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2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷
第三章 位置与坐标·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
【详解】∵ ， ， ，
∴点 一定在第四象限，
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，已知点 位于第二象限，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据第二象限内，横坐标为负，纵坐标为正，建立不等式组解答即可；
本题考查了点坐标与象限，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：点 在第二象限，
解得 ．
故选：D．
3．点 关于直线 的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形的对称变化．先根据关于 对称的点的纵坐标相同，横坐标的和等于对称轴的x的值的2倍，然后列式求解即可．
【详解】解：设对称点的坐标是 ，
∵它们关于 对称，
∴ ，
解得 ，
∴对称点的坐标为 ．
故选：A．
4．已知第四象限的点 坐标为 ，且点 到两坐标轴的距离相等，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据第四象限点的坐标特征及点到坐标轴距离相等的
条件，建立方程求解即可．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
∵点 到x轴和y轴的距离相等，
∴ ，
解得： ．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点 在x轴上，点 在y轴上，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查点所在的象限；根据坐标轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点的
横坐标为0．由此可分别求出m和n的值，再计算 的值即可．
【详解】解：∵点N在y轴上：点N的坐标为 ．
，
解得： ．
∵点M在x轴上，点M的坐标为 ，，
把 代入 得 ，
解得：
将 和 代入，得 ．
故选：A．
6．如图，点A，B分别在x轴和y轴上， ，若将线段 平移至线段 的位置，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．
本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平
移规律得出线段的平移规律是解题的关键．
【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上， ，
∴点 ，
∵ ，
∴点A向右平移3个单位到达点 ，点B向下平移1个单位到达点 ，
∴线段 向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段 的位置，
∴ ，
∴ ．
故选：B
7．设平面直角坐标系的轴以 作为长度单位， 的顶点坐标为 ，其中，若该三角形的面积为 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．作
轴于 ．根据 ，构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图作 轴于 ．
，
，
解得 ．
故选：B．
8．在平面直角坐标系中，有 ， ， 三点， 为直线 上的一点．
当点 恰好落在 轴上，且点 与点 的距离最小时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m
的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出 轴，再由垂线段最短，可得当 时， 有最小
值，则此时 轴，据此可得答案．
【详解】解：∵点 在 轴上，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 轴，
∵垂线段最短，
∴当 时， 有最小值，
∴此时 轴，
∴ ，
故选：B．
9．下列说法：①若 ，则点 在原点处；②点 一定在第二象限；③若点 ，
，且 ，则直线 轴；④若点 ， ，则线段 ．其中正确是
（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的相关知识．逐一分析各命题的正确性即可．
【详解】解：①：若 ，则 或 ，此时点 在坐标轴上，但不一定在原点，故①错误；
②：点 的横坐标为负，纵坐标 ，满足第二象限的条件，故②正确；
③：点 与 的横坐标相同，且纵坐标不为0，因此直线 平行于 轴，故③正确；
④：点 与 的纵坐标相同，线段 的长度为横坐标之差的绝对值：
，故④正确；
综上分析可知：正确的有②③④．
故选：A．
10．如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次运动到点 ，第3次运动到点 ，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标，根据题意找出规律，利用周期性进行计算即可．
【详解】解：根据题意有，
第1次点的坐标为 ，
第2次点的坐标为 ，
第3次点的坐标为 ，
第4次点的坐标为 ，
第5次点的坐标为 ，
第6次点的坐标为 ，
第7次点的坐标为 ，
第8次点的坐标为 ，
……，
∴第 次，点的横坐标即为 ，纵坐标的值以1，0，2，0为一个周期，
∵ ，
∴第2025次运动后，动点的坐标是 ．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点 到原点的距离是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了利用勾股定理求平面直角坐标系中两点的距离，解题关键是掌握勾股定理．
直接利用勾股定理求解．
【详解】解：点 到原点的距离是 ，
故答案为：5．
12．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图
置于正方形网格图中，点 ， ， 均在格点上．若点 ， ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，画出直角坐标系是解题的关键．根据已知坐标建立平面直角坐标
系即可得到答案．
【详解】解：根据点 ， 建立直角坐标系，如图所示
故 ．
13．在平面直角坐标系中，线段 两端点的坐标分别为 ， ，已知线段 是由线段 平移
得到的．若点B的对应点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】先根据点 和其对应点 的坐标变化，确定平移规律，再依据此规律求出点 的对应点 的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，熟练掌握平移时点的坐标变化规律（左右平移改变横
坐标，上下平移改变纵坐标， 左减右加，上加下减 ）是解题的关键．
【详解】解：∵ 平移后得到 ，横坐标的变化为 ，纵坐标不变，
∴ 线段 的平移规律是向左平移 个单位，纵坐标不变．
∵ ，按照此平移规律， 点横坐标 ，纵坐标不变仍为 ，
∴ 的坐标为
故答案为： ．
14．在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把点 叫作点 的伴随点．已知点 的伴随
点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，这样依次得到点 ，若点 的坐标为
，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题是坐标规律题，根据题意找出坐标的规律是解题关键．根据伴随点的定义，依次求出点点 、
、 、 、 、 的坐标，进而发现每4个点为一个循环周期，点的坐标依次为 、 、
、 ，即可求解．
【详解】解：若点 的坐标为 ，
则点 的伴随点 的坐标为 ，即 ，
点A 的伴随点 的坐标为 ，即 ，
2点 的伴随点 的坐标为 ，即 ，
点 的伴随点 的坐标为 ，即 ，
点 的伴随点 的坐标为 ，即 ，
……
观察发现，每4个点为一个循环周期，点的坐标依次为 、 、 、 ，
，
点 的坐标是 ，
故答案为： ．
15．在平面直角坐标系中，已知 ，平移线段 至 （A与C对应），使得C，D两点都
在坐标轴上，此时，C点坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移，熟练掌握平移性质（对应点坐标变化量相等） 与
坐标轴上点的坐标特征是解题关键，分两种情形： 在 轴且 在 轴，或 在 轴且 在 轴 ．利用平
移性质（对应点坐标变化量相同），结合坐标轴上点的坐标特征（ 轴上点纵坐标为 ， 轴上点横坐标
为 ）列方程求解．
【详解】解： 情形一： 在 轴， 在 轴
设 ，
， ，平移时横、纵坐标变化量相同
∵
横坐标变化： ；纵坐标变化：
∴
解得 ， ，即
情形二： 在 轴， 在 轴
设 ，， ，平移时横、纵坐标变化量相同
∵
横坐标变化： ；纵坐标变化：
∴
解得 ， ，即
故答案为： 或 ．
16．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 从原点出发，沿 轴正方向运
动，当 为等腰三角形时，点 的坐标为 ．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：分情况讨论．
根据题意表示出 ， ， ，然后分情况分析求解即
可．
【详解】解：解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 从原点出发，沿 轴正方向运动，
∵
设 ，
∴
， ， ，
∴
当 时， ，
解得： ，
；
∴
当 时， ，
解得： ，
；
∴
当 时， ，解得： ，
；
∴
点 的坐标为 ， ， ，
∴
故答案为： ， ，
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知点 ，点B的坐标为
(1)若直线 轴，求a的值
(2)若直线 与x轴没有交点，求a的值
(3)若点A在坐标轴上，求a的值
【答案】(1)3
(2)
(3)2或
【分析】（1）根据“垂直于x轴的直线上的点的横坐标相同” 求解即可；
（2）根据“平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同”求解即可；
（3）分两种情况：①点A在x轴上，则纵坐标为0；②点A在y轴上，则横坐标为0．分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 轴，
∴ ，
解得 ．
（2）解：∵直线 与x轴没有交点，
∴ ．
∴ ．
解得 ．
（3）解：①若点A在x轴上，
则 ，
解得 ；
②若点A在y轴上，则 ，
解得 ．
综上，若点A在坐标轴上，则a的值为2或 ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．垂直于x轴的直线上的点的横坐标相同，平行于x
轴的直线上的点的纵坐标相同．x轴上的点的纵坐标为0， y轴上的点的横坐标为0．熟练掌握以上知识是
解题的关键．
18．在边长为 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， 的顶点都在格点上(小
正方形的顶点称为格点),请解答下列问题：
(1)画出 关于 轴对称的 ，并写出点 为（___________，___________）；
(2)求出 的面积为___________；
(3)在 轴上存在一点 使得 最小，在图中画出点 的位置，则点 为（___________，
___________）．
【答案】(1)画图见解析， ，
(2)
(3)画图见解析， ，
【分析】（ ）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可；
（ ）利用割补法求三角形的面积即可；
（ ）连接 ，交 轴于点 ，由轴对称性可得 ，进而得 ，根据两点
之间线段最短，可知此时 的值最小，故点 即为所求，再根据图形写出点 的坐标即可；
本题考查了作图 轴对称变换，轴对称 最短路线问题，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关
键．【详解】（1）解：如图所示， 即为所求，
由图可得，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解： 的面积 ，
故答案为： ；
（3）解：如图所示，点 即为所求，由图可得，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ．
19．阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知在平面内两点 ， ，其两点间的距离 ，同时，当两点所
在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ．
(1)已知 、 ，则 ；(2)已知 轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为 ，则 ．
(3)已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)13
(2)6
(3)等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离
公式是解题的关键．
（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可；
（3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状．
【详解】（1）解：∵ 、 ，
∴ ．
故答案为：13
（2）解：∵ 轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为 ，
∴ ．
故答案为：6
（3）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
∵ 、 、 ，
∴ ，
，
，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
20．点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示．(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)在图中描出下列各点： ， ， ．
(3)依次连接 、 、 得到一个封闭图形，判断此图形的形状为 ．直接写出 的长为 ．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
(3)直角三角形，
【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理及逆定理，解题关键是根据点的坐标准确描出点．
（1）根据点A，B，C的位置写出点的坐标；
（2）根据点的坐标，描出相应的点；
（3）利用勾股定理的逆定理求解．
【详解】（1）解： ， ， ；
（2）解：如图，描点如下：
（3）解：如图，， ， ，
，
∴ 是直角三角形， ，
故答案为：直角三角形， ．
21．如图，已知三角形 ， ， ， ， 是三角形 内任意一点，经过
平移后对应点 ，将三角形 作同样的平移得到三角形 ．
(1)直接写出 ， ， 的坐标；
(2)求三角形 的面积；
(3)若点 是点 通过同样的平移变换得到的，求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了三角形的面积、坐标与图形的平移变化、平方根、一元一次方程等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键．
（1）根据 和 得出平移变换方式，再按照同样的平移变换方式，确定点A、 、
的坐标得到点 、 、 的坐标即可；
（2）运用割补法求解即可；
（3）根据（1）中得到的平移变换方式分别列关于 、 的一元一次方程并求解得到 、 的值，进而计算
的值并求其平方根即可．
【详解】（1）解：点 经过平移后对应点 ，
将点 向右平移 个单位长度、再向上平移 个单位长度，得到点 ，
根据题意，将三角形 向右平移 个单位长度、再向上平移 个单位长度，得到三角形 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
．
（2）解： ．
（3）解：根据题意得： ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
的平方根为 ．
22．如图在下面平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点．其中 满足．
(1)如果在第二象限内有一点 ，请用含m的式子表示四边形 的面积；
(2)在（1）的条件下，是否存在点P，使四边形 的面积为 的面积的两倍？若存在，求出点P
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为
【分析】本题考查了非负数的性质、坐标与图形性质，列代数式，一元一次方程的几何应用等知识，掌握
利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键．
（1）根据几个非负数和的性质得到 ， ， ，分别解一元一次方程得到 ， ，
；根据三角形的面积公式和四边形ABOP的面积 进行列式，即可作答．；
（2）根据点的坐标特点得出 ， 轴，则可求出 的面积，然后由四边形 的面积为
的面积的两倍建立等式，求出m后，即可写出P点的坐标．
【详解】（1）解：∵
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 在第二象限内，∴
．
（2）解：存在，点P的坐标为 ，过程如下：
由（1）得 ， ， ，
∴ ，
∴当四边形 的面积为△ 的面积的两倍时，
则 ，
∴ ，
∴存在点 ，使四边形 的面积为△ 的面积的两倍，且点P的坐标为
23．在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标为 ．将点 到 轴的距离记作为 ，到 轴的距
离记作为
．
(1)若 ，则 ___________
(2)若 ， ，求点 的坐标；
(3)若点 在第一象限，且存在常数 ，使得不论 为何值，等式 一定成立，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）先根据 求出点 坐标，再分别确定 （点到 轴距离，即纵坐标绝对值）、 （点到轴距离，即横坐标绝对值），最后求和．
（2）由 判断横、纵坐标正负，得出 ， ，再根据 列方程求解 ，进
而得点 坐标．
（3）根据第一象限点的坐标特征，确定 ， ，代入等式 整理，利用不论 为何
值等式恒成立，即含 项系数为 求解 ．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、绝对值的性质以及等式恒成立问题，熟练掌握点到坐标
轴的距离与坐标的关系、根据条件化简绝对值、利用等式恒成立求解参数是解题的关键．
【详解】（1）解：当 时，点 坐标为 ，即
；
（2）解： ，则 ，
；
又 ，
，
解得 ，
当 时， ，
点 坐标为 ；
（3）解： 点 在第一象限，
， ，
∴
；
将 、 代入 得：
∴不论 为何值，等式恒成立，
解得 ．
24．如图1，在平面直角坐标系中， ， ，且 ，过A，B两点分别作y轴，x
轴的垂线交于C点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2) ，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段 ， 上以每秒3个单位长度的速
度沿着 运动，到达O点时P停止运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线
段 向O点运动，到达O点时Q停止运动．设运动时间为t，当P在 上，t取何值时，P，Q，C三点
构成的三角形面积为2？
(3)如图2，连接AB，点 在线段AB上，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接 交x
轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为 ，记N，O，K三点构成的三角形面积为 ，若 ，
请求出N点的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)t取 或 或7
(3)
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，也考查了同学们综合运用
所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．
（1）先利用非负性求出a，b，进而得出点A，B坐标，利用垂直确定出点C坐标；
（2）由题意可得点P运动的时间 ，点Q运动的时间 ，当 时，分 时，时两种情况，用含t的式子表示出 ，分别求解即可；
（3）连接 ，过M点作 轴， 垂直于x轴，根据 的面积得到 ， ，结合
，得到 的面积为16，从而可计算出 的长，即可得到点N的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ，
， ，
、 ，
、 ，
由题意可得： ；
（2）解： ， ，
点P运动的时间 ，点Q运动的时间 ，
当P在 上时， ，即 ，
① 时，此时点P在线段 上，未到达O点，
点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，
，
，
，
或 ；
② 时，此时点P已到达O点，
点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，
，，
，
；
当P在 上时，t取 或 或7时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2；
（3）解：连接 ，过M点作 轴， 垂直于x轴，
，
∴ ，
∵M到x轴的距离为1，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．25．在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中 、 ， 满足（ ，
， ，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半
轴于点D．
(1)如图1，若 ，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ．
(2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接 ， ， 交 于点F．求证： ；
(3)在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ．
【答案】(1) ， ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由非负数的性质求解 ， ，如图1，过点 作 轴于点 ，证明 ，
可得 ， ，再进一步可得答案；
（2）如图 中，证明 即可得到结论；
（3）如图3中，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．证明 ，
， ，设 ，而 ， ，可得 ，
, , ，进一步利用面积公式解答即可.
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴ ， ，
如图1，过点 作 轴于点 ．
， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
.
（2）证明：如图 中，
， ，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
.
（3）证明：如图3中，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
同法可证， ，
，在 和 中，
，
，
， ，
设 ，而 ， ，
∵ ， ，
， , ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵A 点到x轴、y轴的距离相等，
∴ ，
∴ .
