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押上海高考 21 题
与导数有关综合题
考点 考题 考情分析
与导数有关 数列与导数的综合、利用导数研究函数的最值、利用导
2023年考查方向
综合题 数研究曲线上某点切线方程
一．数列与导数的综合（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ，在该函数图像 上取一点 ，过点 ， 作函数 的切线，该
切线与 轴的交点记作 ，若 ，则过点 ， 作函数 的切线，该切线与 轴的交点记
作 ，以此类推 ， ， ，直至 停止，由这些项构成数列 ．
（1）设 属于数列 ，证明： ；
（2）试比较 与 的大小关系；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 、 、 、 、 依次成等差数列？若存在，求出 的所有取值；
若不存在，请说明理由．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）
2．（2023•上海）已知函数 ， （其中 ， ， ，若任意
， 均有 ，则称函数 是函数 的“控制函数”，且对所有满足条件的函数
在 处取得的最小值记为 ．
（1）若 ， ，试判断函数 是否为函数 的“控制函数”，并说明理由；
（2）若 ，曲线 在 处的切线为直线 ，证明：函数 为函数 的
“控制函数”，并求 的值；
（3）若曲线 在 ， 处的切线过点 ，且 ， ，证明：当且仅当 或
时， （c） （c）．
一．数列与导数的综合
数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前 n项和公式中共涉及五个量a ，a ，q，n，S ，知三求二，体现了方
1 n n
程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以
及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
【解题方法点拨】
1．在解决有关数列的具体应用问题时：
（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；
（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；
（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；
（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．
2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：
（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．
（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数
列求和．
（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．
3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算
相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的
结论．
二．利用导数研究函数的最值
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x ）与f（x ）是极小值，f（x ）是极大
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值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x ）．
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一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如函数 f（x）＝ 在
（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必
要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一
个
2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可
以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
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（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也
就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没
有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必
有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续
且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值
点，也可能不是极值点．
三．利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对
导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青
睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的
一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
一．利用导数研究函数的单调性（共8小题）
1．（2024•静安区二模）已知 ，记 且 ．
（1）当 是自然对数的底）时，试讨论函数 的单调性和最值；（2）试讨论函数 的奇偶性；
（3）拓展与探究：
①当 在什么范围取值时，函数 的图像在 轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数 的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
2．（2024春•杨浦区校级期中）已知函数 ．
（1）若 ，求函数 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性及极值；
（3）若 ，任意 ， 且 ，都有 成立，求实数 的取值范
围．
3．（2024春•浦东新区校级月考）已知函数 ，其中 为实数．
（1）若 是定义域上的单调函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围；
（3）记 ，若 ， 为 的两个驻点，当 在区间 上变化时，求的取值范围．
4．（2024春•松江区校级月考）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函
数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花．下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联
系．已知 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若数列 为自然底数）， ， ， ， ， ，求
使得不等式： 成立的正整数 的取值范围；
（3）数列 满足 ， ， ．证明：对任意的 ， ．5．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数 ， ， 是自然对数的底数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
（3）若 ， 为整数，且当 时， 恒成立，求 的最大值．
6．（2024•虹口区二模）若函数 满足：对任意 ， ， ，都有 ，
则称函数 具有性质 ．
（1）设 ， ，分别判断 与 是否具有性质 ？并说明理由；
（2）设 函数 具有性质 ，求实数 的取值范围；
（3）已知函数 具有性质 ，且图像是一条连续曲线，若 在 上是严格增函数，求证：
是奇函数．7．（2024•浦东新区校级开学）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 分别为 的极大值点和极小值点，记 ， ， ， ．
证明：直线 与曲线 交于另一点 ；
在 的条件下，判断是否存在常数 ， ，使得 ．若存在，求 ；若不存
在，说明理由．
附： ， ．
8．（2024春•宝山区校级月考）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ， ，曲线 上不同的三点 ， ， ， ， ， 处的切线都经
过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 （a） ；（ⅱ）若 ， ，则 ．
（注 是自然对数的底数）
二．利用导数研究函数的极值（共3小题）
9．（2024•崇明区二模）已知 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 存在两个不同的极值点 ， ，求证： ；
（3）若 ， ，数列 满足 ， ．求证：当 时， ．
10．（2024春•虹口区校级月考）已知函数 的极小值为1．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设函数 ．①证明：当 时， ， 恒成立；
②若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
11．（2024•普陀区校级开学）对三次函数 ， ，如果其存在三个实根 ， ，
，则有 ．称为三次方程根与系数关系．
（1）对三次函数 ，设 ，存在 ，满足 ．
证明：存在 ，使得 ；
（2）称 是 ， 上的广义正弦函数当且仅当 存在极值点 ， ，使得 ，
， ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 是 第 一 象 限 上 一 点 ， 设
．已知 在 上有两根 ．
证明： 在 上存在两个极值点的充要条件是 ；
求点 组成的点集，满足 是 ， 上的广义正弦函数．三．利用导数研究函数的最值（共13小题）
12．（2024•嘉定区二模）已知常数 ，设 ．
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）是否存在 ，且 、 、 依次成等比数列，使得 、 、 依次成等差数
列？请说明理由．
（3）求证：“ ”是“对任意 ， ， ，都有 ”的充要
条件．
13．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ，其中 ．
（1）若曲线 在点 ， （2） 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（2）设 ，函数 在 时取到最小值 ，求 关于 的表达式，并求 的
最大值；
（3）当 时，设 ，数列 满足 ，且 ，证明：
．14．（2024•闵行区校级二模）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）当 时，证明： 有且只有一个零点；
（3）求函数 在 ， 上的最小值．
15．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数 ， ，令 ．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）当 为正数且 时， ，求 的最小值；
（3）若 对一切 都成立，求 的取值范围．
16．（2024•浦东新区校级模拟）设函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时，曲线 与 有两条公切线，求实数 的取值范围；
（3）若 对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
17．（2024春•上海期中）已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的驻点，求实数 的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）若存在 ， 为自然对数的底），使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
18．（2024春•闵行区校级月考）已知函数 的图像在 处的切线与直线
平行．
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在 ， 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
（3）是否存在正整数 ，使得满足 ， 的无穷数列 是存在的，如果
存在，求出所有的正整数 的值，如果不存在，说明理由．19．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数 ， ， 图像上相邻的最高
点与最低点的横坐标相差 ， 是 的一条对称轴，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）将函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像，若存在 ， ， ， 满足
，且 ， ，求 的
最小值；
（3）令 ， ，若存在 使得 成立，求
实数 的取值范围．
20．（2024•松江区二模）已知函数 为常数），记 ．（1）若函数 在 处的切线过原点，求实数 的值；
（2）对于正实数 ，求证： ；
（3） 时，求证： ．
21．（2024•普陀区模拟）对于函数 ， 和 ， ，设 ，若 ， ，
且 ，皆有 成立，则称函数 与 “具有性质
”．
（1）判断函数 ， ， 与 是否“具有性质 （2）”，并说明理由；
（2）若函数 ， ， 与 “具有性质 ”，求 的取值范围；
（3）若函数 与 “具有性质 （1）”，且函数 在区间 上存在
两个零点 ， ，求证 ．22．（ 2024 春•浦东新区校级期 中）已知函数 ，满足 ，
．
（1）求 的值；
（2）若存在 ，使得等式 成立，求实数 的取值范围；
（3）若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围．
23．（2024春•宝山区校级期中）已知函数 ．
（1）若直线 是曲线 的切线，求实数 的值；
（2）若 对任意实数 恒成立，求 的取值范围；
（3）若 ，且 ，求实数 的最大值．24．（2024春•闵行区校级月考）设函数 ， ，其中 ， 、 ，
若对任意 ， 均有 ，则称函数 是函数 的“控制函数”，且对所有的函数
取最小值定义为 ．
（1）若 ， ，试问 是否为 的“控制函数”；
（2）若 ，使得直线 是曲线 在 处的切线，求证：函数 是为函数
的“控制函数”，并求 的值；
（3）若曲线 在 处的切线过点 ，且 ， ，求证：当且仅当 或
时， （c） （c）．
四．利用导数研究曲线上某点切线方程（共3小题）
25．（2024•黄浦区二模）若函数 的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数
的图像的“自公切线”，称这两点为函数 的图像的一对“同切点”．（1）分别判断函数 与 的图像是否存在“自公切线”，并说明理由；
（2）若 ，求证：函数 有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切
线”；
（3）设 ， 的零点为 ， ，求证：“存在 ，
使得点 与 是函数 的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“ 是数列 中的项”．
26．（2024•浦东新区校级模拟）设函数 的定义域为开区间 ，若存在 ，使得 在
处的切线 与 的图像只有唯一的公共点，则称 为“ 函数”，切线 为一条“ 切
线”．
（1）判断 是否是函数 的一条“ 切线”，并说明理由；
（2）设 ，求证： 存在无穷多条“ 切线”；
（3）设 ，求证：对任意实数 和正数 ， 都是“ 函数”．27．（2024 春•宝山区校级月考）已知 的图象在 ， （1） 处的切线与直线
平行．
（1）求函数 的极值；
（2）若 ， ， ，求实数 的取值范围．
