
14 / 41
学科网（北京）股份有限公司键．将 代入原方程，可得出 ，解之即可得出 的值．
【详解】解：将 代入原方程得： ，
解得： ，
的值为7．
故答案为：7．
【变式1】（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 ，
．
【答案】 3 1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题
的关键．
将 代入 ，即可求解 ．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：3；1．
【变式2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于 的方程组 的解为 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将 代入 得出
关于 的二元一次方程组，求得 的值，即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程组 的解为 ，
∴ ，解得：
∴ ，
故选：C．
15 / 41
学科网（北京）股份有限公司【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组 的解为 ，则“ ”“ ”表
示的数分别是（ ）
A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将
代入方程组即可得到以“■”“ ”为未知数的方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：将 代入方程组得： ，
解得： ， ．
故选：A．
题型06 已知二元一次方程组解的情况求参数
【典例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组 的解满足 ，
则k的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出 ，代入
计算即可求出k的值．
【详解】解：记 ，
则① ②，得 ，
整理，得 ．
代入 得 ，
解得 ．
故选：B．
【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足
，则k的值为 ．
【答案】15
【分析】通过加减消元法先解二元一次方程组，用k表示x、y，再将x、y代入 ，解关于k的方程
即可；本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
16 / 41
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
得 ，
解得 ；
把 代入 得 ，
解得 ；
把 、 代入 得 ，
解得 ．
故答案为：15．
【变式2】已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得 ，结合题干已知
即可列出方程 或 或 或 ，解得m，求得对应的x和y验证即可．
【详解】解： ，
得 ，即 ，
∵ 是整数，方程组有正整数解，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 （舍去），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
综上， ．
故选：C．
【变式3】（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若方程组的解满足 ，求m的值；
17 / 41
学科网（北京）股份有限公司(2)无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
（1）根据 可得 ，代入①求出 与 的解，然后将解代入②即可求出 ；
（2）无论数 取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含 的项不影响等式，即 的系数
必须为0，由此求解．
【详解】（1）解： ，
，
把 代入 得：
，
解得： ，
，
把 代入 得：
，
解得：
（2）解： ，
,
无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，
，解得：
固定解为： ．
题型07 构造二元一次方程组求解
【典例7】（2025八年级上·全国·专题练习）若 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那
么这几个非负数的值都为0得到 ，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
18 / 41
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：D．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程 是关于x和y的二元一次方程，则
， ．
【答案】 1 1
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且
含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义列出关于 ， 的方程组，求出 ， 的值即可．
【详解】解： 方程 是关于 ， 的二元一次方程，
，
解得 ．
故答案为：1，1．
【变式2】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）请写出一个解是 的二元一次方程组（不含
） ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的
解的定义， 应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕 列一组算式，然后用 ，
代换即可．
【详解】解： 的解是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式3】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程 ，当 时，
；当 时， ．求k，b的值．
19 / 41
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组 、 的值代入函数表达式，得到关于 、
的二元一次方程组，再求解该方程组得到 、 的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函
数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关
键．
【详解】解：根据题意，得
解这个方程组得
题型08 利用同解方程组的问题求解
【典例8】（25-26八年级上·全国·期末）若方程组 和 同解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二
个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组
就能得到a的值．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ，
∵方程组 和 同解，
∴把 代入 ，得 ，
解得： ，
20 / 41
学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于 的方程组 与 有相
同的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】将 与 组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，
即可得到结论．
【详解】解：由题意可将 与 组成方程组 ，
解得： ，
把 代入 得： ①，
把 代入 得： ②，
①与②组成方程组得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于 ， 的方程组 与 有相同
的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于 ， 的方程组 与
有相同的解，则 ，解得： ，然后代入 得 ，求出
，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵关于 ， 的方程组 与 有相同的解，
∴ 与 有相同的解，
21 / 41
学科网（北京）股份有限公司由 ，解得： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）已知方程组 和方程组 的解相同，
求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值，掌握二元一次方程组解的定
义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
由题意可得方程组 ，利用加减消元法解方程组得出 ，把 代入方程组
，得 ，利用加减消元法求出 ， 的值，最后把 ， 的值代入 计算
即可．
【详解】解：由题意，得方程组 ，
解得： ，
把 代入方程组 ，得 ，
解得： ，
．
题型09 二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题
【典例9】（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定 ，其中a，b为常数，且
， ，则 （ ）
22 / 41
学科网（北京）股份有限公司A．8 B．4 C．3 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键．
根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到 ，再代入求出答案即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
即 ，
∴ .
故选：D．
【变式1】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“ ”，规定： （其
中m，n均为非零常数），若 ， ，则 的值是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
得： ，
把 代入 得： ，
∴
则 ，
故答案为：9．
【变式2】规定新运算： ，其中 是不等于0的常数，且 ．已知 ，
则 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出 、 的值．
根据 ，其中 ， 是不等于0的常数，且 ． ，可以得到 ，
，然后两个式子相减或相加，可以求得 ， ，从而可以求得 、 的值，再计算
即可．
【详解】解：∵ ， ，
23 / 41
学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
∵ ， 是不等于0的常数，且 ．
∴化简得： ， ，
即 ，
解得 ，
，
故选：C．
【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于实数，规定新运算： ，其中a、b是常
数．已知 ， ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是
熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值；
（2）根据新运算的定义即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可知： ，
解得： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）把方程 写成用含 的式子表示 的形式，正确的是
（ ）
24 / 41
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握等式的基本性质．先将 移到方程右边，
再两边都除以2即可．
【详解】解：
即 ，
则 ．
故选：C．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程组 时，较为简单的方法是（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定
【答案】A
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：解方程组 时，直接将①代入②得到 的值，进而得到 的值． 因此较为简单
的方法是代入法．
故选：A．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组 下列解法正确的是（ ）
A． ，消去 B． ，消去
C． ，消去 D． ，消去
【答案】B
【分析】本题考查了消元法解方程，熟练掌握加减消元法的原理是解题的关键.
【详解】解：A、 得到的式子为： 即： ， 未消去，
不符合题意；
B、 得到的式子为： ，即 ， 消去，符合题意；
C、 得到的式子为： ，即 ， 未消去，不符合题意；
D、 得到的式子为： ，即 ， 未消去，不符
25 / 41
学科网（北京）股份有限公司合题意；
故选：B ．
4．（24-25七年级下·重庆·期末）若x，y是二元一次方程组 的解，那么 的值是（ ）
A．15 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组.
直接计算 即可.
【详解】解： ，
得： ，
故选：A．
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）若 满足 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握绝对值、偶次方的非负性．
根据绝对值、偶次幂的非负性得到关于 的方程组，求出解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ，
故选：C．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）若无论 取何值，关于 的二元一次方程组
都有解，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去 ，得到关于 和 的方程，再根据方程组
有解的条件确定 的值.
【详解】解：二元一次方程组 ，
②-①，得 ，
整理得 ，
即 ，
26 / 41
学科网（北京）股份有限公司∵无论 取何值，关于 的二元一次方程组 都有解，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得 ；
故选：C ．
7．（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组 和 有相同的解，则
的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2021
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题．
利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可．
【详解】解：由题可列方程组 ，
解得 ，
把 代入 得 ，
①+②得 ，
，
．
故选：B．
8．（2023·广东茂名·模拟预测）当实数 ， 满足 时，称点 为和谐点，若以关于 ，
的方程组 的解为坐标的点 为和谐点，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的
值．
【详解】解：∵ ，
27 / 41
学科网（北京）股份有限公司解得 ．
∴ ．
点 为和谐点，
∴ ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ，
故答案选：C．
二、填空题
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）把方程 改成用含x的代数式表示y的形式 ，改成
用含y的代数式表示x的形式 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的变形．根据等式基本性质，对方程 进行移项和系数化为1，即
可解题．
【详解】解： ，
用含 的代数式表示 为： ，用含 的代数式表示 为： ，
故答案为： ， ．
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）将方程组 转化为关于 的一元一次方程，得 ，
整理并解该方程，得 ，将该方程的解代入原方程组，得到该方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解题方法，通过代入消元法来进行消元转化，解题的关键是把二
元一次方程组转化成一元一次方程，进而求解．
通过代入消元法，消去一个未知数 ，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程从而求解．
【详解】将方程组 转化为关于 的一元一次方程，得 ，
28 / 41
学科网（北京）股份有限公司整理并解该方程，得 ，
将该方程的解代入原方程组，得到该方程组的解为： ．
故答案为： ， ， ．
11．（24-25七年级下·全国·期末）已知 的算术平方根是4， 的立方根是3，则 的平方
根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组，立方根、平方根及算术平方根的定义，求出m、n的值是解答本题
的关键．
根据算术平方根及立方根的定义，求出m、n的值，代入可得出 的平方根．
【详解】解：由题意得， ，
即 ，
解得： ，
，
的平方根是 ．
故答案为： ．
12．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知方程组 和 有相同的解，则 的
平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，
平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据题意，可联立新的方程组： ，利用加减消元法解方程组可得： ，然后再把
代入方程组 ，可得： ，解得 ，把a，b的值代入 ，最后求平方根
即可．
【详解】解：由题意，得 ，
解得 ，
29 / 41
学科网（北京）股份有限公司把 代入方程组 ，可得 ，
解得 ，
把 代入 ，得 ，
的平方根为 ，
故答案为： ．
13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两条直角边长 满足方程组 ，则这
个直角三角形的周长是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了解二元一次方程组，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先运用加减消元法解方程组，得 ， ，再根据直角三角形的两条直角边长分别是 ，运用勾股定
理计算，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
∴由 得 ，即 ，
解得 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直角三角形的两条直角边长分别是 ，
∴斜边长 ，
∴ ，
故答案为：12．
14．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若方程组 的解为 ，则方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用换元法求二元一次方程组的解，把方程组 变形为：
30 / 41
学科网（北京）股份有限公司，再根据方程组 的解为 ，由此可得 ，进而得出答案．
【详解】解：将方程组 整理，
可得： ，
方程组 的解为 ，
方程组 的解为 ，
整理可得： ，
故答案为： ．
15．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于 的方程组 无论 取何值， 的值
都是一个定值，则这个定值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键．
， ,得 ,即得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ,得 ．
∴无论 取何值， 的值都是一个定值，则这个定值为11．
故答案为：11．
16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于 的方程组 有下列结论：①当这个方程组
的解 的值互为相反数时， ；②当 时，原方程组的解也是方程 的解；③无论 取
何值， 的值始终不变．其中正确的是 （填序号）
【答案】①③
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是根据条件，求出 、 的表达式．
解方程组得出 、 的表达式，根据 的值确定 、 的值，逐一判断即可．
31 / 41
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
,
当 与 互为相反数时， ，解得 ，故①正确；
当 时，原方程组的解为 ，此时 ，故②错误；
∵ ，无论 取何值， 的值始终不变，故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题
17．（25-26八年级上·重庆忠县·阶段练习）解方程组
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的消元思想是解题的关键．
（1）把① ②得： ，将 的值代入②即可求出 的值；
（2）把① ② 得： ，将 的值代入①即可求出 的值．
【详解】（1）解： ，
把① ②得： ，
解得： ，
把 代入②，得 ，
解得 ，
原方程组的解为 ；
32 / 41
学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
把① ② 得， ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
，
原方程组的解为 ．
18．（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法和加减消元法的运用，根据方程组的特点选
择合适的消元方法求解是解题的关键．
（1）该方程组中第一个方程可直接用x表示y，适合采用代入消元法，将其代入第二个方程，消去 后求
解 ，再回代求 ；
（2）第一个方程含有分母，先去分母化为整式方程，然后与第二个方程结合，通过加减消元法消去其中
一个未知数（如 ），进而求解；
（3）方程组中 和 重复出现，先展开化简，再利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：
33 / 41
学科网（北京）股份有限公司把①代入②，得 ，
解得 ．
把 代入①，得 ，
∴原方程组的解为
（2）解：整理方程组，得
②+①，得 ，解得 ．
②-①，得 ，解得 ，
∴原方程组的解为
（3）解：整理方程组，得
② ①，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，
∴原方程组的解为
19．（25-26七年级上·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
34 / 41
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把②代入①即可；（2）把①代入②即可；（3）把①变形为 ③代入②即可；（4）
把
①变形为 ③代入②即可．
【详解】（1）解：把②代入①，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ．
故原方程组的解是
（2）解：由①得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是
（3）解：由①，得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是
（4）解：由①，得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是
35 / 41
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程，熟悉代入消元法的解题过程是本题的关键．
20．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下面是小华同学解方程组 的过程，请你观察计算过
程，回答下面问题．
解： 得： …（1），
得： …（2）
∴ （3）
(1)第 步（填序号）出错；
(2)请你写出正确的解题过程．
【答案】(1)（1）；
(2) ，过程见详解．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、等式的基本性质等知识点，灵活运用加减消元法解二元一次
方程组是解题的关键．
（1）根据等式的性质即可判断第（1）步出错；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：第（1）步出错．
故答案为：（1）．
（2）解： ，
得： ③，
得： ，
∴ ．
把 代入②，得 ，
所以方程组的解是 ．
21．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组 和 的解相同，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，求代数式的值．
由题意可得这两个方程组的解也是方程组 的解，解方程组得出 ，将此解代入
36 / 41
学科网（北京）股份有限公司得出 ，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：因为方程组 和 的解相同，
所以这两个方程组的解也是方程组 的解．
解 得 ，
将 代入方程组 得 ，
解得 ，
所以 ．
22．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义：数对 经过运算 可以得到数对 ，记作
，其中 （ 为常数）．如当 时， ．
(1)当 时， ．
(2)若 ，则 ． ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方
程是解题的关键．
（1）当 时，分别求出 和 即可得出答案；
（2）根据条件列出方程组即可求出 的值．
【详解】（1）解：当 时，
，
，
故答案为： ；
（2）根据题意得：
解得：
37 / 41
学科网（北京）股份有限公司故 ．
23．（25-26七年级上·全国·课后作业）运算能力规定：形如关于 的两个方程 与 互为
“共轭二元一次方程”，其中 ．由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”， 称之
为“共轭系数”．若关于 的二元一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程
组”的“共轭系数”及其解．
【答案】共轭系数为-3，-6，
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据题中共辄二元一次方程的定义得到关于 的方程组，求出 值即可求出共轭系数；得到共轭方
程组后，通过加减消元法即可求出方程组的解．
【详解】解：由题意，得
整理，得
由①-②×2，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ，
所以 ，
所以“共轭方程组”的“共轭系数”为 ，
所以此“共轭方程组”为
由③×3+④，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，
所以此“共轭方程组”的解为
24．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下面解方程组的过程．
解方程组
解：原方程组可化为
38 / 41
学科网（北京）股份有限公司②－①，得 ，即 ．
把 代入方程②，得 ，解得 ，所以 ，所以原方程组的解是
以上解方程的方法叫作“消常数项法”．
请用“消常数项法”解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按示例“消常数项法”解题即可；
（2）②×2化为两个方程常数项相等，再按示例“消常数项法”解题即可．
【详解】（1）解：
①-②，得 ，即 ．③
将③代入②，得 ，解得 ．
将 代入③，解得 ．
故原方程组的解为
（2）（2）
②×2-①，得 ，即 ．
把 代入①，得 ，解得 ．
把 代入 ，得 ．
故原方程组的解为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握“消常数项法”解二元一次方程组是解题的关键．
25．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
39 / 41
学科网（北京）股份有限公司解方程组 时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得 ，即 ．③
，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：
(2)直接写出关于 的二元一次方程组 的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可．
【详解】（1）解：
①-②，得 ，即 ．③
，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是 ；
（2）解：
①-②，得 ，即 ．③
，得 ．④
②－④，得 ．
把 代入③，得 ．
故原方程组的解是 .
40 / 41
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的
关键．
41 / 41
学科网（北京）股份有限公司
