文档内容
7-12
押上海高考 题
函数的应用、数列、平面向量、解三角形、立体几
何、圆锥曲线、概率与统计
考点 4年考题 考情分析
2020年、2022年、2023年， 近四年考查方向函数零点与方程根的关系，分段函数的
函数
2024年春考 应用
近四年考查方向等差数列前n项和、等比数列的性质、数
数列 2020年~2023年、2024年春考
列应用、数列求和、数列递推式。
近四年考查方向两个向量和或差的模的最值、平面向量
平面向量 2020年、2022年、2023年
数量积的性质及运算
解三角形 2023年 余弦定理、三角形中的几何计算
2020年、2021年、2023年、 近四年考查方向棱锥的结构特征、旋转体、异面直线所
立体几何
2024年春考 成的角、两条平行线间的距离
2020年、2021年、2023年、 近四年考查方向圆的一般方程、椭圆的性质、抛物线的
圆锥曲线
2024年春考 性质、双曲线的性质
近四年考查方向古典概型及其概率的计算公式、频率分
布直方图、众数、中位数、平均数、分部加法计算原
概率与统计 2020年~2023年、2024年春考
理、排列组合及其简单计数问题、二项式定理、优选法
的概念。
一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）
1．（2023•上海）已知函数 ，且 ，则方程 的解为 ．
2．（2020•上海）设 ，若存在定义域为 的函数 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的 ， 的值为 或 ；（2）关于 的方程 无实数解，
则 的取值范围是 ．
二．分段函数的应用（共2小题）
3．（2024•上海）已知 ，求 的 的取值范围 ．
4．（2022•上海）若函数 ，为奇函数，求参数 的值为 ．
三．等差数列的前n项和（共3小题）
5．（2024•上海）数列 ， ， ， 的取值范围为 ．
6．（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 ，2， ，
中不同的数值有 个．
7．（2020•上海）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则 ．
四．等比数列的性质（共1小题）
8．（2021•上海）在无穷等比数列 中， ，则 的取值范围是 ．
五．数列的应用（共1小题）
9 ． （ 2024• 上 海 ） ， ， ， ， 任 意 ， ， ， ， 满 足
，求有序数列 ， ， ， 有 对．
六．数列的求和（共1小题）
10．（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列 的各项和为
．
七．数列递推式（共1小题）11．（2021•上海）已知 ，2， ， 对任意的 ， 或 中
有且仅有一个成立， ， ，则 的最小值为 ．
八．两向量的和或差的模的最值（共1小题）
12．（2020•上海）已知 ， ， ， ， ， 是平面内两两互不相等的向量，满足
，且 ， （其中 ，2， ，2， ， ，则 的最大值是 ．
九．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题）
13．（2023•上海）已知 、 、 为空间中三组单位向量，且 、 ， 与 夹角
为 ，点 为空间任意一点，且 ，满足 ，则 最大值为
．
14．（2022•上海）若平面向量 ，且满足 ， ， ，则 ．
15．（2020•上海）三角形 中， 是 中点， ， ， ，则 ．
16．（2020•上海）已知 、 、 、 、 五个点，满足 ，2， ，
，2， ，则 的最小值为 ．
一十．余弦定理（共1小题）
17．（2023•上海）已知 中，角 ， ， 所对的边 ， ， ，则 ．
一十一．三角形中的几何计算（共1小题）
18．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与
水平面所成夹角为 ．行人每沿着斜坡向上走 消耗的体力为 ，欲使行人走上斜坡所消耗的
总体力最小，则 ．
一十二．棱锥的结构特征（共1小题）
19．（2023•上海）空间中有三个点 、 、 ，且 ，在空间中任取2个不同的点 ，（不考虑这两个点的顺序），使得它们与 、 、 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法
有 种．
一十三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）
20．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为 1，高为2， 为上底面圆的一条直径， 是下底面圆周上
的一个动点，则 的面积的取值范围为 ．
一十四．异面直线及其所成的角（共1小题）
21．（2024•上海）已知四棱柱 底面 为平行四边形， ， 且
，求异面直线 与 的夹角 ．
一十五．两条平行直线间的距离（共1小题）
22．（2020•上海）已知直线 ， ，若 ，则 与 的距离为 ．
一十六．圆的标准方程（共1小题）
23．（2024•上海）正方形草地 边长1.2， 到 ， 距离为0.2， 到 ， 距离为0.4，有
个圆形通道经过 ， ，且与 只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到
一十七．圆的一般方程（共1小题）
24．（2023•上海）已知圆 的面积为 ，则 ．
一十八．椭圆的性质（共2小题）
25．（2021•上海）已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛物
线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
26．（2020•上海）已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方程是 ．
一十九．抛物线的性质（共1小题）
27．（2021•上海）已知抛物线 ，若第一象限的 ， 在抛物线上，焦点为 ， ，
， ，求直线 的斜率为 ．
二十．双曲线的性质（共1小题）
28．（2024•上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线
的离心率为 ．
二十一．古典概型及其概率计算公式（共3小题）
29．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有 4名男生，6
名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
30．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随
机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
31．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆 ， ， ， ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他
们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．
二十二．频率分布直方图（共1小题）
32．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为 ，最小值为 ，根据身高数
据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
二十三．众数、中位数、平均数（共2小题）
33．（2023•上海）现有某地一年四个季度的 （亿元），第一季度 为232（亿元），第四季度
为241（亿元），四个季度的 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 为 ．
34．（2020•上海）已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ．
二十四．分类加法计数原理（共1小题）
35．（2020•上海）已知 ， ， ，0，1，2， ， 、 ，则 的情况有 种．
二十五．排列、组合及简单计数问题（共1小题）
36．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
二十六．二项式定理（共5小题）37．（2023•上海）已知 ，若存在 ，
1，2， ， 使得 ，则 的最大值为 ．
38．（2023•上海）设 ，则 ．
39．（2022•上海）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ．
40．（2021•上海）已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为 ．
41．（2020•上海）已知二项式 ，则展开式中 的系数为 ．
二十七．优选法的概念（共1小题）
42．（2021•上海）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有
几种运动方式组合
运动 运动 运动 运动 运动
7点 点 8点 点 9点 点 10点 点 11点 点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
一．函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他
们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重
点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
【命题方向】
直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
二．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在
现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下
面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
三．等差数列的前n项和
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为S ＝＝na
n 1
＋d.
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察
的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
四．数列的求和
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有
的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{ab}的前n项和，其中{a}，{b}分别为等差数列和等比数列．
n n n n
3.倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，
就可以得到n个（a +a ）．
1 n
4.分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见
的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【命题方向】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
五．数列递推式
数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通
项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在
数列中的应用．
六．平面向量数量积的性质及其运算
1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与
b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 | a | | b |cos θ 叫做向量a与b的数量积，记作 a · b .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A
和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b
1 1
投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为 | a |cos θ e .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ b · a .
(2)(λa)·b＝ λ ( a · b ) ＝ a ·( λ b ) ．
(3)(a＋b)·c＝ a · c ＋ b · c .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝xx ＋ yy
1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也
不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
七．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
cos A＝；
变形 b＝ 2 R sin B ， cos B＝；
c＝ 2 R sin C ； cos C＝(2)sin A＝，
sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c
＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos Ab>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A ( － a ,0) ， A ( a ,0) ， A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a ) ，
1 2 1 2
顶点
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) B ( － b ,0) ， B ( b ,0)
1 2 1 2
轴长 短轴长为 2 b ，长轴长为 2 a
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
对称性 对称轴： x 轴和 y 轴 ，对称中心：原点
离心率 e＝(00，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
性质
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段AA，长： 2 a ；虚轴：线段BB，长： 2 b ，实半
1 2 1 2
轴
轴长：a，虚半轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
十二．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
十三．平均数、中位数和众数
(1)平均数：＝(x＋x＋…＋x)．
1 2 n
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)
或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
十四、两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m ＋ n 种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方
法，那么完成这件事共有N＝ m × n 种不同的方法.
常用结论
1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2
1
类方案中有m 种不同的方法，……，在第n类方案中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m ＋
2 n 1
m＋…＋m 种不同的方法．
2 n
2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有m 种
1 2不同的方法，……，做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×m×…×m 种不同的方法．
n 1 2 n
十五．排列、组合及简单计数问题
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取 按照一定的顺序排成一列
组合 出m(m≤n)个元素 作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号 A 表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号 C 表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝ n ( n － 1)( n － 2)…( n － m ＋ 1) ＝(n，m∈N*，且m≤n)．
公式
(2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1
(1)0！＝1；A＝ n ！ .
性质
(2)C＝C；C＝ C ＋ C
4、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分
步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
十六、二项式定理
1．二项式定理二项式定理 (a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，它表示展开式的第 k ＋ 1 项
k＋1
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n .
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
十七、古典概型及其概率计算公式
1．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件
A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
一．函数的零点与方程根的关系（共2小题）
1．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 ，若关于 的方程 有
两个不同的零点，则实数 的取值范围是 ．
2．（2024•普陀区模拟）已知 ，若关于 的不等式 的解集中有且仅有一个负整数，
则 的取值范围是 ．
二．分段函数的应用（共2小题）
3．（2024•杨浦区二模）若函数 为奇函数，则函数 ， 的值域为 ．4 ． （ 2024• 黄 浦 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 若 关 于 的 不 等 式
恰有一个整数解，则实数 的取值范围是 ．
三．等差数列的前n项和（共2小题）
5．（2024•松江区二模）已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则使得 成立的
的最大值为 ．
6．（2024•黄浦区二模）已知数列 是给定的等差数列，其前 项和为 ，若 ，且当 与
时， ， ， 取得最大值，则 的值为 ．
四．数列的求和（共3小题）
7．（2024•黄浦区校级模拟）若项数为 的数列 ，满足： ，2，3， ， ，我们称其
为 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的
“对称数列”．设数列 为 项的“对称数列”，其中 ， ， ， 是公差为 的等差数列，
数列 的最小项等于 ，记数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为 ．
8．（2024•普陀区模拟）设 ， ， 是正整数， 是数列 的前 项和， ， ，若
，且 ， ，记 ，则 ．
9．（2024•浦东新区校级模拟）已知数列 满足：对任意 ，都有 ， ，设数
列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为 ．
五．数列递推式（共3小题）
10．（2024•宝山区二模）在数列 中， ，且 ，则 ．11．（2024•徐汇区模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 是正整数），则 ．
12．（2024•徐汇区校级模拟）已知数列 ， 是公差相等的等差数列，且 ，若 为正
整数，设 ，则数列 的通项公式为 ．
六．平面向量数量积的性质及其运算（共5小题）
13．（2024•闵行区二模）已知 、 是空间中两个互相垂直的单位向量，向量 满足 ，且
，当 取任意实数时， 的最小值为 ．
14．（2024•浦东新区二模）正三棱锥 中，底面边长 ，侧棱 ，向量 ， 满足
， ，则 的最大值为 ．
15．（2024•虹口区二模）已知平面向量 满足 ，若平面向量 满足 ，则
的最大值为 ．
16．（2024•长宁区二模）已知平面向量 满足： ，若 ，则
的最小值为 ．
17．（2024•浦东新区校级模拟）平面直角坐标系 中， 、 两点到直线 和 的距
离之和均为 ．当 最大时， 的最小值为 ．
七．余弦定理（共2小题）
18．（2024•闵行区校级二模）在 中，其内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
， ，则 的面积为 ．19．（2024•长宁区二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
．
八．棱柱的结构特征（共1小题）
20．（2024•青浦区二模）如图，在棱长为1的正方体 中， 、 、 在棱 、 、
上，且 ，以 为底面作一个三棱柱 ，使点 ， ， 分别在
平面 、 、 上，则这个三棱柱的侧棱长为 ．
九．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共2小题）
21．（2024•浦东新区校级模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 ，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积
为 ．
22．（2024•浦东新区二模）如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱．光源点 沿着上底面圆周做匀速运
动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心．当光源点 沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆
柱内部“扫过”的面积为 ．
一十．异面直线及其所成的角（共2小题）
23．（2024•杨浦区二模）正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 ．24．（2024•崇明区二模）已知底面半径为1的圆柱， 是其上底面圆心， 、 是下底面圆周上两个不
同的点， 是母线．若直线 与 所成角的大小为 ，则 ．
一十一．点、线、面间的距离计算（共3小题）
25．（2024•静安区二模）正四棱锥 底面边长为2，高为3，则点 到不经过点 的侧面的距离
为 ．
26．（2024•虹口区模拟）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四
棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为6，正四
棱柱的底面边长为 ， ， ， 是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则 ．
27．（2024•虹口区二模）如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，且 ．
若 ，点 为棱 的中点，点 在 上，则线段 ， 的长度和的最小值为 ．
一十二．椭圆的性质（共3小题）
28．（2024•青浦区二模）椭圆 的离心率为 ，则 ．
29．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
30．（2024•徐汇区校级模拟）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直
线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率是 ．
一十三．抛物线的性质（共4小题）
31．（2024•虹口区二模）过抛物线 焦点的弦 的中点横坐标为2，则弦 的长度为 ．
32．（2024•长宁区二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， ，
，则点 的横坐标为 ．
33．（2024•浦东新区校级模拟）已知 是抛物线 上的一点， 为抛物线的焦点， 为坐
标原点．当 时， ，则 ．
34．（2024•普陀区模拟）已知抛物线 的焦点 是双曲线 的右焦点，过点 的直线 的法向量
， 与 轴以及 的左支分别相交 ， 两点，若 ，则双曲线 的实轴长为 ．
一十四．双曲线的性质（共4小题）
35．（2024•闵行区校级二模）已知双曲线 与双曲线 具有相同的渐近线，且经过点 ，
则双曲线 的方程为 ．
36．（2024•闵行区二模）双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过坐标原点的直线与 相交于
、 两点，若 ，则 ．
37．（2024•闵行区校级二模）我们把形如 和 的两个
双曲线叫做共轭双曲线．设共轭双曲线 ， 的离心率分别为 ， ，则 的最大值是 ．38．（2024•虹口区二模）从某个角度观察篮球（如图 ，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，
篮球的外轮廓为圆 ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆
的周长八等分，且 ，则该双曲线的离心率为 ．
一十五．古典概型及其概率计算公式（共5小题）
39．（2024•浦东新区校级模拟）甲、乙、丙、丁四个人随机站成一排拍照，则甲与乙、丙均相邻的概率
为 ．
40．（2024•黄浦区二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加．若这5名选手甲、乙、丙、丁、
戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 ．
41．（2024•浦东新区二模）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门
体育类选修课的选修人数之比为 ，考核优秀率分别为 、 和 ，现从该年级所有选择体育
类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ．
42．（2024•浦东新区校级模拟）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出
两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．
43．（2024•徐汇区校级模拟）如图 为正六棱柱，若从该正六棱柱的 6个侧面的
12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．
一十六．众数、中位数、平均数（共1小题）
44．（2024•宝山区二模）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5， ，8，9，10，若其极差与平均数相
等，则这组数据的中位数为 ．
一十七．排列、组合及简单计数问题（共4小题）45．（2024•闵行区二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多
的等边三角形．例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边
三角形．当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成 个等边三角形．
46．（2024•虹口区二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 ．
47．（2024•松江区二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3， ，30，老师
要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择
方法．
48．（2024•徐汇区模拟）将四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如
果只有四种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为 ．
一十八．二项式定理（共3小题）
49．（2024•普陀区模拟）设 ，若 ，且 ，则
．
50．（2024•金山区二模）在 的展开式中，记 项的系数为 ，则 ， ，
．
51．（2024•黄浦区校级模拟）若 ，则 ．
