文档内容
专题 01 平面直角坐标系与函数概念
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的特征：
第一象限 （ + ， + ） ；
第二象限 （—， + ） ；
第三象限（一，一）；
第四象限 （ + ，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则 b = 0；
若点P在y轴上，则 a = 0；
若点P在一、三象限角平分线上，则 a = b；
若点P在二、四象限角平分线上，则 a + b = 0 ．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’ （ a ，一 b ）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’ （一 a ， b ）
点P（a，b）关于原点的对称点P’ （一 a ，一 b ） ．
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
a b a2 b2
①点P到y轴的距离为 ，到y轴的距离为 ．到原点的距离为 ．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；(ac)2 (bd)2
⑤点P到点M的距离：PM=
ac bd
,
⑥线段PM的中点坐标：（ 2 2 ）
（二）函数及自变量的取值范围
（1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有
唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
（3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法．
（4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
（6）函数自变量取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__ 分母不等于 0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
（三）函数图像的分析与判断
分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
模块三 考点一遍过
考点1：用坐标表示位置
典例1：如果演唱会门票“8排13座”记作(8,13)，那么(9,8)表示（ ）
A．9排8座 B．8排8座 C．9排9座 D．8排9座
【答案】A
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查了用数对表示位置．
根据题意，电影票上的“8排13座”记作(8,13)，可知用数对表示位置时，第一个数字表示排，第
二个数字表示座，由此即可解答．
【详解】解：∵电影票上的“8排13座”记作(8,13)，
∴(9,8)表示9排8座，
故选：A．
【变式1】在电影院里，如果用(3,10)表示3排10号，那么7排8号可以表示为（ ）A．(8,7) B．(7,8) C．(−7,8) D．(7,−8)
【答案】B
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查用有序实数对表示位置，理解题意，弄清排、号的顺序是解题的关键．根据用
(3，10)表示3排10号，可将7排8号用有序实数对表示出来．
【详解】解：∵用(3，10)表示3排10号，
∴7排8号可以表示为(7，8)，
故选：B．
【变式2】如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(3,30°)，目标B的
位置为(6,150°)，现有一个目标C的位置为(8,m°)，且与目标B的距离为10，则目标C的位置为
．
【答案】(8,60°)或(8,240°)
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查有序数对在实际生活中的实际应用，理解有序数对所表示的实际意义是做此题的
关键．由目标A的位置为(3,30°)，可知用这种方法表示物体的位置时，前边的数表示与中心点的距
离，后边的数表示角度；观察点C的位置，距离中心点有多远，在哪一个角度上，就不难写出C的
位置怎么标记了．
【详解】解：通过观察图形，点A位于图中距离中心点的第3个圈上，且位于30°角处，它的位置是
(3,30°)．
∴用有序数对确定位置时，第一个数表示该点在距离中心点的第几个圈上，第二个数表示该点在哪
个度数的直线上．
∵目标B的位置为(6,150°)，目标C的位置为(8,m°)，且与目标B的距离为10，
∴C(8,60°)或(8,240°)．
故答案为：(8,60°)或(8,240°)．
【变式3】【数对、位置与方向】（1）如图中，D点的位置为(2,1)，A点的位置用数对表示是 ．
（2）如图中，B点在O点的 偏 °方向上．
（3）计算如图阴影部分的周长和面积（图中每小格为边长1cm的正方形，π取3.14）分别为
、 ．
【答案】 (2,4) 北 东45 15.42cm 3.87cm2
【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置、 圆的周长、 圆的面积
【分析】本题考查了平面坐标系中点的坐标、方向角、求阴影部分周长和面积．
（1）根据坐标系直接写出坐标即可；
（2）根据“上北下南，左西右东”直接可得方向角；
（3）阴影部分的周长即为AB长和两个四分之一圆的长之和，阴影部分的面积即为长方形的面积减
两个四分之一圆的面积．
【详解】解：（1）由坐标系可知：A点的位置用数对表示是(2,4)；
（2）B点在O点的北偏东45°方向上；
1
（3）阴影部分的周长是6+2× ×2×3.14×3=15.42cm，
4
1
阴影部分的面积是3×6−2× ×3.14×32=3.87cm2 ；
4
故答案为：（1）(2,4)；（2）北；东45（3）15.42cm；3.87cm2
考点2：求点的坐标
典例2：如图，已知A(−1, 0), B(m, n)其中点B在第四象限，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得
到AC，则点C坐标可表示为（ ）A．(−n−1, m+1) B．(n−1, m+1) C．(m+1, −1−n) D．
(m+1, 1+n)
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据
旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握知识点是解题
的关键．过点C、B作CD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为点D,E，证明出△ADC≌△BEA(AAS)，再
利用对应边相等，即可求解坐标．
【详解】解：过点C、B作CD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为点D,E，则∠CDA=∠BEA=90°，
∵A(−1, 0), B(m, n)，
∴AE=m+1,BE=−n，
由旋转得AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=∠CAD+∠BAE=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
∴△ADC≌△BEA(AAS)，
∴CD=AE=m+1,AD=BE=−n，
∴OD=−n−1，
∴C(−n−1,m+1)，
故选：A．
【变式1】褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．
若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为(−3,2)，表示尾部点B的坐标为(2,0)，则表
示足部点C的坐标为（ ）A．(0,1) B．(−1,−1) C．(0,−2) D．(0,−1)
【答案】D
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
根据A点的坐标，B点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得C点的坐标．
【详解】解：嘴部点A的坐标为(−3,2)，表示尾部点B的坐标为(2,0)，
那么可以建立如图所示的平面直角坐标系：
所以点C的坐标为(0,−1)
故选：D．
【变式2】在平面直角坐标系中，点P在第二象限内，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
则点P的坐标是 ．
【答案】(−5,4)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查各象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解
题的关键．根据各象限内点的坐标的符号特征即可得到答案．
【详解】解：∵点P在第二象限内，
故点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
∴点P的坐标是(−5,4)．
故答案为：(−5,4)．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(1,0)，过x轴上的点B
作BC垂直于x轴，若BC=1，以A为圆心，AC为半径作圆弧交x轴正半轴于点P，则点P的坐标为．
【答案】(√5−1,0)
【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、写出直角坐标系中点的坐标、线段的
和与差
【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握
相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
先求出AB，OA的长，然后利用勾股定理求出AC的长，于是可得AP的长，利用线段的和与差可求
得OP的长，于是即可求出点P的坐标．
【详解】解：∵A(−1,0)，B(1,0)，O(0,0)，
∴AB=1−(−1)=1+1=2，OA=0−(−1)=0+1=1，
又∵BC=1，
∴AC=√AB2+BC2=√22+12=√5，
∴AP=AC=√5，
∴OP=AP−OA=√5−1，
∴点P的坐标为(√5−1,0)，
故答案为：(√5−1,0)．
考点3：判断点所在的象限
典例3：如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建
立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的象限，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．在图中找
出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，
由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第四象限．
故选：D．
【变式1】若点A的坐标(x,y)满足条件(x−1) 2+|y+2|=0，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】绝对值非负性、判断点所在的象限
【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、平面直角坐标系中点的坐标．首先根据平方
的非负性和绝对值的非负性得到x−1=0，y+2=0，从而可得点A的坐标为(1,−2)，根据坐标判断
点A所在原象限．
【详解】解：∵(x−1) 2+|y+2|=0
又∵(x−1) 2≥0，|y+2|≥0，
∴x−1=0，y+2=0，
解得：x=1，y=−2，
∴点A的坐标为(1,−2)，
∴点A在第四象限．
故选：D．
【变式2】已知一元二次方程x2−3x−6=0有两个实数根x 、x ，点A(x +x ，x x )在第
1 2 1 2 1 2
象限．
【答案】四
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断点所在的象限
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及判断点所在的象限，根据一元二次方程
x2−3x−6=0有两个实数根x 、x ，得出x +x =3，x ⋅x =−6，结合A(x +x ，x x )，得出
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A(3，−6)，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程x2−3x−6=0有两个实数根x 、x ，
1 2∴x +x =3，x ⋅x =−6，
1 2 1 2
∴点A(x +x ，x x )的坐标为(3,−6)，
1 2 1 2
∴点A(x +x ，x x )在第四象限；
1 2 1 2
故答案为：四．
【变式3】已知点P(a,b)，且ab>0，a+b<0，则点P在第 象限；
【答案】三
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点
分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．根据有理数的乘法、
有理数的加法，可得a、b的符号，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：∵点P(a,b)，且ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0，
点P(a,b)在第三象限，
故答案为：三．
考点4：象限点的应用——含参 ☆☆☆☆
典例4：若实数m和n是整数，m<0，n>2，将A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2
个单位，得到B点．若B点位于第四象限，则点C(m,n)的可能位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了点坐标平移的规律，象限内点的坐标的特点和解一元一次不等式组，先根据平
移得出点B的坐标，再根据点B所在象限列出不等式组，然后结合m和n是整数，m<0，n>2，即
可求出答案．
【详解】解：∵ A(2m−4,n−3)向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到B点，
∴B(2m+6,n−5)，
∵ B点位于第四象限，
∴¿，
∴¿，
又∵ m<0，n>2，m和n是整数，
∴m可能是−1、−2，n可能是3、4，
∴ C(m,n)可能是(−1,3)、(−1,4)、(−2,3)、(−2,4)，
故选：D．【变式1】已知点M(1−a,12−4a)在第二象限，且它的坐标都是整数，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点、解一元一次不等式组等知
识．在第二象限内，横坐标小于0，纵坐标大于0.列出不等式组，解不等式组，然后求出整数解即
可．
【详解】解：∵点M(1−a,12−4a)在第二象限，
∴¿，
解得：12 三 −
2
【知识点】求不等式组的解集、点坐标规律探索、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点的平移、相反数等知识点，熟练掌握平
面内点的坐标特征、角平分线上点的特征是解题的关键．
（1）当点P在第一象限的角平分线上2−m=3m+6求出m即可；当点P在第四象限的角平分线上
可得2−m+3m+6=0求出m即可；
（2）根据第二象限上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零列不等式组求解即可；
（3）根据各象限内的坐标特点分别列不等式组求解即可判定；
（4）先求出点P平移后点B的坐标，然后再根据点B的横，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：（1）当点P在第一象限的角平分线上，可得2−m=3m+6，解得：m=−1；
当点P在第四象限的角平分线上，可得2−m+3m+6=0，解得：m=−4．
故答案为：−1，−4．
（2）当点P在第二象限，可得：¿，解得：m>2．
故答案为：m>2．（3）当点P在第一象限，可得：¿，解得：−22，
当点P在第三象限，可得：¿，方程组无解，即点P不可能在第三象限，
当点P在第四象限，可得：¿，解得：m<−2．
故答案为：三．
（4）将点P(2−m,3m+6)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B的坐标
为(2−m−2,3m+6+1)，即B(−m,3m+7)，
∵点B的横，纵坐标互为相反数，
7
∴−m+3m+7=0，解得：m=− ．
2
7
故答案为：− ．
2
【变式3】已知点P(x−a,5−2x)在第一象限，要使x取值有4个整数，则a的取值范围为 ．
【答案】−2≤a<−1/−1>a≥−2
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，点的坐
标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据第一象限点的坐标特征可得：¿，然后
进行计算可得aa，
解不等式②得：x<2.5，
∴原不等式组的解集为：a 且x≠3 C．x≥ D．x≥ 且x≠3
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负
数解题即可．
【详解】解：由题可得：2x−5≥0，x−3≠0，
5
解得：x≥ 且x≠3，
2
故选：D．1
【变式1】下列函数中，自变量x的取值范围是 1或x≤ ，不符合题意；
x−1 3
x−1 1
C.由y= 可得3x−1>0，解得x> ，不符合题意；
√3x−1 3
1 1 1
D.由y= + 可得¿，解得 1且x≠√5
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、
零指数幂计算即可得出答案．
【详解】解：∵y=(x2−5) 0 +
x+2
有意义，
√x−1
∴¿，
解得：x>1且x≠√5，
故答案为：x>1且x≠√5．
(x−4) −2−√x−3
【变式3】函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
x−5
【答案】x≥3且x≠4且x≠5
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、负整数指数幂、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义
的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
根据题意得不等式组¿求解即可．
【详解】解：根据题意，得¿∴x≥3且x≠4且x≠5．
故答案为：x≥3且x≠4且x≠5．
考点10：函数值计算
典例10：定义：自变量为x的某个函数记为f(x)，当自变量x取某个实数a时的函数值记为f(a)．若
已知函数f(x)=x(x−1)，则 以下结论正确的是（ ）
A．f(a)+f(−a)=0 B．若f(a)=a，则a=0
1
C．f(a)⋅f( )=1 D．f(a)=f(1−a)
a
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值
【分析】本题考查了函数值的计算，解一元二次方程；分别计算出f(a)、f(−a)、f(1−a)及
(1)
f ，即可完成．
a
【详解】解：∵f(a)=a(a−1)，f(−a)=a(a+1)，f(1−a)=(1−a)(1−a−1)=a(a−1)，
(1) 1(1 ) 1−a
f = −1 = ，
a a a a2
∴f(a)+f(−a)=a(a−1)+a(1+a)=2a2≠0，
故A错误；
若f(a)=a(a−1)=a，解得a=0或a=2，
故B错误；
(1) 1−a (a−1) 2
f(a)⋅f =a(a−1)⋅ =− ≠1，
a a2 a
故C错误；
f(1−a)=a(a−1)=f(a)，
故D正确；
故选：D．
【变式1】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是−3和2时，输出的y值相等，则b
等于（ ）A．5 B．−5 C．7 D．3和4
【答案】A
【知识点】求自变量的值或函数值、程序设计与实数运算
【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出x=−3时y的值，再将x=2、y=9代入y=2x+b
计算即可．
【详解】解：∵当x=−3时，y=(−3) 2=9，
∴当x=2时，y=2×2+b，即9=2×2+b，
解得：b=5，
故选：A．
【变式2】二次函数y=−x2+2x−3，当0 ，
2
1
∴ BD´C上存在2个点A的位置，使得S= ，
2
1
∵EH=OE−OH=√2−1< ，
2
1
∴B´C上不存在点A的位置，使得S= ，
2
1
∴存在2个点A的位置，使得S= ，
2
故③错误，
综上，正确结论的序号为：②．
故选：A．
【变式2】如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿
A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图
象如右图2所示，则CD的长度为 cm．
【答案】6
【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象
【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题
的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量
关系求解．
【详解】解：如图，点P运动至点B时，x=4，即AB=4，1
△AFP的面积= AF⋅AB=12，解得：AF=6cm
2
∴BC+DE=6cm，
x=16时,点P运动至点E，即AB+BC+CD+DE=16cm
∴CD=6cm，
故答案为：6．
【变式3】如图1，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到矩形EFGD，点P从点C出发沿
C→D→E向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿E→F→G向点G运动，连接
MP，MB，PB．设PC=x，△PBM的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，其中图象最低
11
点N的纵坐标为 ，则a+b的值为 ．
2
【答案】7
【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长、图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查函数图象，动点与几何图形面积的计算，根据图象可知CD=EF=4，设
1 1 1
DE=m，则S = (m+x)(m+4)− mx− (m+4−x)x，根据二次函数图象的性质可得
△PBM 2 2 2
3 11 22
∴ m2+2m= ，由此即可可得m=2或− ，则可得到a=1,b=6，代入计算即可．
8 2 3
【详解】解：∵点P，M的运动速度相同，
∴CP=EM，
根据旋转的性质可得，AB=CD=EF=DG，AD=BC=DE=FG，
当点P在CD上时，点M在EF上，
∴S =S −S −S
△BPM 梯形BCEM △BCP △EMP
(BC+EM)(CP+EP) 1 1
= − BC·CP− EM·EP
2 2 2
1 1 1 1 1 1
= BC·CP+ BC·EP+ EM·CP+ EM·EP− BC·CP− EM·EP
2 2 2 2 2 21
= (BC·EP+EM·CP)，
2
由图象可知当4≤x≤b时，y为定值，
∴CD=EF=4，设DE=m，
∴S = 1 (m+x)(m+4)− 1 mx− 1 (m+4−x)x= 1( x− 1 m ) 2 + 3 m2+2m，
△PBM 2 2 2 2 2 8
3 11
∴ m2+2m= ，
8 2
22
∴m=2或m=− （不符合题意，舍去），
3
∴DE=BC=2，则CE=CD+DE=4+2=6，
∵PC=x，
∴EP=6−x，
1 1 1
∴S = (BC·EP+EM·CP)= [2(6−x)+x2]= x2−x+6(0≤x≤4)，
△BMP 2 2 2
11 1 11
当y= 时， x2−x+6= ，
2 2 2
解得，x =x =1，
1 2
∴a=1,b=6，
∴a+b=7．
