文档内容
押上海高考 20 题
圆锥曲线
考点 4年考题 考情分析
直线与椭圆的综合、直线与抛物线的综合、直线与双曲
圆锥曲线 2020~2023年、2024年春考
线的综合、直线与圆锥曲线的综合
一．直线与椭圆的综合（共2小题）
1．（2023•上海）已知椭圆 且 ．
（1）若 ，求椭圆 的离心率；
（2）设 、 为椭圆 的左右顶点，椭圆 上一点 的纵坐标为1，且 ，求实数 的值；
（3）过椭圆 上一点 作斜率为 的直线 ，若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，求实
数 的取值范围．
【分析】（1）由题意可得 ， ， ，可求离心率；
（2）由已知得 ， ，设 ，由已知可得 ， ，求解即可；
（3）设直线 ，与椭圆方程联立可得 ，与双曲线方程联立可得 ，可求
的取值范围．
【解答】解：（1）若 ，则 ， ， ， ， ；
（2）由已知得 ， ，设 ，
，即 ，， ， ， ， ，
，代入求得 ；
（3）设直线 ，联立椭圆可得 ，
整理得 ，
由△ ， ，
联立双曲线可得 ，整理得 ，
由△ ， ，
，
，
又 ， ， ，
综上所述： ， ．
【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题．
2．（2022•上海）已知椭圆 ， 、 两点分别为 的左顶点、下顶点， 、 两点均
在直线 上，且 在第一象限．
（1）设 是椭圆 的右焦点，且 ，求 的标准方程；
（2）若 、 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线 与直线 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；
（3）设直线 、 分别交椭圆 于点 、点 ，若 、 关于原点对称，求 的最小值．
【分析】（1）根据条件可得 ，解出 ，利用 ，求得 ，即可求得答案；
（2）分别表示出此时直线 、直线 的方程，求出其交点，验证即可；
（3）设 ， ，表示出直线 、直线 方程，解出 、 坐标，表示出，再利用基本不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题可得 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故 的标准方程为 ；
（2）直线 与直线 的交点在椭圆上，
由题可得此时 ， ， ， ，
则直线 ，直线 ，交点为 ， ，满足 ，
故直线 与直线 的交点在椭圆上；
（3） ， ，则直线 ，所以 ，
， ，则直线 ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，即 的最小值为6．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中
档题．
二．直线与抛物线的综合（共2小题）
3．（2023•上海）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标为 ．
（1）若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
（2）当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距离；（3）直线 ， 是第一象限内 上异于 的动点， 在直线 上的投影为点 ，直线 与直线
的交点为 ．若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得点 的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得 的值；
（2）易知 ，设 ，由 的中点在抛物线上，可得 的值，进而得到直线 的方程，再由点
到直线的距离公式得解；
（3）设 ，表示出直线 的方程，进一步表示出点 的坐标，再根据
恒成立，结合基本不等式即可得到 的范围．
【解答】解：（1）抛物线 的准线为 ，
由于 到抛物线 准线的距离为3，
则点 的横坐标为2，则 ，
解得 ；
（2）当 时，点 的横坐标为 ，则 ，
设 ，则 的中点为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
由点斜式可得，直线 的方程为 ，即 ，
所以原点 到直线 的距离为 ；
（3）如图，设 ，则 ，
故直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即 ，
则 ，
依题意， 恒成立，
又 ，
则最小值为 ，即 ，即 ，
则 ，解得 ，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
而 ，即当 时，也符合题意．
故实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档
题．
4．（2020•上海）已知抛物线 上的动点 ， ，过 分别作两条直线交抛物线于 、 两点，
交直线 于 、 两点．（1）若点 纵坐标为 ，求 与焦点的距离；
（2）若 ， ， ，求证： 为常数；
（3）是否存在 ，使得 且 为常数？若存在，求出 的所有可能值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点 的横坐标 ，由 ，得 ，由此能求出 与焦点的距离．
（2）设 ，直线 ，当 时， ，同理求出 ，由
此能证明 为常数．
（ 3 ） 解 设 ， ， 直 线 ， 联 立 ， 得
，求出 ，同理得 ，由此能求出存在 ，使
得 且 为常数1．
【解答】解：（1）解： 抛物线 上的动点 ， ，
过 分别作两条直线交抛物线于 、 两点，交直线 于 、 两点．
点 纵坐标为 ，
点 的横坐标 ，
， ，
与焦点的距离为 ．（2）证明：设 ，直线 ，
当 时， ，
直线 ， 时， ， ，
为常数 ．
（3）解：设 ， ，直线 ，
联立 ，得 ，
，即 ，
同理得 ，
，
，
要使 为常数，即 ，此时 为常数1，
存在 ，使得 且 为常数1．
【点评】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积
为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档
题．
三．直线与双曲线的综合（共1小题）5．（2020•上海）已知双曲线 与圆 交于点 ， （第一象限），
曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与 轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求
；
（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示 ，并求
的取值范围．
【分析】（1）联立曲线 与曲线 的方程，以及 ，解方程可得 ；
（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；
（3）设直线 ，求得 到直线 的距离，判断直线 与圆的关系：相切，可设切点为 ，
考虑双曲线的渐近线方程，只有当 时，直线 才能与曲线 有两个交点，解不等式可得 的范围，由
向量投影的定义求得 ，进而得到所求范围．
【解答】解：（1）由 ，点 为曲线 与曲线 的交点，联立 ，解得 ，
；
（2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 ，又 ， ，
所以 ，因为 ，则 ，所以 ，
在△ 中，由余弦定理可得
，
由 ，可得 ；
（3）设直线 ，可得原点 到直线 的距离 ，
所以直线 是圆的切线，设切点为 ，
所以 ，并设 与圆 联立，可得 ，
可得 ， ，即 ，
注意直线 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 时，直线 才能与曲线 有两个交点，
由 ，可得 ，
所以有 ，解得 或 （舍去），
因为 为 在 上的投影可得， ，
所以 ，
则 ， ．
【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向
量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
四．直线与圆锥曲线的综合（共3小题）6．（2024•上海）在平面直角坐标系 中，已知点 为椭圆 上一点， 、 分别为椭圆
的左、右焦点．
（1）若点 的横坐标为2，求 的长；
（2）设 的上、下顶点分别为 、 ，记△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，若 ，求
的取值范围．
（3）若点 在 轴上方，设直线 与 交于点 ，与 轴交于点 ， 延长线与 交于点 ，是否存
在 轴上方的点 ，使得 成立？若存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意，设出点 的坐标，将点 的坐标代入椭圆方程中再结合公式进行求解即可；
（2）设出点 的坐标，结合三角形面积公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解即可；
（3）设出 ， 两点的坐标，根据对称性得到点 的坐标，利用向量的运算以及题目所给信息求出
，设出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点 在直线
上，即可求出满足条件的 点坐标．
【解答】解：（1）因为点 的横坐标为2，
不妨设 ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，
解得 ，
易知 ，
所以 ；（2）不妨设 ， ，
此时 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
所以 ，
解得 ，
则 ，
故 的范围为 ， ；
（3）不妨设 ， ， ， ， ，
由对称性可得 、 关于 轴对称，
所以 ， ，
又 ， ，
此时 ，
所以 ，
同理得 ，
因为 ，
所以 ，解得 或 （无解），
不妨设直线 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ，
解得 ，
此时 ，
又 ，
解得 ，
此时 ．
故存在 轴上方的点 ，使得 成立．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
7．（2022•上海）设有椭圆方程 ，直线 ， 下端点为 ， 在
上，左、右焦点分别为 ， 、 ， ．
（1） ， 中点在 轴上，求点 的坐标；
（2）直线 与 轴交于 ，直线 经过右焦点 ，在 中有一内角余弦值为 ，求 ；
（3）在椭圆 上存在一点 到 距离为 ，使 ，随 的变化，求 的最小值．【分析】（1）由题意可得椭圆方程为 ，从而确定 点的纵坐标，进一步可得点 的坐标；
（2）由直线方程可知 ，分类讨论 和 两种情况确定 的值即可；
（3）设 ，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得 ，进一
步整理计算，结合三角函数的有界性求得 即可确定 的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得 ，
，
的中点在 轴上，
的纵坐标为 ，
代入 得 ．
（2）由直线方程可知 ，
①若 ，则 ，即 ，
，
．②若 ，则 ，
， ，
， ．
即 ， ， ，
综上 或 ．
（3）设 ，
由点到直线距离公式可得 ，
很明显椭圆在直线的左下方，则 ，
即 ，
， ，
据此可得 ， ，
整理可得 ，即 ，
从而 ．
即 的最小值为 ．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，
属于中等题．
8．（2021•上海）已知 ， ， 是其左、右焦点，直线 过点 ， ，交椭圆于
， 两点，且 ， 在 轴上方，点 在线段 上．（1）若 是上顶点， ，求 的值；
（2）若 ，且原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
（3）证明：对于任意 ，使得 的直线有且仅有一条．
【分析】（1）利用椭圆的方程，求出 ， ， 的值，求出 和 ，由 ，即可求出 的
值；
（2）设点 ， ，利用平面向量数量积的坐标表示化简 ，求出点 的坐标，设直
线 的方程为 ，然后利用点到直线的距离公式列出关于 的方程，求出 的值即可
得到答案．
（3）联立直线 与椭圆的方程，得到韦达定理，利用向量平行的坐标表示，化简可得 ，
然后再利用韦达定理化简 ，由此得到关于 和 的等式，整理可得 ，利用 的取值
范围以及题中的条件，即可证明．
【解答】解：（1）因为 的方程： ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
若 为 的上顶点，则 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ；
（2）设点 ， ，
则 ，
因为 在线段 上，横坐标小于0，
解得 ，
故 ，
设直线 的方程为 ，
由原点 到直线 的距离为 ，
则 ，化简可得 ，解得 或 ，
故直线 的方程为 或 （舍去，无法满足 ，
所以直线 的方程为 ；
（3）联立方程组 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ，
因为 ，
所以 ，又 ，
故化简为 ，又 ，
两边同时平方可得， ，
整理可得 ，
当 时， ，
因为点 ， 在 轴上方，
所以 有且仅有一个解，
故对于任意 ，使得 的直线有且仅有一条．
【点评】本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲
线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，
属于难题．
1．圆锥曲线的定义
（1）椭圆定义： ．
（2）双曲线定义： ．
（3）抛物线定义：|PF|=d．
2．圆锥曲线的标准方程及几何性质
（1）椭圆的标准方程与几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
几 范围 −a≤x≤a,−b≤ y≤b −b≤x≤b,−a≤ y≤a
何 对称性 对称轴： x 轴、y 轴 .对称中心：原点 .焦点 F (−c,0) ,F (c,0) . F (0,−c) ,F (0,c) .
1 2 1 2
A (−a,0) ，A (a,0) ， A (0,−a) ,A (0,a) ，
顶点 1 2 1 2
B (0,−b) ,B (0,b) . B (−b,0) ,B (b,0) .
1 2 1 2
线段A A ，B B 分别是椭圆的长轴和短轴，
轴 1 2 1 2
长轴长为2a，短轴长为2b.
性 焦距 |F F |=2c .
1 2
质
c √ b2
离心率 e= = 1− ∈(0,1).
a a2
a,b,c的关
c2=a2−b2.
系
（2）双曲线的标准方程与几何性质
标准方程 x2 y2 y2 x2
− =1（a＞0,b＞0） − =1（a＞0,b＞0）
a2 b2 a2 b2
图形
焦点 F（﹣c,0），F（c,0） F（0,﹣c），F（0,c）
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c |FF|＝2c
1 2 1 2
范围 |x|≥a，y R |y|≥a，x R
对称 关∈于x轴，y轴和原点对称 ∈
性 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 c
e= （e＞1）
a
质
准线 a2 a2
x＝± y＝±
c c
渐近线 x y x y
± =0 ± =0
a b b a
（3）抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=−2px x2=2py x2=−2py
标准方程
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
图形对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O(0,0)
p p p p
焦点 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2
几 p p p p
准线方程 x=− x= y=− y=
何 2 2 2 2
性
范围 x≥0 ,y∈R x≤0 ,y∈R y≥0 ,x∈R y≤0 ,x∈R
质
离心率 e=1
焦半径（
P(x ,y )为 p p p p
0 0 +x −x + y −y
抛物线上一 2 0 2 0 2 0 2 0
点）
3.圆锥曲线中最值与范围的求解方法
几何法 若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形
性质来解决.
代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函
数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别
式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路
（1）把直线或曲线方程中的变量x ,y 当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方
程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ,y 的方程组，这个方
程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y =k(x−x ) ，则直线必过定点
0 0
(x ,y ) ;若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
0 0
（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.
5.求解定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6.求解定线问题的常用方法
定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹
方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.
7.有关证明问题的解题策略
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，
常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.
8.探索性问题的解题策略
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,
成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
一．直线与椭圆的综合（共10小题）
1．（2024•嘉定区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 的左、右焦点分别为 、
，设 是第一象限内 上的一点， 、 的延长线分别交 于点 、 ．
（1）求△ 的周长；
（2）求△ 面积的取值范围；
（3）设 、 分别为△ 、△ 的内切圆半径，求 的最大值．
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得到纵坐标之差的绝对值的取值范围，然后确定三角形面
积的取值范围即可；
（3）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理利用等面积法得到内切圆半径的表达式，据此得到 的
表达式，然后利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：（1） ， 为椭圆 的两焦点，且 ， 为椭圆上的点，
，从而得到△ 的周长为 ．
由题意，得 ，即△ 的周长为 ．（2）由题意可设过 的直线方程为 ， ， ， ， ， ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，
所以 ，
令 ，
则 （当 时等号成立，即 时），
所以 ，
故△ 面积的取值范围为 ．
（3）设 ， ，直线 的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程可得 ，
整理可得 ，
则 ，得 ， ，
故 ．
当 时，直线 的方程为 ，
将其代入椭圆方程并整理可得 ，同理，可得 ，
因为 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立．
轴时，易知 ， ， ，
此时 ，
综上， 的最大值为 ．
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用，椭圆中的范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中
档题．
2．（2024•虹口区二模）已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上，动直线
与椭圆 相交于不同的两点 ， ，且直线 ， 的斜率之积为1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 为的法向量为 ，求直线 的方程；
（3）是否存在直线 ，使得 为直角三角形？若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意求出 ， 的值，从而可得椭圆的方程；
（2）求出直线 的方程，与椭圆方程联立，可得点 的坐标，同理可得点 的坐标，由两点的斜率公式
可得直线 的斜率，由点斜式可得直线 的方程；
（3）假设存在满足条件的直线 ，并设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，求出点 的
坐标，同理可得点 的坐标，由斜率公式表示出直线 的斜率 ，当 为直角三角形时，只有可能，或 ，于是 ，或 ，分别解方程可得 和 的值，从而可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得 ，可得 ，又因为 ， ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）由条件知：直线 的斜率为 ，方程为 ，
则由 ，得 ，所以 ，从而 ．
由于 ，所以直线 的方程为 ，同理可得 ，
所以直线 的斜率为 ，
从而直线 的方程为 ，即 ．
（3）假设存在满足条件的直线 ，并设直线 的方程为 ，
则由 ，得 ，所以 ，
由于 ，所以直线 的方程为 ，
同理可得 ，
故直线 的斜率为，
当 为直角三角形时，只有可能 ，或 ，于是 ，或 ．
若 ，由 ，可得 ；从而 ；
若 ，由 ，可得 ，也有 ．
因此，直线 的斜率为 ．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
3．（2024•松江区二模）如图，椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过上焦点 与 轴垂直的
直线交椭圆于 、 两点，动点 、 分别在直线 与椭圆 上．
（1）求线段 的长；
（2）若线段 的中点在 轴上，求△ 的面积；
（3）是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的
点 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据已知求出点 的横坐标，根据对称性可得 的长；（2）求出点 的横坐标，由三角形面积公式求解即可；
（3）假设存在以 ， 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上，显然 ，设 ， ，
， ，利用向量的坐标运算表示出点 的坐标，由 ， 在椭圆 上及 ，可得方程组，
从而可求得点 的纵坐标．
【解答】解：（1）依题意得： ，由 轴，得： ，
代入椭圆方程得： ，
所以线段 的长为 ． 分
（2）显然 ，线段 的中点在 轴上，则 ，即 轴，
， ， 分
所以 ． 分
（3）假设存在以 ， 为邻边的矩形 ，使得点 在椭圆 上，显然 ，设 ， ，
， ，
则 ， ，
因为四边形 是矩形，一定为平行四边形，所以 ，
代入计算得 ， ，
由题意知 ， 在椭圆 上及 ，代入，得 ，即 ， 分
将①②代入③并化简得， ，
再结合①，得 ，即 或 ．
若 ，则 ； 分
若 ，则联立①②，得 ，
消去 ，得 ，解得 ，
由于 ，故 ． 分
综上，存在满足题意的 点，其纵坐标为 或 ． 分
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
4．（2024•崇明区二模）已知椭圆 ， 为 的上顶点， 、 是 上不同于点 的两点．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若 是椭圆 的右焦点，点 位于第一象限，且 ，求点 的坐标；
（3）作 ，垂足为 ．若直线 与直线 的斜率之和为2，是否存在 轴上的点 ，使得为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由椭圆的方程，可得 ， 的值，进而求出 的值，可得离心率的大小；
（2）设点 的坐标，代入椭圆的方程，可得 的横纵坐标的关系，再由 ，所以 ，
可得点 的坐标的关系，进而求出点 的坐标；
（3）设点 的坐标 ，分直线 的斜率存在时，设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根
之和及两根之积，求出直线 ， 的向量之和的表达式，由题意可得参数的关系，由题意设直线 的
方程，联立直线 ， 的方程，可得点 的坐标，求出 的表达式，要使 为定值，则只需
时， 为定值 ；当直线 斜率不存在时时，可得 的坐标， 满足题意．
【解答】解 （1）由椭圆的方程 ，可得 ，
所以离心率 ；
（2）由题意， ， ，设 ， ， ， ，则 ，①
因为 ，所以 ，即 ， ， ，
即 ，②，
由①②可得 ， ，
即点 ， ；
（3）假设存在定点 满足题意，
当 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立 ，整理可得： ，
由题意，△ ，即 ①，
且 ，
，
所以 ，代入①，得： ，所以 或 ，
即存在直线 使得直线 与直线 的斜率之和为2，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由 ，得： ，即 ，
所以 ，
所以当 时， 为定值 ，
当直线 斜率不存在时，设 ， ， ， ，
则 ， ，此时 ， 满足题意．
所以存在定点 ，使得 为定值，且定值为 ．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
5．（2024•金山区二模）已知椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆 交于不同的两点 ，
、 ， ．（1）证明：点 到右焦点 的距离为 ；
（2）设点 ，当直线 的斜率为 ，且 与 平行时，求直线 的方程；
（3）当直线 与 轴不垂直，且 的周长为4时，试判断直线 与圆 的位置关系，并证
明你的结论．
【分析】（1）根据两点间距离公式，结合椭圆的方程与配方法，化简即可得证；
（2）设直线 的方程为 ，将其与椭圆方程联立，由 与 平行，根据向量共线的坐标
表示，可得关于 的方程，解之即可；
（3）设直线 的方程为 ，将其与椭圆方程联立，运用韦达定理，结合弦长公式，点到直线的距
离公式，求解即可．
【解答】（1）证明：由题意知 ， ，
所以 ．
（2）解：设直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ，
由△ ，得 ，
所以 ， ，
又 ， ，
由 与 平行，得 ，解得 ，
故直线 的方程为 ．（3）解：直线 与圆 相切，证明过程如下：
设直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ，
所以
由 ，
得 ，即 ，
而 ，
所以 ，
整理得 ，
即 ，
所以 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，
故直线 与圆 相切．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握向量共线的坐标表示，弦长公式，点到直线的距离公
式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．（2024•徐汇区模拟）已知椭圆 ， 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 、 分别为左、右焦点，直线 交椭圆 于 、 两点 不过点 ．
（1）若 为椭圆 上（除 、 外）任意一点，求直线 和 的斜率之积；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）若直线 与直线 的斜率分别是 、 ，且 ，求证：直线 过定点．
【分析】（1）根据题意可得左、右顶点分别为 ， ，设点 ， ，再计算
，即可得出答案．
（2）设 ， ， ， ，由 ，得 ， ， ，得 ，
代入椭圆的方程，联立 ，解得 ， ，由点斜式，即可得出答案．
（3）设 ， ， ， ，可知直线 的斜率不为0，设其方程为 ，联立椭圆的方
程，由韦达定理可得 ， ，由 ，解得 ，即可得出答案．
【解答】解：（1）在椭圆 中左、右顶点分别为 ， ，
设点 ， ，
则 ．
（2）设 ， ， ， ，
由已知可得 ，则 ， ， ， ，
由 ，得 ， ， ，化简得 ，
代入 可得 ，
联立 ，解得 ，
所以由 ，得直线 过点 ， ， ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线的方程为 ．
（3）证明：设 ， ， ， ，可知直线 的斜率不为0，设其方程为 ，
联立 ，得 ，
由△ ，得 ，
由韦达定理可得 ， ，
因为 ，
所以 ，
化为 ，
所以 ，
由 ，得 ，化简得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，恒过定点 ．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握向量共线的坐标表示，弦长公式，点到直线的距离公
式等是解题的关键，属于中档题．
7．（2024•嘉定区二模）如图，已知三点 、 、 都在椭圆 上．
（1）若点 、 、 都是椭圆的顶点，求 的面积；
（2）若直线 的斜率为1，求弦 中点 的轨迹方程；
（3）若直线 的斜率为2，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，是否存在定点 ，使得
恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据点 、 、 都是椭圆 的顶点，计算 的面积即可；
（2）设 ， ， ， ，直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，消去 ，利用根与系数
的关系得出 ，根据 中点坐标公式，求解即可；
（3）设 ， ， ， ， ， ，根据 ，得出 ，用 与
表示直线 与椭圆的方程，求解即可得出 和 的值，从而求出点 的坐标．
【解答】解：（1）因为点 、 、 都是椭圆 的顶点，
所以 的面积为 ；（2）设 ， ， ， ，因为直线 的斜率为1，所以设直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，整理得 ，
由根与系数的关系知， ， ，
设弦 中点 ，则 ， ，
消去 ，得 ，由△ ，解得 ，
所以 ， ，
所以点 的轨迹方程为 ， ， ；
（3）设 ， ， ， ， ， ，则 ，
因为直线 的斜率为2，设直线 的方程为 ，其中 ，且 不过 ， ，
椭圆的方程可化为 ，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，解得 ，代入 ，解得 ，所以 ，
所以存在点 ， 或 ， ，使得 恒成立．
【点评】本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
8．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，点 与
点 关于原点对称，过点 作直线 与 交于 ， 两点（异于 点），设直线 与 的斜率
分别为 ， ．
（1）若直线 的斜率为 ，求 的面积；
（2）求 的值．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息和 ， ， 之间的关系，列出等式求出椭圆 的方程，得到直
线 的方程，设出 ， 两点的坐标，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，利用韦达定理、弦长
公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可；
（2）对直线 的斜率是否存在进行讨论，当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程和 ， 两点的坐标，
将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 ， ，再代入
中进行求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，
整理得 ，①
因为点 在椭圆 上，所以 ，②
联立①②，
解得 ， ，
则椭圆 的方程为 ，
因为点 与点 关于原点对称，
所以 ，
此时直线 的方程为 ，
不妨设 ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
而 到直线 的距离 ，
所以 ；
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 ，
解得 ， ，不妨设 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ；
当直线 斜率存在时，
不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，
则
．
综上得 ．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，
属于中档题．9．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，其离心率
，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1．
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个
公共点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，证明： 为定值，并求出这个定值；
（3）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，设 的角平分线 交椭圆 的长轴于点 ，
求 的取值范围．
【分析】（1）根据通径的长可得 ，根据离心率可得 ，故可求 ， 后可得椭圆的方程．
（2）设 ， ，则直线 的方程为 ，联立直线方程和椭圆方程后利用判别式
为零可求斜率，从而可证 为定值．
（3）利用角平分线的性质、点到直线的距离和 在椭圆上可得 ，据此可求 的范围．
【解答】解：（1）由于 ，将 代入椭圆方程 ，得 ．
由题意知 ，即 ．
又 ，即 ，
所以 ， ．
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，则直线 的方程为 ．联立得 ，
整理得 ，
由题意得△ ，即 ．
又 ，所以 ，故 ．
又知 ，
所以 ，
因此 为定值，这个定值为 ．
（3）
设 ， ，又 ， ，
所以直线 ， 的方程分别为 ，
．
由题意知 ，
由于点 在椭圆上，所以 ．所以 ，
结合 整理得到： ，而 ，
故 ，
而 在 ， 之间， ， ，
故 即 ，
因此 ，
即 的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合及角平分线的性质，属于中档题．
10．（2024•黄浦区校级模拟）已知点 、 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与
椭圆 有且仅有一个公共点，直线 ， ，垂足分别为点 、 ．（1）求证： ；
（2）求证： 为定值，并求出该定值；
（3）求 的最大值．
【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出 ；（ 2 ） 利 用 点 到 直 线 距 离 公 式 得 到 ， ， 结 合 ， 求 出
，结合第一问的结论证明出 为定值1；
（3）利用向量线性运算及点 ， 在直线 的同侧得到 ，结合第二问得到
，再用投影向量的知识得出 ，
其中 为 的夹角），结合第一问结论得到 ，利用基本不等
式求出最值．
【解答】解：（1）联立： 与 ，
得： ，由直线与椭圆有一个公共点可知：△ ，
化简得： ；
（2）由题意得： ， ，
因为 ， ，所以 ，故 ，
其中 ，
所以 ，
为定值，该定值为1；
（3） ，
由题意得：点 ， 在直线 的同侧，所以 ，
，（其中 为 的夹角），
由此可知： ，
当且仅当 即 ， 时，等号成立，所以 的最大值为4．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
二．直线与抛物线的综合（共3小题）
11．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，过
与 垂直的直线交 于 ， 两点，其中 ， 在 轴上方， ， 分别为 ， 的中点．
（1）若 ，求点 的横坐标；
（2）证明：直线 过定点；
（3）设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
【分析】（1）由抛物线的性质可得弦长 的表达式，进而可得 的中点 的横坐标；
（2）设直线 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得 的中点 的坐标，同
理可得 的坐标，再分 和 两种情况讨论直线 的方程，进而可得直线 恒过的定点的坐标；
（3）设直线 与直线 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点 的横坐标恒为 ，再结
合面积公式及基本不等式即可得．
【解答】（1）解：由抛物线性质知 ，
可得 ，
所以 的中点 的横坐标 ；
（2）证明：如图，设 ， ， ， ，不妨设 ，设 ，则 ，
由 ，得 ，
故 ， ， ， ，
所以 ， ，因为 ，
同理可得 ，
若 ，则直线 ，
过点 ，
若 ，则直线 ，
综上所述：直线 过定点 ；
（3）解：如图，设 ， ， ， ， ， ， ， ，则 ，由 ，
故 ，
同理可得 ，
联立 ，有 ，
即 ，
有 ，
由（2）知 ，同理 ，
故 ，故 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，则 ，
由（2）设 ， ， ，且 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
下证
由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，
当 时，有 ，则点 在 轴上方，点 亦在 轴上方，
有 ，由直线 过定点 ，
此时 ，
同理，当 时，有点 在 轴下方，点 亦在 轴下方，
有 ，故此时 ，
当且仅当 时， ，
故 恒成立，且 时，等号成立，
又 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，三角形面积公式的应用，基本不等式
的性质的应用，属于难题．
12．（2024•徐汇区校级模拟）已知点 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，直线与 有两个不同的交点 ， ．
（1）当 时，求 到 的距离；
（2）若 为原点，直线 与 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 ， ，证明；当 的面积
最小时，直线 平行于 轴；
（3）设 为 轴上一点，是否存在实数 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若
存在，求出 的值及点 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）易求焦点坐标，可得 到 的距离；
（2）求得两渐近线方程，联立方程可得 ，可证结论；
（3）假设存在实数 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，设 ， ， ，
， ，联立方程可得 ， ，由 ，可得 ，由 ，
得 ， ， ，求解即可．
【解答】解：（1）由双曲线 的左焦点 ， ，右焦点 ， ，
时， ， ，
直线 ， 到 的距离 ；
（2）由双曲线 得两渐近线的方程为 ，
直线 与 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 ， ， ，
由 得交点 的横坐标为 ，由 得交点 的横坐标为 ，
，当 时取等号，
所以当 的面积最小时，直线 平行于 轴；
（3）假设存在实数 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
设 ， ， ， ， ，
由 ，消去 得 ，
△ 且 ，解得 且 ，
， ，
的中点 ， ，
所以 的垂直平分线方程为 ，令 ，则 ，
，则 ， ， ，
，
，
，
，
，解得 ，又 ，故 ，点 ， ，
存在实数 ，使得 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，此时 ， ．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题．
13．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于不同的 、 两点．
（1）若直线 的方程为 ，求线段 的长；
（2）若直线 经过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，求证： 、 、 三点共线；
（3）若直线 经过点 ，抛物线上是否存在定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过点 ？若存在，
求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设 ， ， ， ，联立直线 与抛物线的方程，结合韦达定理可得 ，由抛物
线的定义可得 ，即可得出答案．
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，写出直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，即可得出答案．
（3）假设存在点 ， 使以弦 为直径的圆恒过点 ，则 ，解出 点坐标即可．
【解答】解：（1）设 ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，
因为抛物线的方程为 ，
所以抛物线的焦点 ，
又直线 过抛物线的焦点 ，
所以由抛物线的定义可得 ．（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，即 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，
所以 ，
所以 、 、 三点共线．
（3）假设存在点 ， 使以弦 为直径的圆恒过点 ，
设过点 直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
因为点 总在以弦 为直径的圆上，
所以 ，
所以 ，
又 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，
当 或 ，等式成立，
当 或 ，有 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
所以当 时，无论 取何值等式都成立，
将 代入 ，得 ，
所以存在点 使得以弦 为直径的圆恒过点 ．
【点评】本题考查抛物线的定义，以及直线与圆和抛物线的位置问题，解题中需要一定的计算能力，属于
中档题．
三．直线与双曲线的综合（共3小题）
14．（2024•宝山区二模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，设点 在第一象限且在双
曲线上， 为坐标原点．
（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）椭圆 的长轴长为 ，且短轴的端点恰好是 、 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ．记
、 的面积分别为 、 ．求 的最小值，并写出取最小值时点 的坐标．【分析】（1）根据题意可得两条渐近线方程为 ，则 ，设两条直线夹角
为 ，则 ， ，即可得答案．
（2）设 ， ， ， ，由已知得 ，即 ，又点 在双曲线
上，有 ，推出 ，进而可得答案．
（3）设 ， ， ， ，直线 的斜率为 ， ，则直线 的方程为 ，
联立椭圆的方程，可得 ，同理可得 ，进而可得 ，再结合基本不等式，计算
的最值．
另解：由 ，可得 ，化简整理得 ，再结合基本不等式，计算 的最
值．
【解答】解：（1）两条渐近线方程为 ，
所以
设两条直线夹角为 ，则 ，
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ．
（2）设 ， ， ， ，由已知得 、 ，， ，
则 ，
得 ，
又点 在双曲线上，有 ，即 ，
从而 ，
所以 ，
又点 是双曲线在第一象限的点，
所以 ，
，
所以 ．
（3）椭圆 中 ，焦点在 轴上，标准方程为 ，
设 ， ， ， ，直线 的斜率为 ， ，
则直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
该方程的两根分别为 和 ，
同理可得 ，
所以 ，
记 ， ，则 ， 当 且 仅 当
即 时取等号，
所以 的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．
另解： ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
代入上式化简得 ，整理得 ，
记 ， ，
则 ， 当 且 仅 当
即 时取等号，
所以 的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．【点评】本题考查直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
15．（2024•青浦区二模）已知双曲线 ， ， 分别为其左、右焦点．
（1）求 ， 的坐标和双曲线 的渐近线方程；
（2）如图， 是双曲线 右支在第一象限内一点，圆 是△ 的内切圆，设圆与 ， ， 分
别切于点 ， ， ，当圆 的面积为 时，求直线 的斜率；
（3）是否存在过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ， 两点，且使得 ，若
存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得 ， ，又 ，解得 ，进而可得答案．
（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， ， ， 由 双 曲 线 的 定 义 可 得
，可得 是椭圆右顶点，
设圆 的半径为 ，则 ，解得 ，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由圆心 到直线 的距离等于圆的半径，可解得 ．
（3）假设存在过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ， 两点，且使得 ，设
， ， ， ， 中点为 ， ，由 ，推出 ，即 ，则 ，解得 点坐标，由 ，解得 ，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为双曲线 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
即 ， ，
所以双曲线 的渐近线方程是 ．
（2）由题意可知 ， ， ，
所以 ，
，即 是椭圆右顶点，
设圆 的半径为 ，
因为圆 的面积为 ，则 ，即 ，
，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
由圆心 到直线 的距离等于圆的半径，可得 ，
解得直线 的斜率为 ．
（3）假设存在过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 ， 两点，且使得 ，
设 ， ， ， ， 中点为 ， ，
又 ， ，由 ，可知△ 为等腰三角形， ，且直线 不与 轴重合，
于是 ，即 ，
因此 ，
所以 ，
所以 ，
因为点 ， 在双曲线 上，
所以 ，
① ②化简整理得： ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
联立 得 ， ，
得 或 （舍 ，
当 ， ，
所以 ， ，
由 ，得 ，
所以直线 的方程为 ．
【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．16．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系 中，双曲线 的左、右焦点
分别为 ， ， 的离心率为2，直线 过 与 交于 ， 两点，当 时，△ 的面积
为3．
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知 ， 都在 的右支上，设 的斜率为 ．
①求实数 的取值范围；
②是否存在实数 ，使得 为锐角？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知条件可得 ，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及△ 的面积可
求出 ，再由离心率可求出 ，从而可求得双曲线的方程；
（2）①设直线 ，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数 的
取值范围；②假设存在实数 ，使 为锐角，则 ，所以 ，再结合前面的式
子化简计算即可得结论．
【解答】解：（1）因为 ，所以 ．
则 ，
所以 ，
△ 的面积 ．
又 的离心率为 ，所以 ，
所以双曲线 的方程为 ．
（2）①根据题意 ，则直线 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，△ 恒成立．
设 ， ， ， ，则 ，
因为直线 与双曲线 的右支相交于 ， 不同的两点，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ．
②假设存在实数 ，使 为锐角，所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
由①得 ，
即 解得 ，
与 矛盾，故不存在．
【点评】此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合 求解，考查计算能力，属于较难题．
四．曲线与方程（共1小题）
17．（2024•虹口区模拟）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布
尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数．当 时，就是双曲余弦函数 ，
悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式： ，③导数： 定义双曲
正弦函数 ．
（1）直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
（2）当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，求直线斜率 的取值范围；
（3）无穷数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若
不存在，说明理由．
【分析】（1）根据类比推理，即可求解；
（2）根据题意可得 时， 恒成立，再根据函数 ， ，分类讨论利用
导数，即可求解；
（3）归纳猜想，再利用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（1）平方关系： ；
两角和角公式： ；
导数： ；（2）因为当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，
所以 时， 恒成立，
设 ， ，
则由（1）可知 ，
①当 时，由 ，又 ，
故 ，等号不成立，
所以 ，又此时 ，
所以 ，
所以 为在 上单调递增，
所以 ，
所以对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以根据零点存在性定理可知：存在唯一 ，使得 ，
所以当 时， ，
则 在 上单调递减，
所以对任意 ， ，即 ，矛盾，综上所述，实数 的取值范围为 ， ；
（3）当 ， 时，存在 ， ，使得 ，
由数学归纳法证明： ，证明如下：
①当 时， 成立，
②假设当 为正整数）时， ，
则 成立．
综上： ．
所以 ， ，有 ， ，即 ，
当 ， ， 时，由 ，函数 的值域为 ， ，
对于任意大于1的实数 ，存在不为0的实数 ，使得 ，
类比余弦二倍角公式，猜测 ．
证明如下：
．
类比 ， 时的数学归纳法，由 ，
易证 ， ， ， ， ，
所以若 ，
设 ，则 ，解得 或 ，即 ，
所以 ，于是 ．
综上：存在实数 使得 成立．【点评】本题考查恒成立问题的求解，类比推理思想，归纳推理思想，数学归纳法的应用，属难题．
五．直线与圆锥曲线的综合（共7小题）
18．（2024•闵行区二模）如图，已知椭圆 和抛物线 ， 的焦点 是
的上顶点，过 的直线交 于 、 两点，连接 、 并延长之，分别交 于 、 两点，连接
，设 、 的面积分别为 、 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的取值范围．
【分析】（1）根据题意即可求出 的值．
（2）设直线 的方程为 ，点 ， 、 ， ，联立直线与抛物线，即可得出
的值．
（3）联立直线与椭圆方程，根据点所在象限和均值不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线 的焦点为 ，故 ．
（2）若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，点 ， 、 ， ，
联立 ，可得 ，
△ 恒成立，则 ，
．
（3）设直线 、 的斜率分别为 、 ，其中 ， ，联立 ，可得 ，解得 ，
点 在第三象限，则 ，
点 在第四象限，同理可得 ，
且 ，
，
当且仅当 时，等号成立．
的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
19．（2024•杨浦区二模）已知椭圆 的上顶点为 ，离心率 ，过点
的直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 、 分别与 轴交于点 、 ．（1）求椭圆 的方程；
（2）已知命题“对任意直线 ，线段 的中点为定点”为真命题，求 的重心坐标；
（3）是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，请说
明理由．（其中 、 分别表示 、 的面积）
【分析】（1）由条件列方程求出 ，可得 ，由此能求出椭圆 的方程．
（2）对任意直线 ，线段 的中点为定点 ，取 ，则直线 ，联立 ，可得
，解得 ， ，直线 ，解得 ，由 ，得 ，由此能求
出 的重心．
（3）设满足条件的直线 存在，其斜率为 ， ，设 ， ， ， ，不妨令
，由 ，得 ，由△ ，利用韦达定理、
直线方程、弦长公式、三角形面积公式，由此能求出直线 的方程．
【解答】解：（1）由条件： ，可知 ，
， ， ，
椭圆 的方程为 ．（2）由条件，对任意直线 ，线段 的中点为定点 ，
我们只需要取一条特殊的直线 ，
不妨取 ，则直线 ，
联立 ，可得 ，解得 ， ，
直线 ，解得 ，
， ，
设 的重心为 ，
由 ，得 ， ．
（3）设满足条件的直线 存在，其斜率为 ， ，
设 ， ， ， ，不妨令 ，
由 ，消去 得 ，
由△ ，解得 ，
由韦达定理得 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
，
，，
，即 ，
，
， ， ，
直线 的方程为 ．
【点评】本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、直线方程、弦长公式、三角形面积公式
等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（2024•虹口区模拟）在 中，已知 ， ，设 ， ， 分别是 的重心、垂心、
外心，且存在 使 ．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）求 的外心 的纵坐标 的取值范围；
（3）设直线 与 的另一个交点为 ，记 与 的面积分别为 ， ，是否存在实数 使
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设 ， ，由重心、垂心、外心的性质结合向量的坐标运算即可求解；
（2）由外心的定义知点 在 轴上，则 ， 的中点 ， ，然后由
可得 ，再联立椭圆的方程可得 ，再结合 的范围即可求解；
（3）由对称性，不妨设点 在第一象限，设 ， ， ， ，直线 ，再结合已
知条件将 表示成关于 的不等式即可求解．【解答】解：（1）设 ， ，则 的重心 ，
因为存在 使 且 为垂心，
所以 ， ，而 ，
由垂心定义得 ，即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ；
（2）由外心的定义知点 在 轴上，则 ，
的中点 ， ，
所以 ，化简得 ，
与 的方程联立 ，又 ，
解得 ，因为 ，
所以 ；
（3）由对称性，不妨设点 在第一象限，设直线 ，
， ， ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
所以△ ，整理得 ；
，又 ，所以 ，由条件知 ， ， ，
所以 、 、 三点共线且所在直线平行于 轴，
由 ， 知 ，
所以 ，
令 ，解得 舍去），
又点 ， 在直线 上，所以 ，
即 ，所以 ．又 ，联立得 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以，当点 在第一、四象限时， ，
当点 在第二、三象限时， ，
故存在实数 ，使 ．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．
21．（2024•长宁区二模）已知椭圆 为坐标原点．
（1）求 的离心率 ；
（2）设点 ，点 在 上，求 的最大值和最小值；
（3）点 ，点 在直线 上，过点 且与 平行的直线 与 交于 ， 两点；试探究：是
否存在常数 ，使得 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；
（2）利用参数方程，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得 ， ， ，再联立直线 与椭圆方程得到
， 关于 的表达式，进而化简 得到 与 的关系，由此得解．
【解答】解：（1） ， ， ，
则 ，所以 ；
（2）设 ， ，
，
故当 时， ；
当 时， ．
（3）设 ， ， ， ， ，
直线 ， ，
故 ， ， ，
联立方程 ，消去 整理得 ，
则 ， ，
，
故 ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．22．（2024•普陀区模拟）设椭圆 ， 的离心率是短轴长的 倍，直线 交 于 、
两点， 是 上异于 、 的一点， 是坐标原点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过 的右焦点 ，且 ， ，求 的值；
（3）设直线 的方程为 ，且 ，求 的取值范围．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程；
（2）设 的左焦点为 ，连接 ，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出 ，再代
入三角形面积公式中即可求解；
（3）设出 ， ， 三点的坐标，利用向量的运算得到 ， ，将直线 的方程
与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 和 ，将点 的坐标代入椭圆方程中得到 ，此时满足
△ ，再结合弦长公式和换元法进行求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆 的离心率是短轴的长的 倍，
所以 ，
即 ，
又 ，
解得 ，
则椭圆 的方程为 ；
（2）不妨设 的左焦点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ， 两点关于原点 对称，
因为 ，
所以 ，
由椭圆的对称性得 ，
且三角形 与三角形 全等，
所以 ，
因为 ，
解得 ，
则 ；
（3）不妨设 ， ， ， ， ， ，
因为 ，
所以 ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ ，
由韦达定理得 ， ，
此时 ，
所以 ， ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，
整理得 ，
此时满足△ ，
所以
，
不妨令 ， ，
则 ．
故 的取值范围为 ．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
23．（2024•黄浦区二模）如图，已知 是中心在坐标原点、焦点在 轴上的椭圆， 是以 的焦点 ，
为顶点的等轴双曲线，点 是 与 的一个交点，动点 在 的右支上且异于顶点．
（1）求 与 的方程；
（2）若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，求点 的坐标；
（3）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，直线 与 相交于点 ， ，直线 与 相交于点 ，
， ， ，求证： 且存在常数 使得 ．
【分析】（1）设 ， 的方程分别为 与 ，将点 坐标代入 的方程中可求出 ，利用椭圆的定义可求出 的值，从而可得 ，进而可得 与 的方程；
（2）分点 在第四象限和第一象限两种情况讨论求出点 的坐标即可；
（3）利用两点的斜率公式及点 在 上即可证明 ，设 的方程为 ，与椭圆方程联立，
可得根与系数的关系，从而可表示出 ， ，化简 为常数，即可求得结论．
【解答】解：（1）设 ， 的方程分别为 与 ，
由 ，得 ，
故 ， 的坐标分别为 ， ，
所以 ，故 ， ，
故 与 的方程分别为 与 ．
（2）当点 在第四象限时，直线 ， 的倾斜角都为钝角，不适合题意；
当 在第一象限时，由直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，
可知 ，故 ，
设 点坐标为 ，可知 且 ，解得 ，
故点 的坐标为 ．
（3）证明：设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
设 的方程为 ，代入 ，可得 ，故 ，
所以 ，
同理可得 ，又 ，
故 ，故 ，即 ，
所以存在 ，使得 ．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
24．（2024•浦东新区二模）已知相圆 ，点 、 分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若椭圆上点 满足 ，求 的值；
（2）点 为椭圆的右顶点，定点 在 轴上，若点 为椭圆上一动点，当 取得最小值时点 恰与
点 重合，求实数 的取值范围；
（3）已知 为常数，过点 且法向量为 的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆 上存在点 满足
，求 的最大值．
【分析】（1）设点 ，然后代入椭圆方程，即可求出 ，再根据椭圆定义求 ；
（2）设 ，求出 ，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解；
（3）设直线 的方程为 ，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据 求出 的坐
标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值．
【解答】解：（1）因为 ，所以设点 ，
则 ，所以 ，即 ，所以 ；
（2）设 ，则 ，
则 ，
所以 ，
要 时 取最小值，则必有 ，
所以 ；
（3）设过点 且法向量为 的直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 得 ，△ ，
则 ，
则 ，
，
又 ，
又点 在椭圆 上，则 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为 ．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题．
