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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第五章 二元一次方程组·基础通关
建议用时：100分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意；
B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意；
C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．下列哪一组x，y的值不是方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解需使方程左右两边相等，因此将每组 、 的
值代入方程验证即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、当 ， 时， ，故A是方程的解，不符合题意；
B、当 ， 时， ，故B是方程的解，不符合题意；
C、当 ， 时， ，故C不是方程的解，符合题意；
D、当 ， 时， ，故D是方程的解，不符合题意；故选：C．
3．已知方程 ，用含x的式子表示y，可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用含 的式子表示 ，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ （移项），
∴ （两边同时除以4），
故选：C．
4．利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是（ ）
A．要消去 ，可以将① B．要消去 ，可以将① ②
C．要消去 ，可以将① ② D．要消去 ，可以将① ②
【答案】C
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
利用加减消元法判断即可．
【详解】解：利用加减消元法解方程组 ，
要消元y，可以将 ；
① ②
要消去x，可以将 ，
① ②
故选C．
5．方程 有一组解是 ，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】把解代入方程解答即可．本题考查了方程的解，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：方程 有一组解是 ，
故 ，
解得 ，
故选：B．
6．已知一次函数 （ 、 为常数， ），当 时， ；当 时， ．则一次函
数 与正比例函数 图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与
性质是解题的关键．先利用待定系数法求得函数的解析式，然后根据一次函数的解析式判断图象所经过的
象限，进而判断交点所在象限即可．
【详解】解：把 ， ； ， 分别代入 中得：
，解得 ，
一次函数为 ，正比例函数为 ，
一次函数 的图象在第一、三、四象限，正比例函数 的图象在二、四象限，
一次函数 与正比例函数 图象的交点在第四象限．
故选：D ．
7．若关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组
的两式相加得 ，进而发现与 的关系，从而获解．
【详解】解：将二元一次方程组 的两式相加，得 ，又∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
8．古老的巴比伦泥板书中记载这样一个问题：两块田地中，第一块每沙尔出产 西拉谷物，第二块每沙
尔出产 西拉谷物（沙尔和西拉分别为面积和容积的度量单位）．第一块地的产量比第二块的多500西拉；
两块地的面积总共为1800沙尔，问每块地各是多大？设第一块地为x沙尔，另一块地为y沙尔，则可列方
程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意列出二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意列方程组得， ，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于 ， 的方程
组 的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的
方程组的解是解题关键．
将点 代入 ，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中 的值，纵坐标为方程组中 的值．
【详解】解： 在同一平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，
，
∴ ，
∴
则关于 、 的方程组 的解为 ．
故选：B．
10．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论a 取何值，
x，y的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数
的解有4个．其中不正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可．
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．【详解】解：
得： ，
即 ，
把 代入①得： ，
当 ，即 时， ，
把 代入 ，
此时 ，
∴ ，不是方程组的解；选项①错误；
假设x与y互为相反数， ，
无解，选项②正确；
当 时，代入 ， 中，
解得 ，
代入 中，成立，
∴也是方程 的解，选项③正确；
由x与y都为自然数，
∴ ， 都为自然数，
∴ ，
解得 ，
， 为整数，故 和 为偶数，
为奇数，
∴ ，
自然数解有4对，选项④正确．
∴不正确结论的个数为1个；故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．写出一个解是 的二元一次方程组： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为 的二元一次方程，并把这两
个方程组成方程组即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴符合题意的二元一次方程组可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
12．若最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据同类二次根式的定义得
到关于 的方程组，解方程求出 的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类二次根式的定义是解
题的关键．
【详解】解：由题意得， ，
化简得， ，
解得 ，∴ ，
故答案为： ．
13．已知一次函数表达式 ，且当 时， ；当 时， ，则这个一次函数表达
式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．把两组对应值分
别代入 得到关于 、 的方程组，然后解方程组求出 、 ，从而得到一次函数解析式．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
∴ 这个一次函数表达式是 ．
故答案为： ．
14．一个长方形的长增加 ，面积就增加 ；宽减少 ，面积就减少 ，原长方形的面积是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键．
设原长方形的长为 ，宽为b，再根据题意列方程组求得a、b的值，然后求原长方形的面积即可．
【详解】解：设原长方形的成为 ，宽为b，
则 ，解得： ，
所以原长方形的面积是 ．
故答案为 ．
15．已知方程组 是关于 的二元一次方程组，则 的值为 ．【答案】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值
的意义是解决问题的关键．
根据二元一次方程组的定义得 ，求出 后进行验证，即可得出最终 的值．
【详解】解：∵方程组 是关于 的二元一次方程组，
∴ ，即 ，
解得： ，
当 时，原方程组可转化为： ，不符合二元一次方程组的定义，舍去；
当 时，原方程组可转化为： ，符合二元一次方程组的定义；
综上所述： 的值为 ．
故答案为： ．
16．已知方程组 的解是 ，则方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组 变形为 ，把
看做一个整体，则 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵方程组 的解是 ，
∴方程组 的解满足 ，
解得 ，
故答案为： ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解下列方程组：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解；
（2）先将原方程组变形，再由加减消元法求解．
【详解】（1）解：
由 得， ，解得 ，
将 代入①得， ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：原方程组化为
由 得， ，
解得 ，
将 代入①得， ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ．
18．阅读下列解题过程，完成相应任务．
解方程组： ．
解：由①，得 ，③
把③代入②，得 ，．．．第一步
去括号，得 ，．．．第二步
解得 ．．．．第三步
将 代入③，得 ．．．．第四步
所以原方程组的解为 ．．．．第五步
任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________．
A．代入消元法
B．加减消元法任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________；
任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________．
【答案】（1）A；（2）二， ；（3）
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解；
（3）根据代入消元法可进行求解方程．
【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法；
故选A；
（2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为 ；
故答案为二， ；
（3） ．
由①，得 ，③
把③代入②，得 ，
去括号，得 ，
解得 ，
将 代入③，得 ，
所以原方程组的解为 ；
故答案为 ．
19．已知方程组 与方程组 的解相同．求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．
把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的
方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可．【详解】解：由题意得， ，
① ②，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
解得 ，
∴该方程组的解为 ，
把 代入 ，
得 ，
③ ④，得 ，
解得 ，
把 代入③，得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象由函数 的图象向上平移得到，
且经过点 ，与直线 相交于点 ．直线 和直线 分别与 轴交于
点 ， ．(1)求这个一次函数 的解析式及交点 的坐标；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)3
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一
次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据题意可得 ，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P
的坐标；
（2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象由函数 的图象向上平移得到，
∴ ；
点 在直线 上，
，
解得 ，
一次函数 的解析式为 ；
联立 ，解得 ，
的坐标为 ．
（2）解：在 中，令 得 ，，
在 中，令 得 ，
，
，
的面积为 ．
21．如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问
题：
(1)每本数学课本的厚度为_________ ，讲台的高度为_________ ；
(2)当有 本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为_________（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)每本数学课本厚度为 ，讲台高度为
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意是解此题的关键．
（1）设每本课本厚度为 ，讲台高度为 ，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）根据总高度 讲台高度 课本总厚度即可得解．
【详解】（1）解：设每本课本厚度为 ，讲台高度为 ，
由图可知： ，
解得： ，
答：每本数学课本厚度为 ，讲台高度为 ；
（2）解：∵总高度 讲台高度 课本总厚度，
∴ ．22．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程
和 为“关联方程”．
(1)若关于x的方程 与方程 是“关联方程”，求a的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，设两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
(3)若关于x的方程 和 是“关联方程”，求b的值．
【答案】(1)25
(2) 或
(3)2
【分析】本题考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用．
（1）根据“关联方程”的定义求解即可；
（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于 的二元一次方程组，解方程组即可；
（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．
【详解】（1）解：解方程 ，可得 ，
∵关于 的方程 与方程 是“关联方程”，
∴方程 的解为 ，
将 代入方程 ，
可得 ，
解得 ；
（2）解：根据题意，可得 或 ，
解两个二元一次方程组，可得 或 ，
∴ 的值为 或 ；
（3）解：解方程 ，可得 ，
解方程 ，可得 ，
∵关于 的方程 和 是“关联方程”，∴ ，
解得 ．
23．为了加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地．学校选定了基地中土壤
水平及光照时长相同的一块地，用来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记
录如下表：
已种菜苗的
0 2 4 6 8 ．．．
天数
甲种菜苗的
3 6 9 12 15 ．．．
高度
乙种菜苗的
9 11 13 15 17 ．．．
高度
通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度 ， （单位： ）与已种菜苗的天数 （单位：
天）之间均满足一次函数关系．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度 ， 关于已种菜苗的天数
的函数图象，并求出 ， 关于 的函数解析式；（不需要写出自变量 的取值范围）
(2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到 时成熟，请问哪种菜苗先成熟？并说明理由．
【答案】(1)见解析， ，
(2)甲种菜苗先成熟，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）先描点再连线，利用待定系数法求其函数关系式即可；（2）将当 和 分别代入对应函数解析式，求出对应x的值并比较大小即可．
【详解】（1）解：画出甲、乙两种菜苗的高度 ， 关于已种菜苗的天数 的函数图象如图所示．
设 关于 的函数解析式为 ．
将点 ， 代入，得
，
解得 ，
关于 的函数解析式为 ；
设 关于 的函数解析式为 ，
将点 ， 代入，得
，
解得 ，
关于 的函数解析式为 ；
（2）解：甲种菜苗先成熟，理由如下：当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ．
，
甲种菜苗先成熟．
24．综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称
号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务：
材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有 ， 两种型号的货
车，已知用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆 型车和2辆
型车载满货物一次可运货11吨．
材料二： 型车每辆需租金1000元/次， 型车每辆需租金1200元/次．
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务：
(1)1辆 型车和1辆 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货
物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆 型车载满货物一次可运货3吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨
(2)共有三种租车方案：①租用 型车10辆， 型车1辆；②租用 型车6辆， 型车4辆；③租用 型车
2辆， 型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键．
（1）设1辆 型车载满货物一次可运货 吨，1辆 型车载满货物一次可运货 吨，根据材料一建立方程
组，解方程组即可得；
（2）先求出 ，则可得 必须是3的倍数，分别求出符合条件的 的值，再根据材料二求
出对应的租车费，由此即可得．
【详解】（1）解：设1辆 型车载满货物一次可运货 吨，1辆 型车载满货物一次可运货 吨，
由题意得： ，
解得： ，答：1辆 型车载满货物一次可运货3吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨．
（2）解：∵该经销商现有34吨苹果，计划同时租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车
都载满货物，
∴ ，
∴ ，
∵ 都是正整数，
∴ 必须是3的倍数，
∴有三种方案：①当 时， ，此时租车费为 （元）；
②当 时， ，此时租车费为 （元）；
③当 时， ，此时租车费为 （元）；
∵ ，
∴租用 型车2辆， 型车7辆最省钱，最少租车费为10400元．
答：共有三种租车方案：①租用 型车10辆， 型车1辆；②租用 型车6辆， 型车4辆；③租用 型
车2辆， 型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元．
25．如图，直线 与直线 交于点 ， 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，
(1)求 的值；
(2)直接写出二元一次方程组 的解；
(3)若点 是 轴上一点，当 的值最小时，求点 的坐标．
【答案】(1) ，(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题
的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
（1）把点P的坐标代入 中，求出 的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入 中，
求出m的值即可；
（2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案；
（3）如图，作点A关于y轴对称 点，则 ，由两点之间线段最短可知 的最小值为
的长，求出直线 的表达式，则可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵直线 与直线 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
把点P坐标代入 中得 ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得直线 与直线 交于点 ，
∴二元一次方程组 的解为 ；
（3）解：如图，作点A关于y轴对称 点，则 ，
由两点之间线段最短可知 的最小值为 的长，，
在 中，当 时， ，
，
，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 ，得
解得
直线 的表达式为 ，
在 中，当 时， ，
点C的坐标为 ．
