文档内容
八年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【北师大版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
√ a+1
1．（3分）（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）化简二次根式a❑− 正确的是（ ）
a2
A．❑√−a−1 B．❑√a+1 C．−❑√−a−1 D．−❑√a+1
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可．
a+1
【详解】解：∵− ≥0，a2>0，
a2
∴a+1≤0，
∴a≤−1，
√ a+1 ( ❑√−a−1)
∴a❑− =a⋅ − =−❑√−a−1；
a2 a
故选：C．
2．（3分）（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ，以
1
CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S
2
……按照此规律继续下去，则S 的值为（ ）
2025(1) 2020 (❑√2) 2021 (❑√2) 2023 (1) 2022
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得S =4，由等腰直
1
S 1 S
角三角形的性质并结合勾股定理可得2DE2=CD2=S ，即可得出S =DE2= 1，同理可得S = S = 1
1 2 2 3 2 2 22
S
，从而得出规律S = 1 ，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
n 2n−1
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴S =CD2=22=4，
1
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴2DE2=CD2=S
，
1
S
∴S =DE2= 1，
2 2
1 S
同理可得：S = S = 1 ，
3 2 2 22
S
∴S = 1 ，
n 2n−1
∴S =
S
1 =
4
=
(1) 2022
，
2025 22024 22024 2
故选：D．
3．（3分）（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
n 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 ⋯
❑√n 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ⋯
根据以上规律，若❑√1.71≈1.31，❑√17.1≈4.14，则❑√1710≈（ ）A．41.4 B．13.1 C．414 D．131
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的
小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相
应的向相同方向移动一位．
∵❑√17.1≈4.14，
∴❑√1710≈41.4，
故选：A．
4．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理
及其逆定理判定△ABC是等腰直角三角形成为解题的关键．
如图：连接BC，先运用勾股定理求出△ABC的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出△ABC是等腰直
角三角形，进而得出∠BAC的度数即可．
【详解】解：如图：连接BC，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，∵10+10=20，
∴AC2+CB2=AB2，AC2=CB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°．
故选：B．
5．（3分）（24-25八年级下·四川德阳·期末）如果ab>0,a+b<0，那么下面各式正确的是（ ）
√a ❑√a √a
A．❑ = B．❑√ab÷❑ =b
b ❑√b b
√a √b √a
C．❑ ×❑ =1 D．❑√−b×❑ =−❑√a
b a b
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键．
由条件ab>0且a+b<0可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结
果符号正确。．逐一分析选项即可．
【详解】解：∵ab>0说明a和b同号．a+b<0进一步说明a和b均为负数．
√a ❑√a
A、 ❑ = 中，❑√a和❑√b无意义（实数范围内），故选项错误；
b ❑√b
❑√ab÷❑
√a
=
√ab
=❑√b2=|b)=−b
B、 b ❑ a ，故选项错误；
b
√a b
C、 ❑ × =❑√1=1，故选项正确；
b a
√a √ a
D、 ❑√−b×❑ =❑(−b)⋅ =❑√−a，故选项错误；
b b
故选：C
6．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式❑√2m−8与❑√m+5可以合并，则❑√3m+6的
值是（ ）．
A．3❑√3 B．3❑√5 C．4❑√5 D．4❑√3
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式❑√2m−8与❑√m+5可以合并，可知
❑√2m−8与❑√m+5是同类二次根式，由此求出m的值，代入❑√3m+6计算即可．
【详解】解：由题意知❑√2m−8与❑√m+5是同类二次根式，∴ 2m−8=m+5，
解得m=13，
∴ ❑√3m+6=❑√3×13+6=❑√45=3❑√5，
故选B．
7．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=3，
CD=1，AB=BC=❑√5，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4 C．❑√10 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出
辅助线构建直角三角形是解题的关键．
连接AC，由勾股定理求得AC=❑√10，再由勾股定理逆定理可得∠ADC=∠ABC=90°，由
S =S +S 即可求解．
四边形ABCD △ABC △ADC
【详解】解：连接AC，如图：
∵∠ADC=90°，AD=3，CD=1，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√32+12=❑√10，
又∵AB=BC=❑√5，
∴AC2=BC2+AB2=(❑√5) 2+(❑√5) 2=10，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
❑√5×❑√5 3×1
∴S =S +S = + =4，
四边形ABCD △ABC △ADC 2 2
故选：B．
8．（3分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，等腰Rt△ACD，斜边AD=4，分别以的边AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（ ）
π
A．4 B．4π C．2π D．
2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，然后确定出
S =S +S ，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键．
半圆ACD 半圆AEC 半圆CFD
【详解】解：如图，过点C作CB⊥AD于点B,
∵等腰Rt△ACD，斜边AD=4，
1
∴AC2+CD2=AD2，CB= AD=2
2
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
1 1 1 1 1 1
∴S = π× AD2= πAD2 ，S = π⋅ AC2= πAC2 ，
半圆ACD 2 4 8 半圆AEC 2 4 8
1 1 1
S = π⋅ CD2= πCD2 ，
半圆CFD 2 4 8
∴S =S +S ，
半圆ACD 半圆AEC 半圆CFD
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为S +S +S −S =S ，
半圆AEC 半圆CFD △ACD 半圆ACD △ACD
1
∵△ACD的面积= ×2×4=4，
2
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为4，
故选：A．
9．（3分）（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方
体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为24cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ）
A．2cm和3cm之间 B．3cm和4cm之间
C．4cm和5cm之间 D．5cm和6cm之间
【答案】A
【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体
的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可．
【详解】解：设该正方体铁块的棱长为xcm，
由题意得：x3=24，
解得x=√324，
∵ √38<√324<√327，
∴ 2<√324<3，
即该正方体铁块的棱长介于2cm和3cm之间，
故选A．
10．（3分）（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，铁路AB和公路CD在点O处交汇，
∠BOD=45°，公路AB上E处距离O点120❑√2m．若火车行驶时，周围150m内会受到噪音的影响，则
火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点E作EH⊥AB于H，
点E、F在AB上，且¿=EF=150m，利用三角函数的定义求出EH=120m，利用勾股定理求出GH、HF的长，即可得出GF的长，根据时间=距离÷速度即可得答案．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，点G、F在CD上，且¿=EF=150m，
由题意可知：OE=120❑√2m，∠HOE=45°，
∴EH=OE⋅sin45°=120m，
∵火车行驶时，周围150m以内会受到噪音的影响，
∴当火车行驶在E、F之间时，会受到噪音的影响，
∴GH=❑√PG2−EH2=❑√1502−1202=90m，
同理可得：HF=90m，
∴GF=180m，
∵火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶，72km/h=20m/s，
∴点E处受噪音影响的时间为180÷20=9s．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC
上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，若AB=9，AD=12，则ED= ．
【答案】4.5
【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出AC
的长，再根据折叠可得CD′=CD=9，DE=D′E，求出AD′=6，设DE=x，则D′E=x，AE=12−x，再根据勾股定理可得方程(12−x) 2=62+x2，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，
∴CD=9，∠D=90°，
由勾股定理得：AC=❑√92+122=15，
∵将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，
∴CD′=CD=9，DE=D′E，
∴AD′=AC−CD′=15−9=6，
设DE=x，则D′E=x，AE=12−x，
在Rt△AED′中：由勾股定理得AE2=AD′2+D′E2，
∴(12−x) 2=62+x2，
解得：x=4.5，
∴ED的长为4.5，
故答案为：4.5．
12．（3分）已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：❑√a2−|a+b|+❑√(c−a+b) 2−|b−c|+√3 b3=
．
【答案】4b−a
【分析】先根据数轴的性质可得a0，再计算算术平方根
与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，a0，b−c<0，
∴c−a+b>0，
∴❑√a2−|a+b)+❑√(c−a+b) 2−|b−c)+√3 b3
=−a−[−(a+b))+(c−a+b)−(c−b)+b
=−a+a+b+c−a+b−c+b+b
=4b−a，故答案为：4b−a．
【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题
关键．
13．（3分）（2025·河北沧州·模拟预测）若a<❑√80−❑√20AB，请求∠A的度数．
(3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【答案】(1)假
(2)45°
(3)见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识．（1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的
概念判断即可；
（2）根据题意得到a=c，根据“类勾股三角形”的定义得到ac+a2=b2，得到△ABC是等腰直角三角
形，根据等腰直角三角形的定义求出∠A；
（3）在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，根据等腰三角形的性
1
质、三角形的外角性质得到∠CDB=∠B，根据等腰三角形的性质得到DE=BE= (c−a)，根据勾股定
2
理计算，得到b2=ac+a2，根据“类勾股三角形”的定义证明结论．
【详解】（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a2=c2，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得：b2+a2=c2，
∴ab+a2=b2+a2，
∴a=b，
∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：∵AB=BC，AC>AB，
∴a=c，b>c，
∵ △ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2=b2，
∴c2+a2=b2，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
（3）证明：在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，
∵AD=CD
，
∴∠ACD=∠A，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，
∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB=a，
∴AD=CD=a，
∵BC=a， AB=c，
∴DB=AB−AD=c−a，
∵CE⊥AB，
1
∴DE=BE= (c−a)，
2
1 1
∴AE=AD+DE=a+ (c−a)= (a+c)，
2 2
2
在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=b2− [1 (c+a) ) ，
2
2
在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2=a2− [1 (c−a) ) ，
2
2 2
∴b2− [1 (a+c) ) =a2− [1 (c−a) ) ，
2 2
整理得b2=ac+a2，
∴ △ABC是“类勾股三角形”．
5
20．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ，
❑√3
√2 2
❑ ，
3 ❑√3+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5 5×❑√3 5❑√3
= = ；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．2 √2 1
（1）化简： = ；❑ = ； = ；
❑√3 5 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√5−❑√3 ❑√5+❑√3 y x
（3）已知x= ，y= ，求 + 的值.
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3 x y
2❑√3 ❑√10 ❑√5−❑√3 ❑√2019−1
【答案】（1） , , （2） （3）62
3 5 2 2
【分析】（1）分子分母分别乘❑√3,❑√5,❑√5−❑√3 即可.
（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.
（3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.
2 2×❑√3 2❑√3
【详解】（1） = = ，
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×5 ❑√10
❑ =❑ = ，
5 5×5 5
1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
= =
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2
2❑√3 ❑√10 ❑√5−❑√3
故答案为 ， ，
3 5 2
1
（2）原式= (❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017)
2
❑√2019−1
=
2
❑√5−❑√3 8−2❑√15 ❑√5+❑√3 8+2❑√15
（3）x= = ，y= =
❑√5+❑√3 2 ❑√5−❑√3 2
∴x+ y=8,xy=1
y x (x+ y) 2 64
+ = −2= −2=62
x y xy 1
【点睛】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要
利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
21．（10分）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE
．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关
系，可得到勾股定理：S = __________，S __________，S = __________，则它们满足
梯形ABCD △EBC 四边形AECD
的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=70米，BC=50米，现在菜农要在AB上确定一个抽水
点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式❑√x2+9+❑√(12−x) 2+36的最小值(0
