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专题01 平面直角坐标系中面积问题
一、【知识回顾】
（1）各象限点的特征：
第一象限 （ + ， + ） ；
第二象限 （—， + ） ；
第三象限（一，一）；
第四象限 （ + ，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则 b = 0；
若点P在y轴上，则 a = 0；
若点P在一、三象限角平分线上，则 a = b；
若点P在二、四象限角平分线上，则 a + b = 0 ．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’ （ a ，一 b ）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’ （一 a ， b ）
点P（a，b）关于原点的对称点P’ （一 a ，一 b ）
注 : 谁对称谁不变，另一个互为相反数；原点对称横纵坐标都互为相反数
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
a b a2 b2
①点P到y轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．到原点的距离为 ．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
(ac)2 (bd)2
⑤点P到点M的距离：PM=
（勾股定理）
ac bd
,
⑥线段PM的中点坐标：（ 2 2 ）
二、【考点类型】
考点1：三角形的一边平行于坐标轴或在坐标轴上典例1：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形 的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标
为 ，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单
位的速度从点A出发向终点B运动，连接 ， ， ．设运动时间为t秒（ ）．
(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)请判断四边形 的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与 相似时，请直接写出t的值．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点 ．
(1)填空：m＝______，b＝______；
(2)求 的面积；
(3)在线段 上是否存在一点M，使得 的面积与四边形 的面积比为 ？若存在，请求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点P在线段 上，连接 ，若 是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【变式2】7．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 是 轴正半轴上一点，以 为边作
等腰直角三角形 ，使 ，点 在第一象限．若点 在函数 的图象上，则 的
面积为（ ）
A． . B． . C． . D． .
【变式3】10．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝﹣x，直线l 与l 交于B（a，﹣a），
1 2 1
与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+ ＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么， ，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：三角形的边都不平行于坐标轴或都不在在坐标轴上（铅锤法）
典例2：如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 在反比例函数 的图象上．(1)求反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)在反比例函数 图象上是否存在点P，使 的面积是 面积的2倍．若存在，求点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点
C，连接 ， ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．【变式2】如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴交于 两点，与y
轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，点P为 下方抛物线上一动点，连接 ，当 的面积最大时，请求出P
点的坐标和 的面积最大值；
(3)如图2，点N为线段 上一点，连接 ，求 的最小值．
【变式3】27．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点 在 轴的正半轴上，
点 在反比例函数 的图象上，点 的坐标为 ．(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点 在反比例函数的图象 上，连接 ，若 的面积是菱形 面积的 ，求
点 的坐标．
巩固训练
一、单选题
1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中 ．则三角形ABC的面积是
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴所围成的三角形的面积等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．在 为原点的平面直角坐标系中，位于第一象限的点 到 轴的距离是3；点 与该坐标
系中另一点 连接而成的线段 轴，且三角形 的面积为10，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1或9 C．8 D．-2或8
4．在平面直角坐标系中有点A（0，-2）和点B（3，0），过点B作与y轴平行的直线，点C是直线上一点，
若三角形ABC的面积为6，则点C的坐标为（ ）
A．（3，4）或（3，-4） B．（3，-4） C．（3，4） D．（3，4）或（-3，-
4）
5．在平面直角坐标系中， 是坐标原点，点 ， 的坐标分别为（4，0）和（a，a+1），且三角形
的面积是8，则 的值为（ ）A．3或-5 B．±4 C．3 D．-5
6．点A、B是平面直角坐标系中 轴上的两点，且 ，有一点 与 构成三角形，若 的面积
为3，则点 的纵坐标为（ ）
A．3 B．3或 C．2 D．2或
7．在平面直角坐标系中，0为原点，直线 交y轴于B (0， 5)，交x轴于A，且三角形AOB的面积
为10，则k=( )
A．1 B． C．-2或-4 D． 或
8．如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y＝x图象上，点A在x轴的正半轴上，等腰直角三角形BCD
的顶点C在AB上，点D在函数y＝ 第一象限的图象上若 OAB与 BCD面积的差为2，则k的值为（
△ △
）
A．8 B．4 C．2 D．1
9．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积
为6，则符合题意的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图， 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，A点坐标 点坐标 ， 动点 从A点出
发， 沿 轴正方向运动， 连接 ， 以 为直角边向下作等腰直角三角形 ， 连接
， 当 时， 的面积为（ ）A． B．64 C．32 D．36
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系内，以点 为圆心，5为半径作圆，则该圆与 轴分别交于点 ，则
三角形 的面积为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A，若图中阴影部分的三角形都是
1
等腰直角三角形，则从左往右第2017个阴影三角形的面积是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（2，0），C（0，2），点D在坐标轴上，若三角形
BCD的面积与三角形ABC的面积相等且点D不与点A重合，则点D的坐标为_________．14．在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），
使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 _________．
15．已知平面直角坐标系内，点 的坐标为（2，0），点 的坐标为（0，3），以 为斜边作等腰直角
三角形 ，点 落在第二象限，则点 的坐标为___________，三角形 的面积为__________．
．
16．平面直角坐标系中，已知A（8，0）， AOP为等腰三角形，且 AOP的面积为16，则满足条件的P
点个数是______． △ △
17．在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三个点，下列四个命题：
①若 轴，则 ；
②若 轴，则 ；
③若 ，则 ， ， 三点在同一条直线上；
④若 ，三角形 的面积等于8，则点 的坐标为 ．
其中真命题有______．（填序号）
18．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面
积为6，则k=________．
三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数 （
且 ）的图象在第一象限交于点C，若 ．
(1)求k的值；
(2)已知点P是x轴上的一点，若 的面积为24，求点P的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别是 ， 与 关
于原点 位似， 的对应点分别为 ，其中 的坐标是 ．(1) 和 的相似比是 ；
(2)请画出 ；
(3) 边上有一点 ，在 边上与点 对应点的坐标是 ；
(4) 的面积是 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线
过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段 上一动点，过点P作x轴的
垂线交抛物线于点M，交直线 于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点
C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点 ，点P为线段 上一动点，连接 并延长交抛物线于点H，连结 ，当四边形
的面积为 时，求点H的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以 为斜边作等腰直角三角形 ，请
直接写出点E的坐标．23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m≠0）的图象交于二、四象限内的A、
1 2
B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）．
(1)则m＝ ，n＝ ；
(2)若y＞y 时，则x的取值范围是 ；
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(3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长．
