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八年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【北师大版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
√ a+1
1．（3分）（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简二次根式a❑− 正确的是（ ）
a2
A．❑√−a−1 B．❑√a+1 C．−❑√−a−1 D．−❑√a+1
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可．
a+1
【详解】解：∵− ≥0，a2>0，
a2
∴a+1≤0，
∴a≤−1，
√ a+1 ( ❑√−a−1)
∴a❑− =a⋅ − =−❑√−a−1；
a2 a
故选：C．
2．（3分）（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ，以
1
CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S
2
……按照此规律继续下去，则S 的值为（ ）
2025(1) 2020 (❑√2) 2021 (❑√2) 2023 (1) 2022
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得S =4，由等腰直
1
S 1 S
角三角形的性质并结合勾股定理可得2DE2=CD2=S ，即可得出S =DE2= 1，同理可得S = S = 1
1 2 2 3 2 2 22
S
，从而得出规律S = 1 ，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
n 2n−1
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S =CD2=22=4，
1
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴2DE2=CD2=S
，
1
S
∴S =DE2= 1，
2 2
1 S
同理可得：S = S = 1 ，
3 2 2 22
S
∴S = 1 ，
n 2n−1
∴S =
S
1 =
4
=
(1) 2022
，
2025 22024 22024 2
故选：D．
3．（3分）（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
n 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 ⋯
❑√n 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ⋯
根据以上规律，若❑√1.71≈1.31，❑√17.1≈4.14，则❑√1710≈（ ）A．41.4 B．13.1 C．414 D．131
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的
小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相
应的向相同方向移动一位．
∵❑√17.1≈4.14，
∴❑√1710≈41.4，
故选：A．
4．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理
及其逆定理判定△ABC是等腰直角三角形成为解题的关键．
如图：连接BC，先运用勾股定理求出△ABC的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出△ABC是等腰直
角三角形，进而得出∠BAC的度数即可．
【详解】解：如图：连接BC，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，∵10+10=20，
∴AC2+CB2=AB2，AC2=CB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°．
故选：B．
5．（3分）（24-25八年级下·四川德阳·期末）如果ab>0,a+b<0，那么下面各式正确的是（ ）
√a ❑√a √a
A．❑ = B．❑√ab÷❑ =b
b ❑√b b
√a √b √a
C．❑ ×❑ =1 D．❑√−b×❑ =−❑√a
b a b
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键．
由条件ab>0且a+b<0可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结
果符号正确。．逐一分析选项即可．
【详解】解：∵ab>0说明a和b同号．a+b<0进一步说明a和b均为负数．
√a ❑√a
A、 ❑ = 中，❑√a和❑√b无意义（实数范围内），故选项错误；
b ❑√b
❑√ab÷❑
√a
=
√ab
=❑√b2=|b)=−b
B、 b ❑ a ，故选项错误；
b
√a b
C、 ❑ × =❑√1=1，故选项正确；
b a
√a √ a
D、 ❑√−b×❑ =❑(−b)⋅ =❑√−a，故选项错误；
b b
故选：C
6．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式❑√2m−8与❑√m+5可以合并，则❑√3m+6的
值是（ ）．
A．3❑√3 B．3❑√5 C．4❑√5 D．4❑√3
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式❑√2m−8与❑√m+5可以合并，可知
❑√2m−8与❑√m+5是同类二次根式，由此求出m的值，代入❑√3m+6计算即可．
【详解】解：由题意知❑√2m−8与❑√m+5是同类二次根式，∴ 2m−8=m+5，
解得m=13，
∴ ❑√3m+6=❑√3×13+6=❑√45=3❑√5，
故选B．
7．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=3，
CD=1，AB=BC=❑√5，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4 C．❑√10 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出
辅助线构建直角三角形是解题的关键．
连接AC，由勾股定理求得AC=❑√10，再由勾股定理逆定理可得∠ADC=∠ABC=90°，由
S =S +S 即可求解．
四边形ABCD △ABC △ADC
【详解】解：连接AC，如图：
∵∠ADC=90°，AD=3，CD=1，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√32+12=❑√10，
又∵AB=BC=❑√5，
∴AC2=BC2+AB2=(❑√5) 2+(❑√5) 2=10，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
❑√5×❑√5 3×1
∴S =S +S = + =4，
四边形ABCD △ABC △ADC 2 2
故选：B．
8．（3分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰Rt△ACD，斜边AD=4，分别以的边AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（ ）
π
A．4 B．4π C．2π D．
2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，然后确定出
S =S +S ，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键．
半圆ACD 半圆AEC 半圆CFD
【详解】解：如图，过点C作CB⊥AD于点B,
∵等腰Rt△ACD，斜边AD=4，
1
∴AC2+CD2=AD2，CB= AD=2
2
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
1 1 1 1 1 1
∴S = π× AD2= πAD2 ，S = π⋅ AC2= πAC2 ，
半圆ACD 2 4 8 半圆AEC 2 4 8
1 1 1
S = π⋅ CD2= πCD2 ，
半圆CFD 2 4 8
∴S =S +S ，
半圆ACD 半圆AEC 半圆CFD
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为S +S +S −S =S ，
半圆AEC 半圆CFD △ACD 半圆ACD △ACD
1
∵△ACD的面积= ×2×4=4，
2
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为4，
故选：A．
9．（3分）（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方
体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为24cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ）
A．2cm和3cm之间 B．3cm和4cm之间
C．4cm和5cm之间 D．5cm和6cm之间
【答案】A
【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体
的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可．
【详解】解：设该正方体铁块的棱长为xcm，
由题意得：x3=24，
解得x=√324，
∵ √38<√324<√327，
∴ 2<√324<3，
即该正方体铁块的棱长介于2cm和3cm之间，
故选A．
10．（3分）（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，铁路AB和公路CD在点O处交汇，
∠BOD=45°，公路AB上E处距离O点120❑√2m．若火车行驶时，周围150m内会受到噪音的影响，则
火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点E作EH⊥AB于H，
点E、F在AB上，且¿=EF=150m，利用三角函数的定义求出EH=120m，利用勾股定理求出GH、HF的长，即可得出GF的长，根据时间=距离÷速度即可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，点G、F在CD上，且¿=EF=150m，
由题意可知：OE=120❑√2m，∠HOE=45°，
∴EH=OE⋅sin45°=120m，
∵火车行驶时，周围150m以内会受到噪音的影响，
∴当火车行驶在E、F之间时，会受到噪音的影响，
∴GH=❑√PG2−EH2=❑√1502−1202=90m，
同理可得：HF=90m，
∴GF=180m，
∵火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶，72km/h=20m/s，
∴点E处受噪音影响的时间为180÷20=9s．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC
上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，若AB=9，AD=12，则ED= ．
【答案】4.5
【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出AC
的长，再根据折叠可得CD′=CD=9，DE=D′E，求出AD′=6，设DE=x，则D′E=x，AE=12−x，再根据勾股定理可得方程(12−x) 2=62+x2，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，
∴CD=9，∠D=90°，
由勾股定理得：AC=❑√92+122=15，
∵将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，
∴CD′=CD=9，DE=D′E，
∴AD′=AC−CD′=15−9=6，
设DE=x，则D′E=x，AE=12−x，
在Rt△AED′中：由勾股定理得AE2=AD′2+D′E2，
∴(12−x) 2=62+x2，
解得：x=4.5，
∴ED的长为4.5，
故答案为：4.5．
12．（3分）已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：❑√a2−|a+b|+❑√(c−a+b) 2−|b−c|+√3 b3=
．
【答案】4b−a
【分析】先根据数轴的性质可得a<b<0<c，从而可得a+b<0,b−c<0,c−a+b>0，再计算算术平方根
与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c，
∴a+b<0，b−a>0，b−c<0，
∴c−a+b>0，
∴❑√a2−|a+b)+❑√(c−a+b) 2−|b−c)+√3 b3
=−a−[−(a+b))+(c−a+b)−(c−b)+b
=−a+a+b+c−a+b−c+b+b
=4b−a，故答案为：4b−a．
【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题
关键．
13．（3分）（2025·河北沧州·模拟预测）若a<❑√80−❑√20<a+1，则正整数a的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的
加减运算，然后估算结果的值即可．
【详解】解：❑√80−❑√20，
=4❑√5−2❑√5，
=2❑√5，
∵42<(2❑√5) 2<52，
∴4<2❑√5<5，
∴正整数a的值4．
故答案为：4．
14．（3分）（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分
别是3，4，12和13，∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积S= ．
【答案】36
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接AC，在直角△ABC中，根据勾股定理可以求
得AC=5，在△ACD中，可得AC2+CD2=AD2，根据勾股定理的逆定理确定△ADC为直角三角形，四
边形ABCD的面积为△ACD和△ABC面积之和．
【详解】解：连接AC，在直角△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=❑√AB2+BC2=5，
又∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，∴△ACD为直角三角形，
1 1
∴Rt△ABC的面积为 ×3×4=6，Rt△ACD的面积为 ×5×12=30，
2 2
∴四边形ABCD的面积为△ACD和△ABC面积之和，即S=30+6=36．
故答案为：36．
15．（3分）（24-25八年级上·宁夏银川·期末）观察下列分母有理化．
1 1⋅(❑√2−1) ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√2+❑√1 (❑√2+1)⋅(❑√2−❑√1) (❑√2) 2 −(❑√1) 2
1
=❑√3−❑√2；
❑√3+❑√2
1
=❑√4−❑√3；
❑√4+❑√3
…
从计算结果中找出规律：
( 1 1 1 1 )
+ + +⋯+ (❑√2025+1)= ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
【答案】2024
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，先分母有理化，然后合并同类二次根式后
利用平方差公式计算．
( 1 1 1 1 )
【详解】解： + + +⋯+ (❑√2025+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√2025−❑√2024)(❑√2025+1)
=(❑√2025−1)(❑√2025+1)
=2025−1
=2024，
故答案为：2024．
16．（3分）如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，AD=DE=4，BE=1，
当CD长为 △ABC为直角三角形．
13
【答案】3或2或 ．
4
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根
据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，AB2=AF2+BF2=25,
AC2=AD2+CD2=16+CD2,
BC2=CE2+BE2=(CD+4) 2+1=CD2+8CD+16+1,
当△ABC为直角三角形时，AB2+AC2=BC2,
即25+16+CD2=CD2+8CD+16+1,
解得，CD=3，如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，AB2=AH2+BH2=25,
AC2=AD2+CD2=16+CD2,
BC2=CE2+BE2=(4−CD) 2+1=CD2−8CD+16+1,
由AB2=AC2+BC2得：25=16+CD2+CD2−8CD+16+1,
解得：CD=2,
13
同理可得：当∠ABC=90°时，CD= .
4
13
综上：CD的长为：3或2或 ．
4
13
故答案为：3或2或 ．
4
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（|x)<25）
(1)当输入的x为−14时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是❑√5，求x的负整数值．
【答案】(1)❑√2；
(2)1，2，3；(3)−3或−23．
【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键．
（1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可；
（2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定|x−2)的值，进而求得x的值即可；
（3）由y是❑√5逆推|x−2)的值，进而求得x的值即可．
【详解】（1）解：当x=−14时，|x−2)=|−14−2)=16，❑√16=4，❑√4=2，❑√2是无理数，
∴ 当输入的x为−14时，输出的y值是❑√2；
故答案为：❑√2；
（2）∵ 0和1的算术平方根是它本身，
∴|x−2)=0，
解得x=2，
∵ |x−2)=1，
解得x=3或x=1，
∴ 所有满足要求的x的值为1，2，3；
故答案为：1，2，3；
（3）若第1次运算是❑√5，
∴(❑√5) 2=5，
∴|x−2)=5，
解得x=7或x=−3，
∵ x为负整数，
∴ 输入的x值为−3；
若第2次运算是❑√5，
∴(❑√5) 2=5，52=25，
∴|x−2)=25，
解得x=27或x=−23，
∵ x为负整数，
∴ 输入的x值为−23，
∴|x)<25，
∴x的负整数值均为−3或−23．
18．（6分）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
(1)若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB=∠ACF；
(3)求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】(1)20°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AC=AE，再证AB=AE，得到∠ABE=∠AEB，然后由三角
形内角和定理求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，再由SAS推出△BAF≌△CAF，得出∠ABF=∠ACF
，由（1）得，∠ABE=∠AEB，从而即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得BF=CF，由三角形外角的性质可得∠CFG=∠EAG=90°，然后由勾股
定理得EF2+BF2=EF2+CF2=CE2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ △ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，
∴AC=AE，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵ ∠BAC=50°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=50°+90°=140°，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
180°−∠BAE 180°−140°
∴∠ABE=∠AEB= = =20°；
2 2
（2）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF，在△BAF和△CAF中，
{
AB=AC
)
∠BAF=∠CAF ，
AF=AF
∴△BAF≌△CAF(SAS)，
∴∠ABF=∠ACF，
由（1）得，∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）证明：由（2）得：△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AGF=∠AEB+∠EAG，∠AGF=∠ACF+∠CFG，∠AEB=∠ACF，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴在Rt△CFE中，EF2+BF2=EF2+CF2=CE2，
∵ △ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，
∴AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，
∴EF2+BF2=2AC2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股
定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，
c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【答案】(1)假
(2)45°
(3)见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识．（1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的
概念判断即可；
（2）根据题意得到a=c，根据“类勾股三角形”的定义得到ac+a2=b2，得到△ABC是等腰直角三角
形，根据等腰直角三角形的定义求出∠A；
（3）在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，根据等腰三角形的性
1
质、三角形的外角性质得到∠CDB=∠B，根据等腰三角形的性质得到DE=BE= (c−a)，根据勾股定
2
理计算，得到b2=ac+a2，根据“类勾股三角形”的定义证明结论．
【详解】（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a2=c2，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得：b2+a2=c2，
∴ab+a2=b2+a2，
∴a=b，
∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：∵AB=BC，AC>AB，
∴a=c，b>c，
∵ △ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2=b2，
∴c2+a2=b2，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
（3）证明：在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，
∵AD=CD
，
∴∠ACD=∠A，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，
∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB=a，
∴AD=CD=a，
∵BC=a， AB=c，
∴DB=AB−AD=c−a，
∵CE⊥AB，
1
∴DE=BE= (c−a)，
2
1 1
∴AE=AD+DE=a+ (c−a)= (a+c)，
2 2
2
在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=b2− [1 (c+a) ) ，
2
2
在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2=a2− [1 (c−a) ) ，
2
2 2
∴b2− [1 (a+c) ) =a2− [1 (c−a) ) ，
2 2
整理得b2=ac+a2，
∴ △ABC是“类勾股三角形”．
5
20．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ，
❑√3
√2 2
❑ ，
3 ❑√3+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5 5×❑√3 5❑√3
= = ；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．2 √2 1
（1）化简： = ；❑ = ； = ；
❑√3 5 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√5−❑√3 ❑√5+❑√3 y x
（3）已知x= ，y= ，求 + 的值.
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3 x y
2❑√3 ❑√10 ❑√5−❑√3 ❑√2019−1
【答案】（1） , , （2） （3）62
3 5 2 2
【分析】（1）分子分母分别乘❑√3,❑√5,❑√5−❑√3 即可.
（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.
（3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.
2 2×❑√3 2❑√3
【详解】（1） = = ，
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×5 ❑√10
❑ =❑ = ，
5 5×5 5
1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
= =
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2
2❑√3 ❑√10 ❑√5−❑√3
故答案为 ， ，
3 5 2
1
（2）原式= (❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017)
2
❑√2019−1
=
2
❑√5−❑√3 8−2❑√15 ❑√5+❑√3 8+2❑√15
（3）x= = ，y= =
❑√5+❑√3 2 ❑√5−❑√3 2
∴x+ y=8,xy=1
y x (x+ y) 2 64
+ = −2= −2=62
x y xy 1
【点睛】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要
利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
21．（10分）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE
．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关
系，可得到勾股定理：S = __________，S __________，S = __________，则它们满足
梯形ABCD △EBC 四边形AECD
的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=70米，BC=50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水
点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式❑√x2+9+❑√(12−x) 2+36的最小值(0<x<12)．
1 1 1
【答案】（小试牛刀）S = a(a+b)，S = b(a−b)，S = c2 ，
梯形ABCD 2 △EBC 2 四边形AECD 2
1 1 1
a(a+b)= b(a−b)+ c2 ；（知识运用）200；（知识迁移）15
2 2 2
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可；
（知识运用）作点C关于AB的对称点E，连接PC、PE，则PC=PE，由三角形三边关系可得当
D、P、E三点共线时，PC+PD距离最小；
（知识迁移）如下图，AB⊥AD、BC⊥AB，AB=12，AD=3、BC=6，点P为线段AB上一点，则
PD+PC=❑√x2+9+❑√(12−x) 2+36，由上可得当D、P、C三点共线时，PC+PD距离最小．
1 1 1 1
【详解】解：（小试牛刀）S = (BC+AD)×AB= (a+b)×a= a2+ ab；
梯形ABCD 2 2 2 21 1 1 1
S = BC×BE= b×(a−b)= ab− b2 ；
△BCE 2 2 2 2
1
S = c2 ，
四边形AECD 2
1 1 1
满足的关系式为： a(a+b)= b(a−b)+ c2 ．
2 2 2
（知识运用）作点C关于AB的对称点E，连接PC、PE、DE，如下图：
由题意可得：PC=PE，
PC+PD=PD+PE，则PC+PD的最小值，即为PD+PE的最小值，
由三角形三边关系可得：PD+PE<DE，当D、P、E三点共线时PD+PE=DE，
∴PC+PD的最小值为DE，
作EF⊥DA交DA延长线于点F，
∵∠FAB=∠ABE=∠F=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE=BC=50，EF=AB=160，
∴DE=❑√1602+(50+70) 2=200米，
故答案为：200；
（知识迁移）如下图，AB⊥AD、BC⊥AB，AB=12，AD=3、BC=6，点P为线段AB上一点，
设AP=x，则BP=12−x，
∴PD+PC=❑√x2+9+❑√(12−x) 2+36，由上可得当D、P、C三点共线时，PC+PD距离最小，最小为CD，
作CF⊥DA交DA延长线于点F，
∵∠FAB=∠ABC=∠F=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF=BC=6，CF=AB=12，
∴CD=❑√122+(3+6) 2=❑√225=15．
∴代数式❑√x2+9+❑√(12−x) 2+36的最小值为15．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
22．（10分）如图，已知点B在线段AE上，分别以AB，BE为边长在AE上方作正方形ABCD，BEFG，
点P为AB中点，连接CF，CP，FP．设AB=a，BE=b．
(1)若a=2b，判断△CPF的形状为______；
(2)请用含a，b的式子表示△CPF的面积；
(3)若△CPF的面积为6，AE=6，求AB的长．
【答案】(1)等腰三角形
1 1
(2)
ab+ a2
4 4
(3)AB=4
【分析】（1）利用正方形性质和勾股定理可以得到CP=FP从而得到△CPF为等腰三角形；（2）根据图像可知S =S +S +S −S ，分别求出各部分面积即可得到最终结果；
△CPF △BCP △GFC 四边形BEFG △FEP
1 1
（3）若△CPF的面积为6，则 ab+ a2=6因式分解后结合a+b=6即可求出最后结果．
4 4
【详解】（1）解：△CPF为等腰三角形，
理由如下：∵四边形ABCD，BEFG是正方形，
∴AB=CB=a，BE=EF=FG=BG=b，∠CBP=∠GBE=∠E=∠FGB=90°，
∴∠FGC=90°，
∵a=2b，
∴BC=AB=2b，
∵点P为AB中点，
1
∴BP= AB=b，
2
∴EP=EB+BP=2b，CG=BC−BG=b，
在Rt△CBP中，
CP2=CB2+BP2=(2b) 2+b2=5b2，
在Rt△FEP中，
FP2=EF2+EP2=(2b) 2+b2=5b2，
在Rt△FGC中，
CF2=FG2+CG2=b2+b2=2b2，
∴CP2=FP2即CP=FP，
∴△CPF为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）∵AB=BC=CD=AD=a，点P为AB中点，
1 1
∴BP= AB= a，
2 2
∵EF=EB=EG=FG=b，
1
∴EP=EB+BP=b+ a，CG=BC−BG=a−b，
2
1 1 1 1
∴S = ⋅BC⋅BP= a⋅ a= a2 ，
△BCP 2 2 2 4
1 1 1 1
S = ⋅GF⋅GC= b⋅(a−b)= ab− b2 ，
△GFC 2 2 2 2S = 1 EF⋅EP= 1 b⋅ ( b+ 1 a ) = 1 b2+ 1 ab，
△EFP 2 2 2 2 4
S =b2 ，
正方形BEFG
1 1 1 1 1 1 1
∴S =S +S +S −S = a2+ ab− b2+b2− b2− ab= a2+ ab；
△CPF △BCP △GFC 四边形BEFG △FEP 4 2 2 2 4 4 4
1 1
（3）由（2）得，S = ab+ a2 ，
△CPF 4 4
∵△CPF的面积为6，AE=6，
1 1
∴ ab+ a2=6，a+b=6，
4 4
解得a=4．
∴AB=4．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面
积的求解，因式分解的应用，熟练掌握多边形中三角形面积的求解是解答本题的关键．
23．（12分）（24-25八年级下·江西赣州·期中）阅读材料：像(❑√5+2)(❑√5−2)=1，❑√a⋅❑√a=a(a≥0)，
⋯⋯这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进
行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
1 ❑√2+1
如：
= =❑√2+1，
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
请你解决如下问题：
1
(1)❑√3+❑√2的有理化因式是___________， = ___________．
❑√6+❑√5
1 1 1 1
(2)化简 + + +⋯+ ．
❑√1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
1
(3)数学课上，老师出了一道题“已知a= ，求3a2−6a−1的值”
❑√2−1
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
1 ❑√2+1
因为a= = =❑√2+1，所以a−1=❑√2．
❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)
所以(a−1) 2=2，所以a2−2a+1=2，所以a2−2a=1，所以3a2−6a=3，所以3a2−6a−1=2
2
利用上述方法：若a= ，求−2a2+12a+3的值．
3−❑√7
【答案】(1)❑√3−❑√2，❑√6−❑√5
(2)22
(3)7
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式完全平方公式，理解题中所给有理化因式的定
义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=3−2=1，
∴❑√3+❑√2的有理化因式是❑√3−❑√2，
1 1×(❑√6−❑√5)
= =❑√6−❑√5，
❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)
故答案为：❑√3−❑√2，❑√6−❑√5；
1 1 1 1
（2）解： + + +⋯+
❑√1+❑√3 ❑√3+❑√5 ❑√5+❑√7 ❑√2023+❑√2025
❑√3−❑√1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023
= + + +⋯+
(❑√1+❑√3)(❑√3−❑√1) (❑√3+❑√5)(❑√5−❑√3) (❑√5+❑√7)(❑√7−❑√5) (❑√2023+❑√2025)(❑√2025−❑√2023)
❑√3−❑√1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2025−❑√2023
=
2
❑√2025−❑√1
=
2
45−1
=
2
=22；
2 2(3+❑√7)
（3）解：∵a= = =3+❑√7，
3−❑√7 (3−❑√7)(3+❑√7)
∴a−3=❑√7，∴(a−3) 2=(❑√7) 2 ，
∴a2−6a=−2，
∴−2a2+12a+3
=−2(a2−6a)+3
=−2×(−2)+3
=7．
24．（12分）（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，
A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到
AB长度即为最短路程，则AB= ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿
着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂
蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处
所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）13；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是25厘米；（3）蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最
短路程是15厘米
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点
D，连接AB′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得：BC=5，AC=(1+3)×3=12，
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13，
故答案为：13；（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
1
由题意得：AC= ×48=24cm，BC=7cm，
2
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√242+72=25cm，
∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接
AB′，
1
由题意得：DE= BB'=1cm，AE=10−2=8cm，
2
∴ AD=AE+DE=8+1=9cm，
∵底面周长为24cm，
1
∴ B'D= ×24=12cm，
2
∴ AB'=❑√AD2+B'D2=❑√92+122=15cm，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是AB′=15厘米．
