文档内容
押上海高考 19 题
根据实际问题选择函数类型、期望与方差
考点 4年考题 考情分析
函数 2020年、2021年、2023年 根据实际问题选择函数类型
统计与概率 2023年、2024年春考 离散型随机变量的期望与方差，极差、方差与标准差
一．根据实际问题选择函数类型（共4小题）
1．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中 为建筑物暴露
在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建
筑体的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面周长，又定义
为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 为某宿舍楼的层数，
层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 ．当 ， 时，试求当
该宿舍楼的层数 为多少时，“体形系数” 最小．
【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中 的定义求解即可；
（2）利用导函数求 的单调性，即可求出 最小时 的值．
【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，所以 ．
（2）由题意可得 ， ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，
所以 的最小值在 或7取得，
当 时， ，
当 时， ，
所以在 时，该建筑体 最小．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
2．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度
的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长 ．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 ？
【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项 ，公差 ，再利用
等差数列的前 项和公式求解即可．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第 季度的利润首次超过该季度营业额的 ，则
，令 ， ，递推作差可得
当 时， 递减；当 时， 递增，注意到 （1） ，所以若 ，则只需考虑的情况即可，再验证出 ， ，即可得到利润首次超过该季度营业额的 的时间．
解 法 二 ： 设 今 年 第 一 季 度 往 后 的 第 季 度 的 利 润 与 该 季 度 营 业 额 的 比 为 ， 则
，所以数列 满足 ，再由
， 的值即可判断出结果．
【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项 ，公差 ，
，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第 季度的利润首次超过该季度营业额的 ，
则 ，
令 ， ，
即要解 ，
则当 时， ，
令 ，解得： ，
即当 时， 递减；当 时， 递增，
由于 （1） ，因此 的解只能在 时取得，
经检验， ， ，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的 ．解法二：设今年第一季度往后的第 季度的利润与该季度营业额的比为 ，
则 ，
数列 满足 ，
注意到， ， ，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的 ．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是
中档题．
3．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车
辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车辆密度，交通流
量 ．
（1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围；
（2）已知道路密度 时，测得交通流量 ，求车辆密度 的最大值．
【分析】（1）由交通流量 随着道路密度 的增大而减小，知 是单调递减函数，进而知 ，于
是只需 ，解不等式即可；
（2）把 ， 代入 的解析式中，求出 的值，利用 可得到 关于 的函数关系式，
分段判断函数的单调性，并求出各自区间上 的最大值，取较大者即可．
【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量 随着道路密度 的增大而减小，
故 是单调递减函数，
所以 ，当 时， 最大为85，
于是只需令 ，解得 ，
故道路密度 的取值范围为 ．
（2）把 ， 代入 中，
得 ，解得 ．
，
①当 时， ，
．
②当 时， 是关于 的二次函数， ，
对称轴为 ，此时 有最大值，为 ．
综上所述，车辆密度 的最大值为 ．
【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档
题．
4．（2020•上海）有一条长为120米的步行道 ， 是垃圾投放点 ，若以 为原点， 为 轴正半轴
建立直角坐标系，设点 ，现要建设另一座垃圾投放点 ，函数 表示与 点距离最近的垃
圾投放点的距离．
（1）若 ，求 、 、 的值，并写出 的函数解析式；
（2）若可以通过 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
【分析】（1）利用题目所给定义表示出 ， ，分类讨论可得 ；
（2）利用题意可得 ，表示出 与坐标轴围成的面积，进而表示出面积
不等式，解出不等式即可
【解答】解：（1）投放点 ， ， 表示与 距离最近的投放点（即 的距离，
所以 ，同理分析， ， ，
由题意得， ， ，
则当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
综上 ；
（2）由题意得 ， ，
所以 ，则 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
所以 ，
由题意， ，即 ，
解得 ，即垃圾投放点 建在 与 之间时，比建在中点时更加便利．【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．
二．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
5．（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车
模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 为小明取到红色外观的模型，事件 为小明取到棕
色内饰的模型，求 （B）和 ，并判断事件 和事件 是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，
给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅
内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设 为奖金额，写出 的分布列并求出 的数学期望．
【分析】（1）根据概率公式分别进行计算即可．
（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定 对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计
算即可．
【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率 （A）
，
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率 （B） ．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即 ，
则 ．
（A） （B） ， （A） （B） ，即事件 和事件 不独立．
（2）由题意知 ，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率 ，
外观和内饰都异色的概率 ，
仅外观或仅内饰同色的概率 ，
，
， ， ，
则 的分布列为：
150 300 600
则 （元 ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率公式求出对应的概率是解决本题
的关键，是中档题．
三．极差、方差与标准差（共1小题）
6．（2024•上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，
单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【分析】（1）由排列组合公式可得样本空间的样本点的个数及所求的事件的样本点的个数，由古典概型
的概率公式可得所求的概率；
（2）由两个级别的箱数之比，可得样本中两个级别的箱数；
（3）由分层抽样的平均数及方差的计算公式，可得168个水果的方差和平均数，进而估计136箱单果的质
量．
【解答】解：（1）古典概型：设 事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数，
事件的样本点的公式 ，
所以 （A） ；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数 ，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）设一级果平均质量为 ，方差为 ，二级果质量为 ，方差为 ，总体样本平均质量为 平均值，
方差为 ，
因为 ， ， ， ，
所以 克，
克 ．
预估：平均质量为 克．
【点评】本题考查分层抽样的平均数公式及方差公式的应用，属于基础题．
一．根据实际问题选择函数类型
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学
习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看
它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具
体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法
称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象
可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝ （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的
速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值
a
增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点
是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量 x的范围，
同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针
对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论
参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
二、离散型随机变量的期望
①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x x … x …
1 2 i
P p p … p …
1 2 i
Ex p x p x p
则称 1 1 2 2 n n 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
ab EE(ab)aEb
②随机变量 的数学期望：
③单点分布： Ec1c 其分布列为：P(1)c . ξ 0 1
P q p
E0q1p p
④两点分布： ，其分布列为：（p + q = 1）
n!
Ek pkqnknp
k!(nk)! B(n,p)
⑤二项分布： 其分布列为 ～ .（P为发生 的概率）
1
E
p q(k,p)
⑥几何分布： 其分布列为 ～ .（P为发生 的概率）
三、极差、方差、标准差
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各
数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组
数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
①当已知随机变量ξ的分布列为 P(x k )p k (k 1,2, ) 时，则称D(x 1 E)2p 1 (x 2 E)2p 2 (x n E)2p n 为ξD0 D.
的方差. 显然 ，故 为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机
D
变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小.
②方差的性质.
ab D()D(ab)a2D
⑴随机变量 的方差 .（a、b均为常数）
③期望与方差的关系.
E E E()EE
⑴如果 和 都存在，则
E()EE,D()DD
⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化：DE2(E)2 ⑷E(E)E()E(E)（因为 E 为一常数） EE0 .
一．根据实际问题选择函数类型（共2小题）
1．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场， 米，广场的一角是半径为16米
的扇形 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其
中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 （宽度不计），点 在线段 上，并且与曲线 相切；另一
排为单人弧形椅沿曲线 （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为 元，单人弧形椅的造
价每米为 元，记锐角 ，总造价为 元．
（1）试将 表示为 的函数 ，并写出 的取值范围；
（2）问当 的长为多少时，能使总造价 最小．
【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得 ，而切线长 需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得 的取值范围；
（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可
得答案．
【解答】（1）解：过 作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
由题意易得 ，
所以 ， ；
（2） ，令 ，得 ，又 ，
所以 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时，总造价 最小，最小值为 ，此时 ，
所以当 米时，能使总造价 最小．
【点评】本题考查了三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．
2．（2024•静安区二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好
了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点 与点 ．现在准备以地平面上的
点 与点 为起点建造上、下桥坡道，要求：
① ；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的
比）；
③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；
④在过桥的路面上骑车不颠簸．
（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，
提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，
不必计算）．
【分析】（1）以线段 的中点 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可得圆 的方程，从而得答
案；
（2）由题意可得 点坐标，进而可得圆弧 的长度，由 ， 的坐标可得圆弧 的长，即可得答案；
（3）让桥的侧面所在平面垂直于地平面，从而可得几何体，提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？
方案1：由 求解即可；
方案2：由 求解即可．
【解答】解：（1）如图，以线段 的中点 为坐标原点建立平面直角坐标系．
则圆 的方程为 ；
由 ， ，
得 ， ．过点 作圆 的切线 ，切点为 ，
则直线 的斜率为 ，其方程为 ．
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
将其代入 ，得点 的坐标为 ．
经过点 作圆 与圆 切于点 （圆 与 轴的交点），
设圆 的半径为 ，
则 ，即 ，解得 ．
所以圆 的方程为 ，
故用函数表示过桥道路为： ；
（2）由点 的坐标为 ，得 ，
所以圆弧 的长为 ，
由点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，得 ，
所以圆弧 的长为 ，
故过桥道路的总长度为 ；
（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，
则桥拱左侧铺设的是以曲边形 为底面，高为10米的柱体；
桥拱右侧铺设的是以曲边形 为底面，高为10米的柱体；
提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？
方案 ，所以铺设过桥路需要混凝土为 ．
方案 ，
所以铺设过桥路需要混凝土 ．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
二．离散型随机变量的期望与方差（共19小题）
3．（2024•嘉定区二模）据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费
4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方
式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40
岁）．现在 市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：
青壮年 中老年 合计
自由行 60 40
跟团游 20 50
合计
（1）请补充 列联表，并判断能否有 的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量 表示这7
个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求 的分布和数学期望．
0.10 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024
【分析】（1）利用已知数据即可补充 列联表，利用 计算公式可得 ，进而得出结论．
（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，可得从青壮年组中与从中老年组中抽取的人数，再从14
个人中随机抽取7个人，这7个人中中老年与青壮年人数分别为 ， ，可得 ，1，2，3，4，相应
的 ，6，5，4，3．于是 ，5，3，1．利用超几何分布列可得 的分布列
为的分布列与 ．
【解答】解：（1）补充 列联表：
青壮年 中老年 合计
自由行 60 40 100跟团游 20 50 70
合计 80 90 170
，
因此有 的把握认为年龄与出游方式的选择有关；
（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，则从青壮年组中抽取 人，从中老年组中抽取
人，
再从14个人中随机抽取7个人，这7个人中中老年与青壮年人数分别为 ， ，则 ，1，2，3，
4，相应的 ，6，5，4，3．
则 ，5，3，1．
则 ， ， ，
．
的分布列为的分布列为：
1 3 5 7
．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望、独立性检验原理，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2024•虹口区二模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取 100件作为样本，测
得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单 54 57 60 63 66
位：
件数（单位： 5 21 46 25 3
件）（1）求样本质量差的平均数 ；假设零件的质量差 ，其中 ，用 作为 的近似值，
求 的值；
（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的 来自第1条生产线．若两条生产线
的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的．现从该企业生产的汽车零件
中随机抽取一件．
求抽取的零件为废品的概率；
若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量 ，则 ， ，
．
【分析】（1）先求出 ，再利用正态分布曲线的对称性求解；
（2） 利用全概率公式求解；
利用条件概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意可知， ，
则 ，
所以 ；
（2）设事件 表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，事件 表示“随机抽取一件零件为第1
条生产线生产”，事件 表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则 ， ， ， ，
（A） ；因为 ，
所以 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了全概率公式，以及条件概率公式，属于中档题．
5．（2024•金山区二模）有标号依次为1，2， ， 的 个盒子，标号为1号的盒子里有3个
红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2
号盒子里取出2个球放入3号盒子， ，依次进行到从 号盒子里取出2个球放入 号盒子为止．
（1）当 时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）设 号盒子中红球个数为随机变量 ，求 的分布及 ，并猜想 的值（无需证明此猜
想）．
【分析】（1）要使2号盒子里有2个红球，则从1号盒子里取出2个球为1个红球，1个白球，再结合古
典概型的概率公式求解；
（2）由题可知 可取1，2，3，分布求出相应的概率，进而得到 的分布，再结合期望公式求出 ，
根据 的值猜想 的值．
【解答】解：（1）由题可知，要使2号盒子里有2个红球，则从1号盒子里取出2个球为1个红球，1个
白球，
所以2号盒子里有2个红球的概率为 ；
（2）由题可知 可取1，2，3，
则 ， ，
，所以3号盒子里的红球的个数 的分布为： ，
所以 ，
猜想 ．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
6．（2024•闵行区校级二模）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友
套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为 ，每次套娃娃费用是10元．
（1）记随机变量 为小朋友套娃娃的次数，求 的分布列和数学期望；
（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望．
【分析】（1）求得 的可能取值及对应概率，即可求得分布列，根据期望公式求解即可；
（2）求得 的可能取值及对应概率，即可求解．
【解答】解：（1）由题意知，随机变量 的可能取值为1，2，3，4，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
1 2 3 4
．
（2）由题意可知，小朋友套娃娃未成功的概率为 ，
则小朋友套娃娃成功的概率为 ，
记摊主每天利润为 元，则 的期望为 ，
故摊主每天利润的期望为 元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．7．（2024•浦东新区校级模拟）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化
为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数
据按照 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 分成6组，制成了如图所示
的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ， ， ， ， 的三组中抽取了11
人，再从这11人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 ， 的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在 ， 的为 等级，成绩在 ， 的为 等级，其它为 等级．
以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得 等级的人数不少于
2人的概率．
【分析】（1）根据频率和为1，列方程计算求解，即可得出答案；
（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在 ， ， ， ， ， 的三组人数为7，3，1，根据超
几何分布计算 取0，1，2，3对应的概率，从而写出分布列并计算期望；
（3）根据频率分布直方图判断出成绩为 ， ， 等级的频率分别为0.04，0.4，0.56，可判断出从所有
参加考试的同学中随机抽取3人，获得 等级的人数服从二项分布，利用二项分布计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）由频率和为1得， ，
解得 ；
（2）由频率分布直方图得成绩在 ， ， ， ， ， 的三组人数比为 ，根据分层抽样抽取的成绩在 ， ， ， ， ， 的三组人数为7，3，1，
故 的可能取值为0，1，2，3，
则 ， ， ， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
；
（3）由题意得成绩为 ， ， 等级的频率分别为0.04，0.4，0.56，
设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得 等级的人数为 ，
则 服从二项分布 ，
故获得 等级的人数不少于2人的概率为 ．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中
档题．
8．（2024•宝山区二模）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分
否则得0分．已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为 ，从第
二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为 ，若前一次没投进，则该次投进的概率为 ．
（1）求甲投篮3次得2分的概率；
（2）若乙投篮3次得分为 ，求 的分布和期望；
（3）比较甲、乙的比赛结果．
【分析】（1）根据题意结合二项分布的概率公式求解；
（2）根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可得期望．
【解答】解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率 ；（2）由题意知 的所有可能取值为0，2，4，6，
则 ， ，
， ，
随机变量 的分布为 ，
期望 ；
（3）设甲三次投篮的得分 ，则 ，2，4，6，
可求得随机变量 的分布为 ，
所以 ，
，
又可算得 ，
因为 ， ，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布和期望，属于中档题．
9．（2024•松江区二模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且
每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，
无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为 、 、 ，假定 、
、 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
（1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若 ， ， ，求该小组比赛胜利的概率；
（2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目 的分布，并求 的期望 ；（3）已知 ，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁
先派出．
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得
到 的分布，再结合期望公式求解；
（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差
法比较大小即可．
【解答】解：（1）设事件 表示“该小组比赛胜利”，
则 （A） ；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为1，2，3，
则 ， ， ，
所以 的分布为： ，
所以 ；
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
由（2）可知， ，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布和期望，属于中档题．10．（2024•浦东新区二模）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： ， ，
， ， ， ，
， （ 单 位 ： 元 ） ， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ．
（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；
（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做
进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；
（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．
方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；
方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响．中奖1次当
天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折．
若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并
说明理．
【分析】（1）由频率分布直方图得出消费额不少于800元的频率，由此可计算出结论；
（2）由频率分布直方图提供的概率及分层抽样的定义得出抽取的6人在两个区间中人数，再结合对立事件
概率公式计算概率；
（3）根据两个方案求出其付款的期望值，比较后可得，其中方案1每300元减小50元，计算出付款额，
方案2由超几何分布概率公式分别求得抽取3次得奖次数分别是0，1，2，3的概率，再根据折扣计算出付
款期望值．【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 估 计 消 费 额 不 少 于 800 元 的 客 户 人 数 约 为
，
即约有405人；
（2）由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间800， 上，有2人不少于1000元，
因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调直，
则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为 ；
（3）按方案1，小王实付款 ；
按方案2，小王抽奖3次，
中1次奖的概率为 ，
中2次奖的概率为 ，
中3次奖的概率为 ，
一次都不中的概率为 ，
因此本次购物小王付款的期望值为 ，
又 ，因此选取方案2较合适．
【点评】本题考查了概率统计的综合应用，属于中档题．
11．（2024•长宁区二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．
（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子
随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；
（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为 ，求 的分布列、期望与方差．
【分析】（1）理由全概率公式求解；
（2）由题意可知， ，1，2，理由古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到 的分布列，再
利用期望和方差公式求解．
【解答】解：（1）设事件 表示“第一次取到红球”，事件 表示“第一次取到白球”，事件 表示
“第二次取出的球是红球”，则 （A） ， （B） ，
由题意可知， ， ，
所以 （C） （A） （B） ，
即第二次取出的球是红球的概率为 ；
（2）由题意可知， ，1，2，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 ，
．
【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题．
12．（2024•崇明区二模）某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管
炎患病的关系，调查数据如表所示．
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者 120 160 280
患慢性气管炎者 15 45 60
总计 135 205 340
（1）是否有 的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
（2）常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似然比．现从
340人中任选一人， 表示“选到的人是吸烟者”， 表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，
估计 的值；（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3
人中，不吸烟者的人数 的数学期望．
附： ， ．
【分析】（1）计算出 的值，再与临界值比较即可；
（2）利用条件概率公式求解；
（3）由题意可知， 的可能值为0，1，2，3，根据表格数据求出相应的概率，进而得到 的分布，再结
合期望公式求解．
【解答】解 （1）假设 ：患慢性气管炎与吸烟无关，
则 ，
由 ，而 ，
从而否定原假设，即有 的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
（2） ；
（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，
的可能值为0，1，2，3，
所以 的分布是 ，
所以 ．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率公式，以及离散型随机变量的分布和期望，
属于中档题．
13．（2024•黄浦区二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行
汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格．
组别
， ， ， ， ，频数 9 26 65 53 47
（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：
①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；
②每个随机红包金额（单位：元）的分布为 ．若从这200个成年市民中随机选取1人，记
（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求 的分布及数学期望；
（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为 ，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为
．假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的
成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比．
【分析】（1）依题意， 的所有可能取值为20，50，40，70，100，利用独立事件的概率乘法公式求解相
应的概率，进而得到 的分布，再结合期望公式求解即可；
（2）利用全概率公式和条件概率公式求解．
【解答】解：（1）从这200个成年市民中随机选取1人，设事件 表示“该市民成绩合格”，事件 表
示“该市民成绩不合格”，
由题意可知， （A） ， （B） ，
依题意， 的所有可能取值为20，50，40，70，100，
则 （B） ， （B） ， （A）
，
（ A ） ， （ A ）
，
所以 的分布为 ，
所以 ；
（2）从这200个成年市民中随机选取1人，设事件 表示“该市民为60岁以下人员”，事件 表示“该
市民为60岁及以上人员”，则 （D） ， （E） ， ，
由全概率公式可知， （A） （D） （E），
所以 ，
解得 ，
即估计60岁及以上人员的合格率为 ，
因为 ， ，
所以成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比为 ．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了全概率公式和条件概率公式，属于中档
题．
14．（2024•徐汇区模拟）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数
据如表．（单位：个）
未患病者 患病者 合计
未服用中草药甲 29 16 45
服用中草药甲 46 9 55
合计 75 25 100
（1）若规定显著性水平 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；
（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为 ，对服
用过中草药甲的患者治疗有效率为 ．若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次
选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为 ，求 的分布列
和数学期望．
附： ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828【分析】（1）计算 的值，与临界值比较即可；
（2）设事件 表示“中草药乙的治疗有效”，事件 表示“患者未服用过中草药甲”，事件 表示“患
者服用过中草药甲”，由题意可知 ， ，且 ， ，利用全概率
公式求出 （A），再结合二项分布的概率公式求解．
【解答】解：（1）零假设为 ：草药甲对预防此疾病无效，
根据列联表中的数据，可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为中草药甲对预防此疾病有效；
（2）设事件 表示“中草药乙的治疗有效”，事件 表示“患者未服用过中草药甲”，事件 表示“患
者服用过中草药甲”，
则 ， ，且 ， ，
所以 （A） ，
即中草药乙的治疗有效率 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 ．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
15．（2024•黄浦区校级模拟）某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为
，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级
中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛
都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛 5局中以 或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以 获胜的队员积2分，落败的队员积1
分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为 ．
（1）三个年级参赛人数各为多少？
（2）在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率；
（3）记最后一场比赛中甲所得积分为 ，求 的概率分布及数学期望 ．
【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质列式求解即可；
（2）分别求得最后一场比赛甲获胜与其前2局获胜的概率，再利用条件概率公式即可得解；
（3）依题意得到 的所有可能取值，分别求其对应概率得到分布列，再计算数学期望即可得解．
【解答】解：（1）三个年级的参赛人数分别为 ， ， ，
故来自高一，高二，高三年级的参赛人数分别为3人，4人和5人．
（2）记甲在最后一场获胜为事件 ，其前两局获胜为事件 ，
则 ，
，
故 ．
（3）依题意， 的所有可能取值为3，2，1，0，
；
；
；
，
所以 的概率分布列为：
3 2 1 0所以数学期望 ．
【点评】本题在考查分层抽样方法，条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解
能力，属于中档题．
16．（2024•虹口区模拟）设甲、乙两位同学上学期间，每天 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两
位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 之前到校的天数比乙同学在 之前到校的天数
恰好多2”，求事件 发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项
分布的期望公式求解数学期望即可．
（Ⅱ）由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值．
【解答】解：（Ⅰ）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 之前到校的概率均为 ，
故 ，
．
故随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 ．
（Ⅱ）设乙同学上学期间的三天中 之前到校的天数为 ，
则 ，且 ， ， ，
由题意知事件 ， 与 ， 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从 而 由 （ Ⅰ ） 知 ： ， ， ， ，．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算，属于
中档题．
17．（2024•徐汇区校级模拟）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终
高三一班 人）和高三二班 人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择
题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同
学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；
环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按
照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
（1）环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，
统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为 1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方
差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
（2）环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中
再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率．
【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均
数和方差公式，代入求值；
（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）一班抽取 人，二班抽取 人，
一班样本平均数为1，样本方差为1，
二班样本的平均数为1.5，样本方差为0.25，
总样本的平均数为 ，
记总样本的样本方差为 ，
所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76．
（2）王刚同学从甲箱中取出 2 个题都是选择题，李明同学从乙箱中抽出的都是是选择题的概率为，
王刚同学从甲箱中取出 1 个选择题 1 个填空题，李明同学从乙箱中抽出的都是是选择题的概率为
，
王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题，李明同学从乙箱中抽出的都是是选择题的概率为 ，
【点评】本题考查均值与方差的计算，考查全概率公式，是中档题．
18．（2024•闵行区二模） 是 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语
言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数
据信息的影响，不一定完全正确．某科技公司在使用 对某一类问题进行测试时发现，如果输入的
问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次
输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题， 的回答是否正确相互独立．该公司科
技人员小张想挑战一下 ，小张和 各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在
这10个问题中，小张能正确作答其中的9个．
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被 回答正确的概率；
（3）在这轮挑战中，分别求出小张和 答对题数的期望与方差．
【分析】（1）由古典概型概率公式即可求解；
（2）由全概率公式求解即可；
（3）设小张答对的题数为 ，则 的可能取值是8、9，求出对应的概率，可得小张答对题数的期望和方
差，设 答对的题数为 ，则 服从二项分布 ，由二项分布的期望和方差公式求解即可．
【解答】解：（1）设小张答对的题数为 ，则 ．
（2）设事件 表示“输入的问题没有语法错误”，事件 表示“一个问题能被 正确回答”，
由题意知 ， ， ，则 ，
．
（3）设小张答对的题数为 ，则 的可能取值是8、9，
且 ， ，
则 ，
，
设 答对的题数为 ，则 服从二项分布 ，
则 ，
．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2024•青浦区二模）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目
前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学
生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为 等级和 等级，得到如下
列联表：
男生 女生 总计
等级 40 20 60
等级 20 20 40
总计 60 40 100
（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平 ？
附： ，其中 ， ．
（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主
持人 和 轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人 提问甲赢的概率为 ，主持人 提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主
持人 提问．
求比赛只进行3局就结束的概率；
设 为结束比赛时甲赢的局数，求 的分布和数学期望 ．
【分析】（1）由表中数据计算 ，与临界值比较，即可得结论；
（2） 由相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式求解即可；
的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，从而可得分布列及数学期望．
【解答】解：（1）提出原假设 ：学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
根据表中数据可得 ，
由 ，且 ，
所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关．
（2） 比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为 ，
故比赛只进行3局就结束的概率为 ；
的可能取值为0，1，2，3，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故 ，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故 ，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故，
， 即 最 后 甲 赢 得 比 赛 ， 由 概 率 性 质 得
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
故数学期望为 ．
【点评】本题主要考查独立性检验，概率的求法，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能
力，属于中档题．
20．（2024•普陀区模拟）张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路
口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件 为“张先生驾车从左侧直行车道通
行”．
（1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行．
记事件 为“大货车从中间直行车道通行”，求 ；
（2）用 表示张先生每周工作日出行事件 发生的次数，求 的分布及期望 ．
【分析】（1）方法1：由古典概型概率公式求解即可；
方法2：由条件概率公式求解即可；
（2）事件 发生的次数 可取：0，1，2，3，4，5，从而可得分布列及数学期望．
【解答】解：（1）方法一：
依题意得，两辆车从直行车道通行这个样本空间中的基本事件共有 个，
事件 只有1个基本事件，
则 ．
方法二：依题意得，事件 的概率为 ，事件 基于条件 的概率为 ，
则 ．
（2）依题意得，事件 发生的次数 可取：0，1，2，3，4，5，
则 的分布为：
0 1 2 3 4 5
即：
0 1 2 3 4 5
（4分）
则 ，
则所求的 的期望 ．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档
题．
21．（2024•浦东新区校级模拟）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．
在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利
的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲
运动员每局比赛获胜的概率为 ，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响．
（1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为 ，求乙每局比赛获胜的概率；
（2）若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为 ，求 的分布列和数学期望
，并求当 为何值时， 最大．
【分析】（1）根据题意求出甲每局比赛获胜的概率，即可求得乙每局比赛获胜的概率；
（2）由题意知， 的所有可能取值分别为2，3，4，分别求出每种取值的概率得到分布列和期望，然后求导得单调性即可求最大值．
【解答】解：（1）设事件 为“前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛”，
则 ，
化简得 ，即 ，
所以 或 （舍去），
所以乙每局比赛获胜的概率为 ．
（2）由题意知， 的所有可能取值分别为2，3，4，
且 ，
，
．
则 的分布列为：
2 3 4
所以 ，
，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以当且仅当 时， 最大．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列及期望，考查运算求解能力，属于中档题．三．极差、方差与标准差（共1小题）
22．（2024春•长宁区校级月考）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373
男生 377 370
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19．
（1）求 的值；
（2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是 ，
， ，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差．
【分析】（1）由题意可知 ，从而求出 的值．
（2）先计算出初三年级的总人数，再利用分层抽样的概念即可得到结果．
（3）先求出初一、二年级应抽取的学生的人数，再利用平均数和方差的公式求解．
【解答】解：（1） ， ．
（2）初三年级人数为 ，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为 ，
（3）初一年级应抽取的学生的人数为 ，
初二年级应抽取的学生的人数为 ，
该校所有学生体重的平均数约为 ，
该校所有学生体重的方差约为
．
【点评】本题主要考查了数据的数字特征，考查了分层抽样的概念，同时考查了学生的计算能力，是基础
题．
