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玉溪一中2025-2026学年上学期高一年级第一次月考
数学学科 参考答案
一、选择题：二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B A B C D C ABD AC ACD
三、填空题：
12. 0或-1 13. {x|x≤−1或x>2} 14. {a|−1≤a≤1}
四、解答题
15．【答案】(1) ， 或 (2) 或
【详解】（1）∵ ， ，
∴当 时，则 ，所以 ，
或 ，又 ， 所以 或 .
（2）∵ ， ∴ ，
∴当 时，则有 ，即 ，满足题意；
当 时，则有 ，即 ，
可得 ，解得： .
综上所述， 的范围为 或 .
16．【详解】解：（1）根据题意可得1，b是方程ax2﹣（a+b）x+b＝0的两个不同实数根，
∴ ，解得a＝1；
（2）当b＝2时，不等式等价于ax2﹣（2+a）x+2＞0，
当a＝0时，x＜1，
当a≠0时，方程ax2﹣（2+a）x+2＝0的两个不同实根为1， ，
当a＜0时， ＜1，解得 ＜x＜1，
答案第1页，共11页当0＜ ＜1，即a＞2时，解得x＞1或x＜ ，
当a＝2时，解得x≠1，
当 ＞1，即0＜a＜2时，解得x＜1或x＞ ，
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为{x| ＜x＜1}，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}，
当0＜a＜2时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞ }，
当a＝2时，不等式的解集为{x|x≠1}，
当a＞2时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜ }．
17. 【详解】（1）∵
∴当 时， ，
当 时， ．
故
（2）由（1）得
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 ．
答案第2页，共11页∵ ，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
18．【答案】(1) (2) (3)存在，
【详解】（1）若 ，则 ，可得 ，解得 ；
若 ，则 ，可得 ，解得 ，不合
题意；综上所述： .
（2）若 ，则 ，可得 ，解得 ，不合题意；
若 ，则 ，
可得 ，解得 ，可得 ；综上所述： 的取值范围为 .
（3）若 ，则 ，可得 ；
若 ，则 ，可得 ；
综上所述： .
可知当且仅当 时， 为偶数，否则 为奇数，
且2025为奇数，可知 中只有1个整数或只有3个整数，
若 为整数，则 均为整数；
若 为整数，则 必为整数；
在 不为整数的前提下， 不可能同时为整数， 不可能同时为整数；
据此可知 中只有1个整数，且整数只能 或 ，
可设 ，
（i）若 为整数，则 ，
①若 ，则 ， ， ，
可得 ，解得 ，不合题意；
②若 ，则 ， ， ，
可得 ，解得 ，不合题
意；
（ⅱ）若 为整数，则 ，
①若 ，则 ， ， ，
可得 ，解得 ；
答案第3页，共11页②若 ，则 ， ， ，
可得 ，解得 ，不合题
意；
综上所述： ， ，
所以存在实数 ，使得 ，此时 .
19．【答案】(1) ； (2) 或
(3) ， ， ， .
【分析】（1）代入 ，分解因式解方程可得；
（2）由 是方程 的根得 ，再按 是否为方程 的根分类讨论即可；
（3）先分析方程 的一次项系数及方程 二次项系数 均不为 ，再分 ，
， 且 三类情况讨论即可.
【详解】（1）若 ，
则方程 为 ，
即 ，解得 或 . ；
（2）由题意知， .
， 是方程 的根，即 ，解得 .
由 ，集合 有且仅有一个元素，即方程 有且仅有一个根，
①若 是方程 的根，则 ，且 ，解得 ；
②若 不是方程 的根，则方程 无实数根，则 ；
综上所述， 或 .
（3） ， ，
若 ， ， ，
则 ，又 ， ，
答案第4页，共11页所以有 ，解得 .验证：当 时，
，不满足集合 恰有两个元素，故 ；
若 ， 由 ， ，
则 ， ，又 ，则 ，又 ，所以 ，即 .
由 ，则 ,即 ,解得 .
验证：当 时，
，也不满足集合 恰有两个元素，故 ；
由上可知， 且 .则 ，
且方程 与 有相同的判别式 ，
即两方程根的个数相同. 由集合 均恰有两个元素，则 .
，
因为 ，则 是方程 或 的根.
由 ，且 ，则 是方程 或 的根.
①当 时， 是方程 的根， ，则 ，
又 ，则 ，由 ，
则 是方程 的根，则 .
（i）若 ，联立 解得 .验证：当 ， ，
时，
，
答案第5页，共11页，满足题意；
（ii）若 ，方程 有两个不相等的实数根，
又 ，则方程 的两根必为 和 .
故由韦达定理得 ，解得 ； 验证：当 时，
，
，满足题意；
②当 时， ，即 是方程 的根，则 ，又 ，则
，
则 是方程 的根，则 ，即
（i）若 ，联立 解得 .验证：当 ， ，
时，
，
，满足题意；
（ii）若 ，方程 有两不等的实数根，
又 ，则方程 的两根必为 和 .
故由韦达定理得 ，解得 ； 验证：当 时，
，
答案第6页，共11页，满足题意；
③当 且 时，则 不是方程 的根， 也不是方程 的根.
由 ，则 是方程 的两实数根，且 是方程 的根，
则有 ，解得 .
验证：当 且 ， ， 时，有 .
有三个元素，故不满足题意；
综上所述，满足题意的所有三元数对 有 ， ， ，
.
【点睛】关键点分析：本题的关键在于两个突破口，一是以方程 与 的两根情况为入
手点，当 时可知 ，且 ；二是以 为入手点，以“ 是否为方程
的根”与“ 是否为方程 的根”为分类界点产生讨论即可.
答案第7页，共11页
