文档内容
2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷
提升卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第二章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足 ，
称为勾股数．据此求解即可．
【详解】解：A． ，不能构成勾股数，故该选项错误；
B． ，能构成勾股数，故该选项正确；
C． ，不能构成勾股数，故该选项错误；
D． ，不能构成勾股数，故该选项错误．
故选B．
2．在实数0， ， ， ， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循
环小数是无理数．由此即可求解．
【详解】解： ， ，
在实数0， ， ， ， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中，
无理数有 ， (相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个，
故选：B ．
3．在 中， 的对边分别是 ，则下列条件中不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系
是解题的关键
根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可．
【详解】解：分析各选项如下：
选项A、∵ 展开得 即 符合勾股定理逆定理，故 是直角三角
形；
选项B、∵
∴ ．
又∵三角形内角和为 ，
∴ ，故 是直角三角形；
选项C、设 ,
则 ,不能构成三角形，故该选项符合题意；
选项 D、设 则 ．
∵ ，
∴ ，解得 ，则 ，故 是直角三角形．故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可．
【详解】解：A、 和 的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误；
B、 和 的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误；
C、 ，故本选项的计算错误；
D、 ，故本选项的计算正确．
故选：D．
5．若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全
平方的非负性得到 ， ，求出 的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴故选：B．
6．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． 的面积为10 D．点A到直线 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股
定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
【详解】解：A、由勾股定理得： ，A选项正确，不符合题意；
B、 ，
，
，B选项正确，不符合题意；
C、 ，C选项错误，符合题意；
D、设点A到直线 的距离为h，
则 ，即 ，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
7．如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简 结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数
轴可得 ，则 ， ，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可．
【详解】解：由数轴可得 ，
则 ， ，
原式
，
故选：C．
8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折
痕为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易
得 ，由折叠的性质可得 ，设 ，则 ，然后根据勾股定理
可进行求解．
【详解】解：由题意，得 ，
由翻折的性质得 ，
设 ，则 ，
在直角三角形 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．9．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一
步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根 ，是无理数，
则输出，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是 ．
故选：A．
10．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股
算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形
，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知 ，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分
的面积是10，那么 的长是（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟
练运用勾股定理解决问题．
根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以 为边长的正方形面积减去两个直角三角形
的面积，建立方程求解出 的值，再利用完全平方公式变形即可解答．
【详解】解：已知 ，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，根据题意： ， ，
则 ，
， ，
，
（负值舍去），即 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ， ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，直接根据立方根和算术平方根的定义求解即可．
【详解】解： ；
；
故答案为： ；2．
12．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 的点是
【答案】点 / 点
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴，正确得出 的取值范围是解题关键．先求
出 的范围，再求出 的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴表示 的点是Q点．故答案为：点 ．
13．若 与 都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同
类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【详解】解：∵ 与 都是最简二次根式、并且是同类二次根式，
∴ ， ，
解得： ， ，
此时被开方数 ， ，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。
∴ ，
故答案为：5；
14．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点 出发沿着长方体的外表面爬到顶点
，则它爬行的最短路程是 ．
【答案】
【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理．
根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确
答案．
【详解】解：由题意有以下路线
路线一，如图1，路线二，如图2，
路线三，如图3，
∵ ，
∴最短距离为 ．
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ， ，E为 上一点，且 ， 平分
交 于D．若P是 上的动点，则 的最小值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称 最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作
点E关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，由对称可得 ，所以
，且当 、 、 依次共线时 的值最小，最小值为 ，作
于H，利用等面积法和勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，作点E关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，
由对称可得 ，
∴ ，且当 、 、 依次共线时 的值最小，最小值为 ，作于H．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．在 中， ，以 为边，向 外作等腰直角三角形 ，则
．
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的
平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
本题需要分三种情况讨论，分别为① 时，② ，③ ，再根据勾股定理分别计算出
的值即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
（1）当 时，过D点作 的垂线交 的延长线于E，如图
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时，过点D作 的垂线，交 延长线于E，如图，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）当 时，过D点作 的垂线，垂足分别为E、F，如图
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）17．（1）计算：
（2）求x的值：
【答案】（1）
（2） 或
【分析】本题考查了算术平方根、立方根的运算以及利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题关
键．
（1）分别计算各项的值，再进行加减运算．
（2）先对方程进行化简，将含未知数的项化为完全平方的形式，再根据平方根的定义求出未知数
的值．
【详解】（1）解：原式=9+(−3)−(5+2)
=9−3−7
．
（2）解： ，
移项得 ，
18
两边同时除以 ，可得(x−2) 2= =9．
2
所以x−2=±❑√9=±3，
当 时，解得 ；
当 时，解得x=−3+2=−1，
综上， 或 ．
18．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 ，小正方形的顶点称为格点．
(1)请在网格中画出格点三角形 ，使 ， ， ；(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解
构图法的操作方法是解题的关键．
（ ）根据勾股定理画出图形即可；
（ ）利用 所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，
理由：由网格可得 ， ， ，
∴ 即为所求作；（位置不唯一）
（2）解： ．
19．已知 ，b是9的算术平方根， 的立方根是 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)若 ，求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根：
（1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解；
（2）先根据 确定a的值，进而求出 的值，再求平方根即可．
【详解】（1）解：因为 ，b是9的算术平方根， 的立方根是 ，
所以 ，
所以 ．（2）解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
因为25的平方根是 ，
所以 的平方根是 ．
20．如图，四边形 中， ， ， 为 上一点， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理是解
决本题的关键．
（1）由角角边的证明方法证明 与 全等，由此可证；
（2）设 ，由边长可表示 与 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴△AED≌△FCD(AAS)，
∴ ；
（2）解：设 ，∵ ，
∴CF=AE=8−x，
∵ ，
∴AB=AE+BE=8−x+2=10−x，
由（1）知， ，
∴ ，
在 和 中，
由勾股定理可知： ， ，
∴AB2+AD2=BF2+DF2，
即(10−x) 2+AD2=x2+DF2，
∴(10−x) 2=x2，解得 ，
∴线段 的长为5．
21．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）
二次根式．
问题解决：
(1)若a与 是关于6的共轭二次根式，则 __；
(2)若 与 是关于26的共轭二次根式，求m的值
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性
质进行计算．
（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．
【详解】（1）解：∵a与 是关于6的共轭二次根式，
∴
∴ ，故答案为： ；
（2）解：∵ 与 是关于26的共轭二次根式，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道 的
同侧，售卖机A，B之间的距离 为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米， 于点
N，M到 的距离 为240米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
【答案】(1)180米
(2)珍珍的观点正确，见解析
【分析】1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理及其逆定理，证明 即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得 ，
即B，N之间的距离为180米；（2）解：∵ ，
∴ ．
在 中，
由勾股定理得 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是垂线段，
∴ 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
23．观察下列各式：
，
，
，
……
(1)填空： ______；
(2)请用含字母的等式写出你发现的规律为______；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，数字规律的探索，熟练掌握二次根式的混合计算法则，正确归纳规律是解答本题的关键．
（1）结合题意和前三项的结论，以此类推计算即可；
（2）根据前四项，归纳规律表示代数式即可；
（3）根据 对原式变形计算即可得解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解： ，
，
，
，
，
第n个等式可表示为： ，
故答案为： ．
（3）解：原式
．24．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，
于是进行了以下探索：
若设 （其中 均为整数），则有 ，
所以 ．
这样小明就找到一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你依照小明的方法解决下列问题：
(1)若 ，则 ______， ______；
(2)若 ，当 均为整数时，用含 的式子分别表示 ，得 ______，
______；
(3)若 ，当 均为正整数时，求 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)28或12
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，
读懂材料明确题意是解题关键．
（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出 ；
（2）通过完全平方公式去掉括号表示出 ；
（3）根据题意，求出 ，根据 均为正整数，分两种情况求出 的值．
【详解】（1）解：
∴ ，
故答案为：7，4；
（2）解： ，
∴ ，故答案为： ， ；
（3）解：
∴ ，
∴ ．
∵ 均为正整数，
∴ 或 ．
当 时， ；
当 时， ，
即 的值为28或12．
25．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦
图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：
把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（ ），
，显然 ．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形 的面积，（提示： ）梯形 ，
的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 ．
(2)如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求 的最大值为______．
②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得 ，则 边上的高的长度为
______．
(3)如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2) ；(3)
【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据勾股定理列方程求解是
解本题的关键．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论；
（2）①利用勾股定理求解即可；②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案；
（3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，设 与 交于点G，
， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
化简，得 ；
（2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大， 的最大值 ．
故答案为： ．
②设 边上的高为h，
，，
，
边上的高为 ．
故答案为： ．
（3）解：设 ，
，
，
在 中，
∵AB=4， ， 是 边上的高，
，
在 中，
∵AC=5， ，
，
，
解得 ，
．
