专题 01 平面直角坐标系与函数概念
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的特征：
第一象限 （ + ， + ） ；
第二象限 （—， + ） ；
第三象限（一，一）；
第四象限 （ + ，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则 b = 0；
若点P在y轴上，则 a = 0；
若点P在一、三象限角平分线上，则 a = b；
若点P在二、四象限角平分线上，则 a + b = 0 ．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’ （ a ，一 b ）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’ （一 a ， b ）
点P（a，b）关于原点的对称点P’ （一 a ，一 b ） ．
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
a b a2 b2
①点P到y轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．到原点的距离为 ．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；(ac)2 (bd)2
⑤点P到点M的距离：PM=
ac bd
,
⑥线段PM的中点坐标：（ 2 2 ）
（二）函数及自变量的取值范围
（1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有
唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
（3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法．
（4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
（6）函数自变量取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__ 分母不等于 0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
（三）函数图像的分析与判断
分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
模块三 考点一遍过
考点1：用坐标表示位置
典例1：如果演唱会门票“8排13座”记作(8,13)，那么(9,8)表示（ ）
A．9排8座 B．8排8座 C．9排9座 D．8排9座
【答案】A
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查了用数对表示位置．
根据题意，电影票上的“8排13座”记作(8,13)，可知用数对表示位置时，第一个数字表示排，第
二个数字表示座，由此即可解答．
【详解】解：∵电影票上的“8排13座”记作(8,13)，
∴(9,8)表示9排8座，
故选：A．
【变式1】在电影院里，如果用(3,10)表示3排10号，那么7排8号可以表示为（ ）A．(8,7) B．(7,8) C．(−7,8) D．(7,−8)
【答案】B
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查用有序实数对表示位置，理解题意，弄清排、号的顺序是解题的关键．根据用
(3，10)表示3排10号，可将7排8号用有序实数对表示出来．
【详解】解：∵用(3，10)表示3排10号，
∴7排8号可以表示为(7，8)，
故选：B．
【变式2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(3,30°)，目标B的
位置为(6,150°)，现有一个目标C的位置为(8,m°)，且与目标B的距离为10，则目标C的位置为
．
【答案】(8,60°)或(8,240°)
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查有序数对在实际生活中的实际应用，理解有序数对所表示的实际意义是做此题的
关键．由目标A的位置为(3,30°)，可知用这种方法表示物体的位置时，前边的数表示与中心点的距
离，后边的数表示角度；观察点C的位置，距离中心点有多远，在哪一个角度上，就不难写出C的
位置怎么标记了．
【详解】解：通过观察图形，点A位于图中距离中心点的第3个圈上，且位于30°角处，它的位置是
(3,30°)．
∴用有序数对确定位置时，第一个数表示该点在距离中心点的第几个圈上，第二个数表示该点在哪
个度数的直线上．
∵目标B的位置为(6,150°)，目标C的位置为(8,m°)，且与目标B的距离为10，
∴C(8,60°)或(8,240°)．
故答案为：(8,60°)或(8,240°)．
【变式3】【数对、位置与方向】（1）如图中，D点的位置为(2,1)，A点的位置用数对表示是 ．
（2）如图中，B点在O点的 偏 °方向上．
（3）计算如图阴影部分的周长和面积（图中每小格为边长1cm的正方形，π取3.14）分别为
、 ．
【答案】 (2,4) 北 东45 15.42cm 3.87cm2
【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置、 圆的周长、 圆的面积
【分析】本题考查了平面坐标系中点的坐标、方向角、求阴影部分周长和面积．
（1）根据坐标系直接写出坐标即可；
（2）根据“上北下南，左西右东”直接可得方向角；
（3）阴影部分的周长即为AB长和两个四分之一圆的长之和，阴影部分的面积即为长方形的面积减
两个四分之一圆的面积．
【详解】解：（1）由坐标系可知：A点的位置用数对表示是(2,4)；
（2）B点在O点的北偏东45°方向上；
1
（3）阴影部分的周长是6+2× ×2×3.14×3=15.42cm，
4
1
阴影部分的面积是3×6−2× ×3.14×32=3.87cm2 ；
4
故答案为：（1）(2,4)；（2）北；东45（3）15.42cm；3.87cm2
考点2：求点的坐标
典例2：如图，已知A(−1, 0), B(m, n)其中点B在第四象限，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得
到AC，则点C坐标可表示为（ ）A．(−n−1, m+1) B．(n−1, m+1) C．(m+1, −1−n) D．
(m+1, 1+n)
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据
旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握知识点是解题
的关键．过点C、B作CD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为点D,E，证明出△ADC≌△BEA(AAS)，再
利用对应边相等，即可求解坐标．
【详解】解：过点C、B作CD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为点D,E，则∠CDA=∠BEA=90°，
∵A(−1, 0), B(m, n)，
∴AE=m+1,BE=−n，
由旋转得AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=∠CAD+∠BAE=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
∴△ADC≌△BEA(AAS)，
∴CD=AE=m+1,AD=BE=−n，
∴OD=−n−1，
∴C(−n−1,m+1)，
故选：A．
【变式1】褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．
若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为(−3,2)，表示尾部点B的坐标为(2,0)，则表
示足部点C的坐标为（ ）A．(0,1) B．(−1,−1) C．(0,−2) D．(0,−1)
【答案】D
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
根据A点的坐标，B点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得C点的坐标．
【详解】解：嘴部点A的坐标为(−3,2)，表示尾部点B的坐标为(2,0)，
那么可以建立如图所示的平面直角坐标系：
所以点C的坐标为(0,−1)
故选：D．
【变式2】在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
则点P的坐标是 ．
【答案】(−5,4)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查各象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解
题的关键．根据各象限内点的坐标的符号特征即可得到答案．
【详解】解：∵点P在第二象限内，
故点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
∴点P的坐标是(−5,4)．
故答案为：(−5,4)．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(1,0)，过x轴上的点B
作BC垂直于x轴，若BC=1，以A为圆心，AC为半径作圆弧交x轴正半轴于点P，则点P的坐标为．
【答案】(√5−1,0)
【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标、线段的
和与差
【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握
相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
先求出AB，OA的长，然后利用勾股定理求出AC的长，于是可得AP的长，利用线段的和与差可求
得OP的长，于是即可求出点P的坐标．
【详解】解：∵A(−1,0)，B(1,0)，O(0,0)，
∴AB=1−(−1)=1+1=2，OA=0−(−1)=0+1=1，
又∵BC=1，
∴AC=√AB2+BC2=√22+12=√5，
∴AP=AC=√5，
∴OP=AP−OA=√5−1，
∴点P的坐标为(√5−1,0)，
故答案为：(√5−1,0)．
考点3：判断点所在的象限
典例3：如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建
立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找
出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，
由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第四象限．
故选：D．
【变式1】若点A的坐标(x,y)满足条件(x−1) 2+|y+2|=0，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】绝对值非负性、判断点所在的象限
【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、平面直角坐标系中点的坐标．首先根据平方
的非负性和绝对值的非负性得到x−1=0，y+2=0，从而可得点A的坐标为(1,−2)，根据坐标判断
点A所在原象限．
【详解】解：∵(x−1) 2+|y+2|=0
又∵(x−1) 2≥0，|y+2|≥0，
∴x−1=0，y+2=0，
解得：x=1，y=−2，
∴点A的坐标为(1,−2)，
∴点A在第四象限．
故选：D．
【变式2】已知一元二次方程x2−3x−6=0有两个实数根x 、x ，点A(x +x ，x x )在第
1 2 1 2 1 2
象限．
【答案】四
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断点所在的象限
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及判断点所在的象限，根据一元二次方程
x2−3x−6=0有两个实数根x 、x ，得出x +x =3，x ⋅x =−6，结合A(x +x ，x x )，得出
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A(3，−6)，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程x2−3x−6=0有两个实数根x 、x ，
1 2∴x +x =3，x ⋅x =−6，
1 2 1 2
∴点A(x +x ，x x )的坐标为(3,−6)，
1 2 1 2
∴点A(x +x ，x x )在第四象限；
1 2 1 2
故答案为：四．
【变式3】已知点P(a,b)，且ab>0，a+b<0，则点P在第 象限；
【答案】三
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点
分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．根据有理数的乘法、
有理数的加法，可得a、b的符号，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：∵点P(a,b)，且ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0，
点P(a,b)在第三象限，
故答案为：三．
考点4：象限点的应用——含参 ☆☆☆☆
典例4：若实数m和n是整数，m<0，n>2，将A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2
个单位，得到B点．若B点位于第四象限，则点C(m,n)的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，先根据平
移得出点B的坐标，再根据点B所在象限列出不等式组，然后结合m和n是整数，m<0，n>2，即
可求出答案．
【详解】解：∵ A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到B点，
∴B(2m+6,n−5)，
∵ B点位于第四象限，
∴¿，
∴¿，
又∵ m<0，n>2，m和n是整数，
∴m可能是−1、−2，n可能是3、4，
∴ C(m,n)可能是(−1,3)、(−1,4)、(−2,3)、(−2,4)，
故选：D．【变式1】已知点M(1−a,12−4a)在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知
识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即
可．
【详解】解：∵点M(1−a,12−4a)在第二象限，
∴¿，
解得：1<a<3，因为点M的坐标都是整数，
所以a=2．
故选：C．
【变式2】已知，在平面直角坐标系中有一点P(2−m,3m+6)
（1）若点P在第一象限的角平分线上，则m= ；若点P在第四象限的角平分线上，则m=
；
（2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ；
（3）多解法点P不可能在第 象限；
（4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标
互为相反数，则m= ．
7
【答案】 −1 −4 m>2 三 −
2
【知识点】求不等式组的解集、点坐标规律探索、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点的平移、相反数等知识点，熟练掌握平
面内点的坐标特征、角平分线上点的特征是解题的关键．
（1）当点P在第一象限的角平分线上2−m=3m+6求出m即可；当点P在第四象限的角平分线上
可得2−m+3m+6=0求出m即可；
（2）根据第二象限上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零列不等式组求解即可；
（3）根据各象限内的坐标特点分别列不等式组求解即可判定；
（4）先求出点P平移后点B的坐标，然后再根据点B的横，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：（1）当点P在第一象限的角平分线上，可得2−m=3m+6，解得：m=−1；
当点P在第四象限的角平分线上，可得2−m+3m+6=0，解得：m=−4．
故答案为：−1，−4．
（2）当点P在第二象限，可得：¿，解得：m>2．
故答案为：m>2．（3）当点P在第一象限，可得：¿，解得：−2<m<2，
当点P在第二象限，可得：¿，解得：m>2，
当点P在第三象限，可得：¿，方程组无解，即点P不可能在第三象限，
当点P在第四象限，可得：¿，解得：m<−2．
故答案为：三．
（4）将点P(2−m,3m+6)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B的坐标
为(2−m−2,3m+6+1)，即B(−m,3m+7)，
∵点B的横，纵坐标互为相反数，
7
∴−m+3m+7=0，解得：m=− ．
2
7
故答案为：− ．
2
【变式3】已知点P(x−a,5−2x)在第一象限，要使x取值有4个整数，则a的取值范围为 ．
【答案】−2≤a<−1/−1>a≥−2
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，点的坐
标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据第一象限点的坐标特征可得：¿，然后
进行计算可得a<x<2.5，再根据已知易得：−2≤a<−1，即可解答．
【详解】解：∵点P(x−a,5−2x)在第一象限，
∴ ¿，
解不等式①得：x>a，
解不等式②得：x<2.5，
∴原不等式组的解集为：a<x<2.5，
∵要使x取值有4个整数，
∴−2≤a<−1，
故答案为：−2≤a<−1．
考点5：坐标与图形
典例5：在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点
的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为(−1，4)，(−4，3)．(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，再作出△A′B′C′关于x轴对称的△A″B″C″；
(3)将△ABC内一点P(a，b)按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)(−a，−b)
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形综合
【分析】本题考查直角坐标系，关于x、y轴对称的点的坐标特点，轴对称变换作图，熟知关于x、
y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
（1）根据A、C两点的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出△ABC各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可得△A′B′C′；分别作出△A′B′C′各
顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可得△A″B″C″；
（3）利用由关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于x轴对称的点的横坐标不变，
纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】（1）解：由A，C的坐标分别为(−1，4)，(−4，3)，
可得直角坐标系如图：
（2）解：如图，△A′B′C′和△A″B″C″即为所求作；（3）解：由关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
得点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(−a，b)；
由关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
得点(−a，b)关于x轴对称的点的坐标为(−a，−b)；
故答案为：(−a，−b)．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列
问题：
(1)写出A，B，C的坐标；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C （注意标出对应点字母）；
1 1 1
(3)求△ABC的面积；
(4)在x轴上找一点P，使AP+BP最小（画出点P即可，保留作图痕迹）．
【答案】(1)A(4，2),B(1，4),C(3，5)
(2)见解析
(3)3.5
(4)见解析
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形
综合
【分析】（1）根据坐标系的知识，确定点的坐标即可．（2）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可．
（3）根据分割法计算面积计算即可．
（4）根据点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，点P即为所求．
本题考查了坐标系中的确定坐标，对称作图，三角形的面积计算，线段和的最小值，熟练掌握对称
作图，线段和最小值是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得A(4，2),B(1，4),C(3，5)．
（2）解：根据题意，得A(4，2),B(1，4),C(3，5)．
故A (−4，2),B (−1，4),C (−3，5)，画图如下：
1 1 1
则△A B C 即为所求．
1 1 1
（3）解：根据题意，得△ABC的面积为：
1 1 1 7
3×3− ×1×3− ×3×2− ×1×2= ．
2 2 2 2
（4）解：如图2，作点A关于x轴的对称点A′，
连接A′B，交x轴于点P，
则点P即为所求，此时点P的坐标为(3,0)．
【变式2】平面直角坐标系中，已知点M(m+2,m−5)．(1)若点M在x轴上，求m的值，
(2)在同一平面直角坐标系中，点A(4,6)，且AM∥y轴，求点M的坐标
【答案】(1)m的值为5
(2)点M的坐标为(4,−3)
【知识点】坐标与图形综合
【分析】本题考查了坐标与图形的性质：
（1）根据x轴上的坐标特征即可解决；
（2）根据平行于y轴的直线上的点的坐标特征即可解决．
【详解】（1）因为点M在x轴上，
所以m−5=0，
解得m=5，
所以m的值为5．
（2）因为点A坐标为(4,3)且AM∥y轴，
所以m+2=4，
解得m=2，
则m−5=−3，
所以点M的坐标为(4,−3)．
【变式3】如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,−2),B(1,1),C(5,1)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________；
(3)△ABC的面积为________；
(4)已知点P为坐标系内一点，连接AP,BP，当△ABP为以AB为斜边的等腰直角三角形时，则点P
的坐标为________．
【答案】(1)见详解
(2)(−5,1)(3)6
(4)(−1,0)或(2,−1)
【知识点】坐标系中描点、等腰三角形的定义、利用网格求三角形面积、坐标系中的对称
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点，轴对称的性质，点的坐标，等腰直角三角形的性质，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别描出点A,B,C，再依次连接，即可作答．
（2）因为点D与点C关于y轴对称，所以点D与点C的横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可作
答．
（3）以BC为底，点A到BC的距离为高，列式计算，即可作答．
（4）根据等腰直角三角形的性质，且结合网格特征，作图，然后读取点P ,P 的坐标，即可作答．
1 2
【详解】（1）解：△ABC如图所示：
（2）解：∵点D与点C关于y轴对称，且C(5,1)，
则点D的坐标为(−5,1)；
故答案为：(−5,1)．
1
（3）解：依题意，△ABC的面积= ×4×3=6，
2
故答案为：6；
（4）解： ∵当△ABP为以AB为斜边的等腰直角三角形时，且结合网格特征，
∴点P ,P 如图所示：
1 2则点P ,P 的坐标分别为(−1,0),(2,−1)．
1 2
故答案为：(−1,0)或(2,−1)．
考点6：坐标规律
典例6：在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个
单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步
的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；
当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第2024步时，棋子所处位置的坐标是（ ）
A．(2023,674) B．(2024,675) C．(2025,674) D．(2026,675)
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个
循环组依次循环是解题的关键．根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3
个单位，向上1个单位，用2024除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐
标即可．
【详解】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个
单位，
∵2024÷3=674⋯2，
∴走完第2024步，为第674个循环组的第2步，
所处位置的横坐标为674×3+1+2=2025，
纵坐标为674×1=674，
∴棋子所处位置的坐标是(2025,674)．
故选C．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),···，根据这个规律，第2025个点的坐标为
（ ）
A．(1,44) B．(45,0) C．(46,0) D．(1,45)
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右
边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排
列，由452=2025可写出第2025个点的坐标．
【详解】解：从正方形的观点考虑，∵452=2025，
∴第2025个点是横坐标45时，在x轴上的点，
∴第2022个点的坐标为(45,0)．
故选：B．
【变式2】如图，点A(1,1)在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对
称点为A ，点A 关于x轴的对称点为A ，点A 向右平移3个单位长度得到点A ，点A 向上平移3
1 1 2 2 3 3
个单位长度得到点A ，点A 关于y轴的对称点为A ，点A 关于x轴的对称点为A ，点A 向右平移
4 4 5 5 6 6
5个单位长度得到点A ，点A 向上平移5个单位长度得到点A ，…，以此规律，点A 的坐标为
7 7 8 99
．
【答案】(26,−25)
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图像规律，找到横纵坐标变化规律，从而得到点的规律．
根据图形，得到A (n+1,n+1)，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移
4n
(2n+1)个单位，进而求出点A 的坐标即可．
99
【详解】解：由图可知：A(1,1)，A (2,2)，A (3,3) ...，
4 8
∴A (n+1,n+1)，
4n
从A 到A 的平移为：向上平移3个单位长度，
3 4
从A 到A 的平移为：向上平移5个单位长度，
7 8
依次类推，
从A 到A 的平移为：向上平移(2n+1)个单位长度，
4n−1 4n
∵100÷4=25，
∴A 的坐标为(26,26)，
100
∴A 向上平移2×25+1=51个单位长度，得到A ，
99 100
∴A (26,26−51)，即：A (26,−25)；
99 99
故答案为：(26,−25)．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM M 的直角边OM 在x轴上，点M 在
0 1 0 1
第一象限，且OM =1，以点M 为直角顶点，OM 为一直角边作等腰直角三角形OM M ，再以
0 1 1 1 2
点M 为直角顶点，OM 为直角边作等腰直角三角形OM M ⋅⋅⋅依此规律则点M 的坐标是
2 2 2 3 2025
．
【答案】(21012,21012)
【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形
【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，勾股定理，通过计算发现规律，然后根据规律求
解．
【详解】解：由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，∵2025=253×8+1，
∴点M 的在第一象限的角平分线上，
2025
∵OM M 是等腰直角三角形，
1 2
∴OM =√12+12=√2，
1
同理可求：OM =(√2) 2 ，OM =(√2) 3 ，…， OM =(√2) n ，
2 3 n
∴OM =(√2) 2025 ，
2025
√2
∴M =M = OM =21012 ，
x y 2 2025
∴点M 的坐标为(21012,21012)，
2025
故答案为：(21012,21012)．
考点7：函数的定义
典例7：下列选项中，y不是x函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，
则y叫x的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
B、自变量x每取一个值，y有两个值和它对应，∴y不是x函数，该选项符合题意；
C、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
D、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，
∴y是x函数，该选项不合题意；
故选：B．
【变式1】下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
1
A．y=2x B．y=x² C．y=±√x¿ D．y= (x≠0)
x
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】对于每一个x，有且仅有一个y与之对应，所以C符合题意
【变式2】下列图象中，不能表示y是x的函数的是 ．（填序号）
【答案】
【知识点③】函④数⑤的概念
【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y
有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，
因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．
【详解】解：根据函数的定义可知， 和 部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩
个确定的值与之对应， 自变量x在③一定的④范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不
满足函数定义．其余均⑤满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定
的值与之对应，．
故答案为： ．
【变式3】下③列④y⑤与x的关系中，y不是x的函数关系的是 ．（填序号）
2 2
①y=−2x−1； ②|y|=2x； ③y2=x； ④y=−x2； ⑤y= ； ⑥y= ．
x x+1【答案】②③
【知识点】函数的概念
【解析】对于每一个x，有且仅有一个y与之对应，所以②③符合题意
考点8：函数的关系式
典例8：弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂的物体的质量x（单位：
kg）（不超过10kg）间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5 …
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 …
则下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．当所挂物体质量为9kg时，弹簧的长度为14cm
【答案】D
【知识点】函数解析式、用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查了函数的概念，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键．
由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，当不挂重物时弹簧长度
为10cm，然后逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A.x与y都是变量，说法正确，故选项正确，不符合题意；
B.弹簧不挂重物时的长度为10cm，故选项正确，不符合题意；
C. 物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故选项正确，不符合题意；
D.由题意可知，y=10+0.5x，当所挂物体质量为9kg时，弹簧的长度为y=10+0.5×9=14.5(cm)，
故选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式1】如图为有春蛋糕店的价目表，阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，结账时发现该点正在举办优
惠活动，优惠方式为每买5个蛋糕，其中1个价格最低的蛋糕免费，因此阿凯后来多买了1个黑樱
桃蛋糕．若阿凯原本的结账金额为x元，后来的结账金额为y元，则x与y的关系式不可能为下列何
者？（ ）A．y=x B．y=x+5 C．y=x+10 D．y=x+15
【答案】D
【知识点】函数解析式
【分析】本题考查了函数关系式的应用，分类讨论思想，根据题意，需要对第一次买的蛋糕进行讨
论，和后来添加的黑樱桃蛋糕的价格进行对比，再进行解答．
【详解】解：阿凯原本拿了4个蛋糕去结账，后来多买了一个50元的黑樱桃蛋糕，优惠方式为：价
格最低的蛋糕免费．
①若原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格等于50元或高于50元，最后买的黑樱桃蛋糕是最便宜的，
免费，
∴此时原本结账金额等于后来结账的金额，即y=x；
②如果原本四个蛋糕中最便宜的蛋糕价格低于50元，则这个最便宜的蛋糕就变成免费，改以黑樱桃
蛋糕计费，价格发生变化．
如果原本四个蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），买了黑樱桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕变成免费，
需要付黑樱桃蛋糕，多付10元，
此时，y=x+10；
③如果原本四个蛋糕中最便宜的是45元，买了黑樱桃蛋糕后，多付5元，
此时，y=x+5．
故选：D．
【变式2】有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为m升、n升，且已各装有一些水，若将甲水箱
中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装20升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，
乙水箱还剩10升的水．则m与n之间的数量关系是 ．
【答案】n=m+30
【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了x、y公升水，根据题意可
得n=x+ y+20①，m=x+ y−10②，然后①−②即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了x、y公升水，由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装20公升的水得：n=x+ y+20①；
由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩10公升的水得：m=x+ y−10②；
①−②得：n−m=30，
∴n=m+30，
故答案为：n=m+30．
【变式3】高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的
减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x
的关系式为 ．
城市 A地 B地 C地 D地
海拔x（米） 0 300 600 1500
沸点y（度） 100 99 98 95
x
【答案】y=100−
300
【知识点】函数解析式
【分析】本题主要考查确定函数关系式．根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可．
【详解】解：由表得：海拔每上升300米，沸点降低1度，
x
∴y与x的关系式为y=100− ；
300
x
故答案为：y=100− ．
300
考点9：自变量的取值范围
1
典例9：函数y=√2x−5+ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
5 5 5 5
A．x≠ B．x> 且x≠3 C．x≥ D．x≥ 且x≠3
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负
数解题即可．
【详解】解：由题可得：2x−5≥0，x−3≠0，
5
解得：x≥ 且x≠3，
2
故选：D．1
【变式1】下列函数中，自变量x的取值范围是 <x<1的是（ ）
3
√ x−1 √3x−1
A．y= B．y=
3x−1 x−1
x−1 1 1
C．y= D．y= +
√3x−1 √1−x √3x−1
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式√a(a≥0)以及分母不为0求解即可．
√ x−1 1
【详解】A.由y= 可得¿或¿，解得x≥1或x< ，不符合题意；
3x−1 3
√3x−1 1
B.由y= 可得¿或¿，解得x>1或x≤ ，不符合题意；
x−1 3
x−1 1
C.由y= 可得3x−1>0，解得x> ，不符合题意；
√3x−1 3
1 1 1
D.由y= + 可得¿，解得 <x<1，符合题意；
√1−x √3x−1 3
故选：D．
【变式2】y=(x2−5) 0 +
x+2
自变量x的取值范围
√x−1
【答案】x>1且x≠√5
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、
零指数幂计算即可得出答案．
【详解】解：∵y=(x2−5) 0 +
x+2
有意义，
√x−1
∴¿，
解得：x>1且x≠√5，
故答案为：x>1且x≠√5．
(x−4) −2−√x−3
【变式3】函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
x−5
【答案】x≥3且x≠4且x≠5
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、负整数指数幂、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义
的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
根据题意得不等式组¿求解即可．
【详解】解：根据题意，得¿∴x≥3且x≠4且x≠5．
故答案为：x≥3且x≠4且x≠5．
考点10：函数值计算
典例10：定义：自变量为x的某个函数记为f(x)，当自变量x取某个实数a时的函数值记为f(a)．若
已知函数f(x)=x(x−1)，则 以下结论正确的是（ ）
A．f(a)+f(−a)=0 B．若f(a)=a，则a=0
1
C．f(a)⋅f( )=1 D．f(a)=f(1−a)
a
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数值的计算，解一元二次方程；分别计算出f(a)、f(−a)、f(1−a)及
(1)
f ，即可完成．
a
【详解】解：∵f(a)=a(a−1)，f(−a)=a(a+1)，f(1−a)=(1−a)(1−a−1)=a(a−1)，
(1) 1(1 ) 1−a
f = −1 = ，
a a a a2
∴f(a)+f(−a)=a(a−1)+a(1+a)=2a2≠0，
故A错误；
若f(a)=a(a−1)=a，解得a=0或a=2，
故B错误；
(1) 1−a (a−1) 2
f(a)⋅f =a(a−1)⋅ =− ≠1，
a a2 a
故C错误；
f(1−a)=a(a−1)=f(a)，
故D正确；
故选：D．
【变式1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是−3和2时，输出的y值相等，则b
等于（ ）A．5 B．−5 C．7 D．3和4
【答案】A
【知识点】求自变量的值或函数值、程序设计与实数运算
【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出x=−3时y的值，再将x=2、y=9代入y=2x+b
计算即可．
【详解】解：∵当x=−3时，y=(−3) 2=9，
∴当x=2时，y=2×2+b，即9=2×2+b，
解得：b=5，
故选：A．
【变式2】二次函数y=−x2+2x−3，当0<x<3时，则函数值y的取值范围为 ．
【答案】−6<y≤−2
【知识点】求自变量的值或函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物
线的增减性．先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解：∵y=−x2+2x−3=−(x−1) 2−2，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−2)，
∵−1<0，抛物线图象开口向下，
∴x=1时，有最大值为y=−2，
∵|0−1|=1<|3−1|=2，
∴当x=3时，有最小值为y=−9+6−3=−6，
∴当0<x<3时，−6<y≤−2，
故答案为：−6<y≤−2．
【变式3】已知二次函数f (x)=ax2−6ax+c，如果f (1)=5那么f (5)= ．
【答案】5
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】本题考查求函数的函数值，先把x=1代入可得到c=5+5a，然后代入x=5解题即可．
【详解】解：当x=1时，a−6a+c=5，解得c=5+5a，∴当x=5时，25a−30a+c=25a−30a+5+5a=5，
故答案为：5．
考点11：实际问题与函数图像
典例11：A、B两地之间是一条直路，小红步行从A地往B地，小明跑步从B地往A地，两人同时
出发，小明先到达目的地，两人之间距离y(m)与小红的运动时间x(min)的函数关系是大致如图，下
列说法不正确的是（ ）
A．两人出发2分钟后相遇
B．小红步行的速度是90m/min
C．小明到达目的地时两人相距260m
D．A、B两地相距720m
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在
一开始时，两人的距离为720m，即可判断D，得到A、B两地的距离为720m，从而可以求出小红的
速度，即可判断B；根据在出发2min后，两人相距为0m，即可判断A；求出两人的合速度，从而
求出小明到达目的地的花费时间，求出此时小红的路程即可判断C．
【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为720m，
∴A、B两地的距离为720m，
故选项D正确，不符合题意；
∵小明先到达目的地，
∴小红到目的地花费的时间为8min，
∴小红的速度为720÷8=90m/min，故B选项正确，不符合题意；
∵在出发2min后，两人相距为0m，即此时两人相遇，故A选项正确，不符合题意；
∵两人出发2min相遇，
∴两人的合速度为720÷2=360m/min，
∴小红的速度为90m/min，∴小明的速度为270m/min，
8
∴小明到目的地花费的时间为720÷270= min，
3
8
∵90× =240m，
3
∴小明到达目的地时两人相距240m，故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【变式1】为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图1所示的水压表和深度表．图2是深度表的工作原
理简化电路图，其中R (Ω)的阻值会随下潜深度h(m)的变化而变化．其变化关系图象如图3所示．
1
90
深度表由电压表改装．已知电压表示数U(V)与电阻R 的关系式是U= ．则下列说法不正确
1 R +15
1
的是（ ）
A．随着潜水深度的增大，R 的阻值不断减小
1
B．随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小
C．当下潜的深度为10m时，R 的阻值为30Ω
1
D．当下潜的深度为40m时，电压表的示数为3V
【答案】B
【知识点】从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了函数图象，解题关键是准确识别图象，正确进行计算．根据图象所给信息，逐
项判断即可．
【详解】解：由图象可知，随着潜水深度的增大，R 的阻值不断减小，A正确，不符合题意；
1
90
由于随着潜水深度的增大，R 的阻值不断减小，所以R +15逐渐减小，U= 不断增大，B不
1 1 R +15
1
正确，符合题意；
由图象可知，当下潜的深度为10m时，R 的阻值为30Ω，C正确，不符合题意；
1
90
当下潜的深度为40m时，R =15，U= =3V，D 正确，不符合题意；
1 15+15故选：B．
【变式2】甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行
驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法：
①甲车的速度为50km/h；
②乙车用了3h到达B城；
③甲车出发4h时，乙车追上甲车；
④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③④
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息；根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根
据函数图象上的数据得出乙车到达B城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲
车出发4h时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以2小时，求出甲
车出发4h时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度×时间=总路程，即可判断出乙车出
发后经过1h或3h，两车相距的距离，从而判断出④正确．
300
【详解】解：①甲车的速度为 =50km/h，故本选项正确，符合题意；
6
②乙车到达B城用的时间为：5−2=3h，故本选项正确，符合题意；
300
③甲车出发4h，所走路程是：50×4=200km，甲车出发4h时，乙走的路程是：
3
×2=200km，则乙车追上甲车，故本选项正确，符合题意；
④当乙车出发1h时，两车相距：50×(1+2)−100×1=50km，当乙车出发3h时，两车相距：
100×3−50×(3+2)=50km，故本选项正确，符合题意；
故答案为：①②③④．
【变式3】根据以下素材，完成下面的问题：
［素材1］某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，
②③两路段路程相等．
［素材2］假设每位游客游玩时，行走速度v保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数
据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
［问题1］游客游玩时的行走速度v为 米/分．
［问题2］路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 米．
【答案】 60 4800
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，数形结合是解答本题的关键．
（1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图
x+ y+z x+ y+z−2100
象可知 = ，进而可求出速度；
45 10
（2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小
时25分钟”可进行求解．
【详解】解：（1）由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10−40=45（分钟），小温游玩行走
的时间为205−100=105（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
x+ y+z x+ y+z−2100
= ，
45 10
解得：x+ y+z=2700，
∴游玩行走的速度为(2700−2100)÷10=60（米/秒）．
故答案为：60；
（2）由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3 y=105×60=6300，
∴x+ y=2100，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+ y+z+x+ y=2700+2100=4800（米）；
故答案为：4800．
考点12：动点问题
典例12：如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速
度从点B出发，沿折线BC−CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t(s)，
DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下三个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤ y≤3；正确的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点
问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解题的关键．由图知当动点P沿BC匀速
运动到点C时，DP2=7，作DE⊥BC于点E，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到BC，即可
判断①，当t=5时，证明△ADP是等边三角形，即可判断②，当4≤t≤6时，且DP⊥AC时，DP2
最小，求出最小值即可判断③．
【详解】由图知当动点P沿BC匀速运动到点C时，
DP2=7，作DE⊥BC于点E，
∵△ABC D AB BD=2
是等边三角形，点 在边 上， ，
∴∠B=60°,AB=BC=AC，
∴DE=BD·sin60°=√3，BE=BD·cos60°=1，
∴EP=√DP2−DE2=√7−3=2，
∴AB=BC=BE+EP=1+2=3，故①正确；
当t=5时，PC=5−3=2,AP=1=AD，
∵∠A=60°
，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=AD=1，∴y=DP2=1，故②正确；
当4≤t≤6时，且DP⊥AC时，DP2最小，
∵AD=1,∠A=60°
，
√3
∴DP=AD·sin60°= ，
2
3 3
∴DP2最小值为 ，即y能取到 <1，故③错误；
4 4
故选：D．
【变式1】已知△ABC内接于⊙O，BC=2．点A从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A运动的
路线长为l，△ABC的面积为S，S随l变化的图象如图所示，其中l −l =√2π．
2 1
①点A在运动的过程中，始终有∠BAC=45°；
②点M的纵坐标为√2+1；
1
③存在4个点A的位置，使得S= ．
2
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、利用勾股定理的逆定理求解、圆周角定理、求某点的弧形运动路
径长度
【分析】根据题意画出圆，分两种情况求出∠BAC的度数，即可判断①是否正确；求出点A位于优
1
弧中点时，△ABC的面积，即可判断②是否正确；求出△ABC的面积为 时，BC边上的高，再与
2
弓形高比较，即可判断③是否正确．本题考查动点问题的函数图象，圆的有关概念和性质，解答中
还涉及勾股定理的逆定理，理解题意，弄清函数图象中数据的意义是解题的关键．【详解】解：由S随l变化的图象，画出△ABC内接于⊙O，点A在圆周上顺时针运动的起始位置，
如图，
设点D，点E分别是优弧和劣弧的中点，
则DE是⊙O的直径，DE⊥BC，
设⊙O的半径为r，DE与BC交于点H，
由题意，知A´D的长为l ，AC´E的长为l ，
1 2
1
∵ AC´E的长−A´D的长= ⊙O的周长，
2
∴l −l =πr，
2 1
∵ l −l =√2π，
2 1
∴πr=√2π，
解得r=√2，
当点A在BD´C上时，
连接OB，OC，
∵OB=OC=√2，BC=2，
∴OB2+OC2=(√2) 2+(√2) 2=4，BC2=4，
∴OB2+OC2=BC2，
∴∠BOC=90°，
∴∠BAC=45°，
当点A在B´C上时，
∠BAC=180°−45°=135°，
故①错误；
当点A运动到点D位置时，
在△DBC中，BC=2，DH=OD+OH=√2+1，
1
∴S = BC⋅DH=√2+1，
△DBC 2
∴点M的纵坐标为√2+1，故②正确；
1
当S= 时，设BC边上的高为h，
2
1 1
则 ×2h= ，
2 2
1
解得h= ，
2
1
∵DH> ，
2
1
∴ BD´C上存在2个点A的位置，使得S= ，
2
1
∵EH=OE−OH=√2−1< ，
2
1
∴B´C上不存在点A的位置，使得S= ，
2
1
∴存在2个点A的位置，使得S= ，
2
故③错误，
综上，正确结论的序号为：②．
故选：A．
【变式2】如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿
A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图
象如右图2所示，则CD的长度为 cm．
【答案】6
【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象
【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题
的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量
关系求解．
【详解】解：如图，点P运动至点B时，x=4，即AB=4，1
△AFP的面积= AF⋅AB=12，解得：AF=6cm
2
∴BC+DE=6cm，
x=16时,点P运动至点E，即AB+BC+CD+DE=16cm
∴CD=6cm，
故答案为：6．
【变式3】如图1，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到矩形EFGD，点P从点C出发沿
C→D→E向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿E→F→G向点G运动，连接
MP，MB，PB．设PC=x，△PBM的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，其中图象最低
11
点N的纵坐标为 ，则a+b的值为 ．
2
【答案】7
【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查函数图象，动点与几何图形面积的计算，根据图象可知CD=EF=4，设
1 1 1
DE=m，则S = (m+x)(m+4)− mx− (m+4−x)x，根据二次函数图象的性质可得
△PBM 2 2 2
3 11 22
∴ m2+2m= ，由此即可可得m=2或− ，则可得到a=1,b=6，代入计算即可．
8 2 3
【详解】解：∵点P，M的运动速度相同，
∴CP=EM，
根据旋转的性质可得，AB=CD=EF=DG，AD=BC=DE=FG，
当点P在CD上时，点M在EF上，
∴S =S −S −S
△BPM 梯形BCEM △BCP △EMP
(BC+EM)(CP+EP) 1 1
= − BC·CP− EM·EP
2 2 2
1 1 1 1 1 1
= BC·CP+ BC·EP+ EM·CP+ EM·EP− BC·CP− EM·EP
2 2 2 2 2 21
= (BC·EP+EM·CP)，
2
由图象可知当4≤x≤b时，y为定值，
∴CD=EF=4，设DE=m，
∴S = 1 (m+x)(m+4)− 1 mx− 1 (m+4−x)x= 1( x− 1 m ) 2 + 3 m2+2m，
△PBM 2 2 2 2 2 8
3 11
∴ m2+2m= ，
8 2
22
∴m=2或m=− （不符合题意，舍去），
3
∴DE=BC=2，则CE=CD+DE=4+2=6，
∵PC=x，
∴EP=6−x，
1 1 1
∴S = (BC·EP+EM·CP)= [2(6−x)+x2]= x2−x+6(0≤x≤4)，
△BMP 2 2 2
11 1 11
当y= 时， x2−x+6= ，
2 2 2
解得，x =x =1，
1 2
∴a=1,b=6，
∴a+b=7．
