文档内容
2025-2026 学年八年级数学上学期第三次月考卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第五章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．点 关于x轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点关于x轴对称的点，掌握知识点是解题的关键．
关于x轴对称的点，x坐标不变，y坐标取相反数．
【详解】解：点 对关于x轴对称的点是 ．
故选C．
2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未
知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B、 项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意．故选：D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除运算．根据二次根式的性质以及二次根式的乘除运
算，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：B
4．若 是关于 的二元一次方程 的解，则 的值为（ ）
A． B．3 C．9 D．11
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关
键．
把 代入 得到关于a的方程求解即可．
【详解】解：把 代入 可得：
，解得： ．
故选B．
5．如图，原点为 ，点 在数轴上，且 ， ， 于 ，以点 为圆心， 长为半径画
弧，交数轴于点 （ 点在 点右侧），则点 表示的数为（ ）A．2 B． C． D．2.3
【答案】B
【分析】本题考查的是实数与数轴．根据勾股定理求出 ，进而即可得出结论．
【详解】解： 在 中， ， ，
．
以 为圆心，以 为半径画弧，交数轴的正半轴于点 ，
，
点 表示的实数是 ．
故选：B．
6．关于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是
C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关
系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．将 和 分别代入解析式，即可判断A和B选项，根
据一次函数图象与性质，即可判断C和D选项．
【详解】解：A、当 时， ，
∴一次函数 的图象不经过点 ，选项A不符合题意；
B、当 时， ，
∴一次函数 的图象与 轴的交点为 ，选项B符合题意；
C、∵ ，∴ 随 的增大而减小，选项C不符合题意；
D、∵ ， ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意．
故选：B．
7．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．若点 与点 之间的距离是1，则x的值是
B．若 ，则点 一定在第四象限
C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个
D．已知点 ，点 ，则 轴
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．
根据平面直角坐标系中点的坐标特点进行判断即可．
【详解】解：A．若点 与点 之间的距离是1，则x的值是 或 ，原说法
错误；
B．若 ，则 ，即点 一定在第二象限，原说法错误；
C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个，原说法正确；
D．已知点 ，点 ，则 轴，原说法错误；
故选：C．
8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲
太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何”题目大意是：甲、乙两人各带着若干钱．如果甲得到乙所有钱
的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？
设甲、乙两人持钱的数量分别为 ， ，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键．根据题意，甲得到乙
一半钱后共有50元，即 ；乙得到甲三分之二钱后共有50元，即 ，据此即可解答．
【详解】解：设甲、乙两人持钱的数量分别为 ， ，
依题意得， ，
故选：A．
9．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角
三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾 ，弦 ，则小正方形 的边长是
（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算即可解题．
【详解】解：根据勾股定理可得 ，
∴小正方形 的边长为 ，
故选：B．
10． 、 两地相距630千米，客车、货车分别从 、 两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到
达途中 站，客车需9小时到达 站．货车的速度是客车的 ，客、货车到 站的距离分别为 、 （千
米），它们与行驶时间 （小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（ ）A．客、货两车的速度分别为60千米 小时，45千米 小时
B．点 的坐标为
C．函数 、 的图象相交于点 ，则点 的纵坐标为180
D．点 横坐标为12
【答案】D
【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，从函数图象正确获取信息是解题关键．
设客车的速度为 千米 时，则货车的速度为 千米 时，根据题意列方程 ，即可判断 ；
再求出 、 间距离即可判断 ，设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到 距离相等，列方
程
，即可判断 ，求出货车由 到 用的时间即可判断 ．
【详解】解：设客车的速度为 千米 时，则货车的速度为 千米 时，
由题意，得 ，
解得 ，
客车的速度为 千米 时，货车的速度为 千米 小时，
故 正确；
货车2小时到达 ，
、 间距离为 千米，
则 点的坐标为 ，
故 正确；
客车9小时到达 ，、 间距离为 千米，
设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到 距离相等，
则有 ，
解得 ，
此时距离 为 千米，
图中 的纵坐标为180，
故 正确．
货车由 到 用时为 小时，
则货车一共行驶14小时，
点 横坐标为14，
故 错误；
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： 2（填>，<或=）．
【答案】>
【分析】此题考查了实数的大小比较，通过比较 和 2 的平方的大小来判断．
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ．
故答案为 >．
12．已知 、 是等腰三角形的两边长，且 、 满足 ，则这个等腰三角形的周
长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三
边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个
部分为零，从而得到关于 和 的方程组，解出 和 的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利
用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长．
【详解】解： ，且 ， ，
且 ．解方程组得，
、 是等腰三角形的两边长，
需分情况讨论：
当 为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和 ，不满足三角形三边关系，故不成立；
当 为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和 ， ，满足三角形三边关系，故
成立．
综上，等腰三角形的三边分别为： ，周长为： ．
故答案为： ．
13．在 中， ，若 ，则 斜边上的高 的长为
．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的
高．
【详解】解：在 中， ， ，
∴
的面积为： ，
设斜边上的高 的长为 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于 ， 的方
程组 的解为 ．【答案】
【分析】本题考查了根据一次函数交点求方程组的解．
求出b的值，进而判断即可．
【详解】解：将 代入 得： ，
即 ，
∵ 可化为 ，由图可知 的解为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ．
故答案为： ．
15．将 ， ， ， ，…，按如图方式排列．若规定 表示第 排从左往右数第 个数．若
在 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查找规律，由题中规定，找出规律求解是解决问题的关键．
由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第 排有 个数，从而对于第 排，若 为奇数排从左到右最后一个数为 ；若 为偶数排从左到右第一个数为 ；再由 确定 ，
代值求解即可得到答案．
【详解】解：由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第 排有 个数，
对于第 排，若 为奇数排从左到右最后一个数为 ；若 为偶数排从左到右第一个数为 ；
，且 为奇数，
是第 排从左往右数第 个数，即 ，
则 ，
故答案为： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在
轴上，且点 从点 出发，向右运动，当 为等腰三角形时， 的长为 ．
【答案】 或 或
【分析】确定 ， ，得 ， ，然后分三种情况：①当 时；②当
时；③当 时，分别求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 为等腰三角形时，分三种情况：
①当 时，如图，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，如图，
∵ 轴与 轴互相垂直，即 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解方程：
（2）计算： ；
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）先计算乘法，根据积的乘方公式逆用去括号，再合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：（1） ，
由 得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
∴原方程组的解为 ．
（2）
．
18．已知一次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求这个一次函数的表达式；(2)若点 也在该函数图象上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质．
（1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式；
（2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值．
【详解】（1）解：将点 和点 代入 ，
得：
解得：
所以一次函数的表达式为
（2）解：将点 代入 ，
得：
解得：
19．已知点 ，解答下列各题：
(1)若点 的坐标为 ，且直线 轴，求出点 的坐标；
(2)若点 在第二象限，且它到 轴、 轴的距离相等，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到 ，求出a的值，进而求出 的值，即可得到
答案；
（2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合第二象限横坐标为负，纵坐标为正，列出方程求出a的值，然后代入 值计算即可．
【详解】（1）解： 直线 轴， 的坐标为 ，
点 的横坐标为3，
，
，
，即点 的纵坐标为 ，
点 的坐标为 ．
（2）解： 点 在第二象限，且它到 轴， 轴的距离相等，
，
解得 ，
．
20．如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 上的 处开凿隧道修通一条公路
到 处，已知点 与公路上的停靠站 的距离为 ，与公路上另一停靠站 的距离为 ，停靠站 、
之间的距离为 ，且 ．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)若公路 修通后，一辆货车从 处经过 点到 处的路程是多少？
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2)一辆货车从 处经过 点到 处的路程是
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用等知识．
（1）利用勾股定理逆定理判断即可．
（2）先根据三角形面积计算出 ，再根据勾股定理求出 ，再计算 即可．
【详解】（1）解： 在 中， ， ， ，
∵
，
∵， ，
∴
是直角三角形．
∴（2）解： ，
∵
．
在 中， ，
一辆货车从 处经过 点到 处的路程 ．
故一辆货车从 处经过 点到 处的路程是 ．
21．某生态柑橘园现有柑橘 ，计划租用 ， 两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1
辆 型车和1辆 型车一次可运柑橘 ；用4辆 型车和3辆 型车一次可运柑橘 ．
(1)1辆 型车和1辆 型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？
(2)若计划租用 型货车 辆， 型货车 辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租
车方案（要求 、 型货车都要有）．
【答案】(1)1辆 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆 型车满载时一次可运柑橘2吨
(2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆 型车，9辆 型车；方案2：租用4辆 型车，6辆 型车；方
案3：租用6辆 型车，3辆 型车
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此
题的关键．
（1）设1辆 型车满载时一次可运柑橘 吨，1辆 型车满载时一次可运柑橘 吨，根据“用1辆 型车
和1辆 型车一次可运柑橘 ；用4辆 型车和3辆 型车一次可运柑橘 ”列出二元一次方程组，解方
程即可得解；
（2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设1辆 型车满载时一次可运柑橘 吨，1辆 型车满载时一次可运柑橘 吨，
由题意可得： ，
解得： ，
∴1辆 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆 型车满载时一次可运柑橘2吨；
（2）解：由题意可得： ，∴ ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
故共有3种租车方案，方案1：租用2辆 型车，9辆 型车；方案2：租用4辆 型车，6辆 型车；方案
3：租用6辆 型车，3辆 型车．
22．定义：直线 与直线 互为“友好直线”．如：直线 与直线 互为
“友好直线”．
(1)点 在直线 的“友好直线”上，则 ；
(2)直线 上的一点 又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标：
(3)对于直线 上的任意一点 ，都有点 在它的“友好直线”上，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直
线”定义（直线 的友好直线为 ），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这
一性质，逐一求解各问题．
（1）先根据定义求出 的友好直线，再将点 代入友好直线解析式，求解 ；
（2）先求出 的友好直线，再根据点 同时在两条直线上，列方程组求解坐标；
（3）先写出 的友好直线，再根据 在原直线、 在友好直线上，分别列出等
式，结合任意 均成立的条件，求出 、 ．【详解】（1）解： 直线 的友好直线为
∵
（根据定义，交换 、 得友好直线 ），
又 点 在 上，
∵
，解得 ．
∴
故答案为： ．
（2）解： 直线 的友好直线为
∵
（交换 、 得），
点 在 和 上，
∵
，
∴
解得 ，
点 的坐标为 ．
∴
（3） 直线 的友好直线为 ，
∵
点 在 上，
∵
；
∴ ①
点 在 上，
∵
，
∴ ②
将 代入 ： ，
① ②
整理得： ，
对任意 该等式均成立，
∵系数需为0，
∴即 ，解得 ．
23．项目化学习
项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间．
项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生
物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（ ）的最佳饮用时
间”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系．
研究步骤：
①取一桶桶装水，打开置于空气中；
②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
③数据分析，形成结论．
试验数据：
试验天数 /天 0 1 2 3 4 …
菌落总数 /
15 20 25 30 35 …
问题解决：
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数 （天），纵轴表示菌落总数 （ ），将整理
好的数据在平面直角坐标系中描点、连线；
(2)观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（ ）与试验天数（ ）之间的函数关系式；
(3)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过 时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后
的最佳饮用时间是多少天？【答案】(1)见解析
(2)
(3)7天
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可；
（2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可；
（3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点，
设 ，
则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：在 中，当 时， ，
∵ ，
∴y随x增大而增大，
∵桶装水菌落总数超过 时就要停止饮用，
∴ ，
∴ ，∴ ，
答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天．
24．已知 是关于 、 的二元一次方程组．
(1)①当 时，该方程组的解为_________；
②该方程组的解为___________（用含 的式子表示）．
(2)若方程组的解也满足方程 ，求 的值；
(3)若无论 取何值，代数式 的值都是定值，求 、 满足的条件，并求出这个定值．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3) ，
【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）①当 时，该方程组为 ，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消
元法解二元一次方程组即可；
（2）由题意可得 ，计算即可得解；
（3）由（1）可得 ，求出 ，结合无论 取何值，代数式
的值都是定值，即可得出 ，从而得解．
【详解】（1）解：①当 时，该方程组为 ，
由 可得： ，
解得 ，
将 代入②可得 ，
解得 ，∴当 时，该方程组的解为 ；
② ，
由 可得： ，
解得 ，
将 代入②可得 ，
∴ ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：∵方程组的解也满足方程 ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：由（1）可得 ，
∴
，
∵无论 取何值，代数式 的值都是定值，
∴ ，
∴ ．
25．例如：在平面直角坐标系中，点 到x轴和y轴的距离相等，故 是x轴和y轴的关联点．在
平面直角坐标系中，直线 ： 交x轴于点 ，交y轴于点A，点C为x轴上一个点；(1)直线 经过点 ，
① ______，若 在直线 上，则比较t与6的大小：t_____6；
②如图1，当点C坐标为 时，点B恰好为 的关联点，求直线 的解析式；
(2)若 ，D为 中点，点P为线段 上一点，且为x轴和y轴的关联点，将 绕点P逆时
针旋转 至 ，求证: 轴．
【答案】(1)①6， ；②
(2)见解析
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图
象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键．
（1） 将 代入 ，求 的值，将 代入 中，可得 ；
作 于 ，则 ，由等积法可得 ，求出 ，得到点 ，将 点代
入 中，求出 的值即可求解析式；
（2）由题意可得 ， ，将 点代入 中，求得 ，则直线 的解析式为：
，设 ，求出 ，过点 作 轴交于 点，过点 作 交 的
延长线于点 ，连接 ，证明 ，得到 ，可知 轴．
【详解】（1）解： 将 代入 ，
，将 代入 中，
，
，
，
故答案为：6， ；
， ，
，
作 于 ，
点 恰好为 的关联点，
，
， ，
，
，
，
，
，
将 点代入 中， ，
解得 ，
；
（2）证明： ，，
为 的中点，
，
将 点代入 中， ，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
设 ，
，
，
，
过点 作 轴交于 点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，
， ，
绕点 逆时针旋转 至 ，
， ，
，
∴ ，
， ，
，，
，
轴．
